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2.8 直角三角形全等的判定
第 2 章 特殊三角形
数学浙教版八年级上册
1.掌握直角三角形全等的“HL”判定定理，能准确区分一般三角形与直角三角形全等判定的联系与区别.
2.熟练运用“HL”定理及一般三角形全等判定方法，解决直角三角形全等相关的证明与实际问题.
3.通过猜想、验证、证明“HL”定理的过程，培养学生的逻辑推理能力和从特殊到一般的归纳思维，借助实际问题解决，提升学生几何建模和知识应用能力.
4.在小组合作、交流中，提升学生团队协作意识，体验成功解决问题的喜悦，增强学习自信心.
重点
难点
古代工匠用“矩”(直角尺)测量、绘制直角三角形建筑部件.考古课上，大家发现两把出土的残缺“矩”，它们的直角边、斜边有部分刻度重合，想知道这两把“矩“对应的直角三角形是否全等，这样就能还原古代工匠的测量逻辑!
咱们用今天要学的直角三角形全等判定知识，当一回“几何考古学家”，破解古代工具的秘密.
活动一：探究直角三角形的判定
回顾：要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法
(1) SAS：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
(2) ASA：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
活动一：探究直角三角形的判定
回顾：要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法
(4) SSS：三条边对应相等的两个三角形全等.
(3) AAS：两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
活动一：探究直角三角形的判定
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗
(1) 两边及其夹角；
A
B
C
SSA不能判定全等．
SAS能判定全等．
(2) 两边及一边的对角．
对角限制——
90°
SSA在什么情况下能判定全等？
活动一：探究直角三角形的判定
思考：直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？
观察：观察三角尺：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（如两把相同三角尺），它们是否一定全等？
全等
活动一：探究直角三角形的判定
(1)每人画一个直角三角形ABC，使∠C=90°，AC=5cm，AB=10cm.
操作
10cm
5cm
5cm
10cm
(2)同桌交换图纸，尝试画出另一个△DEF，满足∠F=90°，DF=5cm，DE=10cm.
(3)剪下三角形重叠比较，观察是否完全重合.
完全重合
活动一：探究直角三角形的判定
思考：直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？
猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
你能证明这个猜想吗？
活动一：探究直角三角形的判定
已知：如图所示，在△ACB和△A'C'B'中，
∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等.
C
B
A
A ′
B ′
C ′
证明：如图，延长 BC至D，使 CD＝B'C'，
连结AD.
由AC＝A'C'，∠ACD＝Rt∠＝∠C'，
得△ADC≌△A'B'C'(SAS)，
故有AD＝A'B'(全等三角形的对应边相等).
因为A'B'＝AB(已知)，所以AD＝AB.
又因为AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线，
所以BC＝CD( 等腰三角形三线合一). 而AC＝AC(公共边)，
可得△ADC ≌△ABC(SSS)，所以△ABC≌△A'B'C'.
活动一：探究直角三角形的判定
C
B
A
A ′
B ′
C ′
D
你有其他证明方法吗
活动一：探究直角三角形的判定
C
B
A
A ′
B ′
C ′
活动一：探究直角三角形的判定
直角三角形全等的判定方法：
几何语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边定理”或“HL”
C
B
A
A ′
B ′
C ′
注意
“HL”是仅适用于直角三角形.
活动一：探究直角三角形的判定
已知线段a，c(如图)，用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C=Rt∠ ，BC=a，AB=c.
a
c
画法：1. 作∠MCN=90°.
3. 以B为圆心，c为半径作弧，交射线CN于点A.
4. 连结AB.
△ABC就是所要画的直角三角形.
M
C
N
a
B
c
A
2. 在射线CM上取CB=a.
教材
例题
如图所示，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB.
已知：如图所示，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
教材
例题
已知：如图所示，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
1
2
证明：如图，作射线OP.
由PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
可得∠PDO＝∠PEO＝Rt∠.
又因为OP＝OP(公共边)，PD＝PE(已知)，
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
所以∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上(角平分线的定义).
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
几何语言：
因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
所以OC平分∠AOB.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
点在角的平分线上
性质定理
(角的内部)点到角的两边的距离相等
判定定理
经典例题
l1，l2，l3三条道路两两相交.你能找出一点，使它到三条道路的距离都相等吗？
l1
l2
l3
作图中三角形的内角平分线和外角平分线，根据角平分线的性质，这些角平分线的交点满足条件.
解：作三条直线l1，l2，l3两两相交构成的三角
形的内角平分线和外角平分线，它们有4个交点，
根据角平分线的性质得每个交点到三条直线的距离相等，所以在这个图中能找出4个到三条直线距离相等的点.
经典例题
如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C．
根据AM⊥BC于点M，DN∥AM得∠AMB=∠DNC=90°.根据BN=CM得BM=CN，进而可依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△DCN全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论.
A
B
C
D
O
M
N
经典例题
如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C．
A
B
C
D
O
M
N
教材
练习
1.已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF. 求证：AB=AC.
D
B
C
A
E
F
┓
┓
教材
练习
2.已知△ABC(如图)，用直直尺和圆规作一点P，使它到三边的距离都相等(只要求作出图形，并保留作图痕迹)
B
C
A
用尺规分别作∠BAC，∠ACB的平分线，交于点P，即可.
解：如图所示：点P即为所求.
P
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，且AE=AC，若BC=7，则DE+BD的值为（ ）
A .14 B . 12 C . 9 D . 7
D
因为∠C=90°，DE⊥AB于点E，
所以△ADE，△ADC都是直角三角形
因为AE=AC，AD=AD
所以Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，∴DE=DC
所以DE+BD=DC+DB=BC=7
A
B
C
D
E
4.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC=25°，则∠DFE的度数为______．
5.如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD，CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线．
先证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，得到DE=DF，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键.
A
B
C
D
E
F
5.如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD，CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：因为DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F
所以∠BED=∠CFD=90°
又因为BE=CF，BD=CD,
所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，所以DE=DF.
因为DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC
所以点D在∠BAC的平分线上
所以AD是∠BAC的平分线.
A
B
C
D
E
F
6. 如图，点C为AD的中点，过点C的线段BE⊥AD，且AB=DE.
求证: AB//ED.
证明：因为C为AD的中点，
所以 AC=DC.
因为 BE⊥AD，
所以 △ACB和△DCE都是直角三角形.
又因为AB=DE,
所以 Rt△ACB≌Rt△DCE(HL).
所以∠A=∠D.
所以 AB // ED(内错角相等,两直线平行).
A
B
C
D
E
7.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，且BF=AC，DF=DC.求证：BE⊥AC.
A
B
C
D
E
F
┓
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
判定
定理
角平分线判定
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等.
直角三角形全等的判定
实践作业：直角三角形全等判定的生活应用
主题：挖掘生活场景，运用直角三角形全等判定(HL等)知识分析、实践
目标：从生活中抽象数学模型，深化对直角三角形全等判定的理解与运用.
步骤：1.分组在校园、家庭找含直角三角形的场景(如楼梯扶手、门窗框架)，拍照或手绘记录，标注直角边、斜边.
2.对每个场景，找可能全等的直角三角形，用 HL，SAS 等判定方法分析是否全等，写出推理(如测拐尺边长，用HL 判定).
成果：各小组整理场景分析、实物及说明，班级内展示交流，深化理解.

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