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13.2 勾股定理的应用
第13章 勾股定理
学习目标
1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点)
2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点）
复习回顾
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
a
b
c
A
B
C
如果在Rt△ABC中，∠C=90°，
字母表示：
那么a2+b2=c2.
勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
a
b
c
A
B
C
字母表示：
如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形.
例1 如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求这只蚂蚁爬行的最短路程. （精确到0.01cm）
情景导入
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
A
B
C
D
解：如图所示，在Rt△ABC中，BC=圆柱体底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得
答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为10. 77 cm.
A
B
C
D
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题.
变式 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01 cm)
A
B
探究新知
A
B
10
10
10
B
C
A
解：最短路程即为长方形的对角线 AB，
答：爬行的最短路程约是 22.36 cm.
例1 如果盒子换成如图长 AB 为 3 cm，宽 BC 为 2 cm，高 BB1 为 1 cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
分析：蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种？
(1)经过前面和上底面；
(2)经过前面和右面；
(3)经过左面和上底面.
典例精析
典例精析
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
解： (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
(3)当蚂蚁经过左面和上面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
5.10＞4.47＞4.24
所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是 4.24 cm.
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上.如左图所示.
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的.若将树干的侧面展开成一个平面，如右图所示，可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的.
聪明的葛藤
A
B
C
D
2米
2.3 米
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)？说明理由.
典例精析
典例精析
典例精析
分析：由于车宽1.6m，所以这辆卡车能否通过该工厂的厂门，只要比较距厂门中线0.8m处的高度与车高即可.如图所示，点D在离厂门中线0.8m处，且CD⊥AB，与地面相交于点H.
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂.问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门 （厂门上部分为半圆形拱门）
典例精析
典例精析
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
可见高度上有0.4m的余量，因此这辆卡车能通过该工厂的厂门.
典例精析
如图所示，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
练 习
1.为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆.如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m长的钢缆.求钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离.（精确到0.1m）
解：根据勾股定理，得AB= (m).
答：钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9m.
2.轮船A以16kn的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12kn的速度向西北方向航行.求A、B两船离开港口O1.5h后的距离.
解：如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
OA=16×1.5=24(n mile)，
OB=12×1.5=18(n mile).
根据勾股定理，得
AB= =30(n mile).
答：A、B两船离开港口O1.5h后的距离为30n mile.
勾股定理及其逆定理的综合应用
例3 如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）画出所有从点A出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段；
（2）画出所有以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.
分析：只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.
解：（1）如图，AB、AC、AE、AD的长度均为 .
A
C
B
E
D
（2）如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.
即学即练
如图，正方形网格中每一个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.请以图中的格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 .
分析：小正方形的边长为1，由
，得出符合题意的图形.
解：如图，△ABC是所求作的三角形，其中AB= ，BC= ，AC=
.
A
B
C
例4 如图所示，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC= 90°，BC=24m，AB=26m. 求图中着色部分的面积.
解：在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2
=82+62=100(勾股定理)，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2，
∴△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)，
∴S着色部分=S△ACB S△ACD
如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20kn的速度向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行.已知它们离开港口O 2h后，两艘轮船相距50n mile，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
即学即练
根据方向角可知两船所走的方向正好构成了直角，根据勾股定理求出乙轮船航行的路程，进而求出速度.
解：由题意可知，AO⊥BO，OB=20×2=40n mile，AB=50n mile，
在Rt△AOB中， n mile，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15n mile.
练 习
1.形状为直角三角形的一块铁板的三边长分别为2m、4m、xm，试求出x的所有可能值.（精确到0.01m）
解：当x m为直角边的长时，有22+x2=4，
则x2=12，x= ≈3.46；
当x m为斜边的长时，有x2=22+42=20，则x= ≈4.47.
故x的值约为3.46或4.47.
2.利用勾股定理，分别作出长度为 cm和 cm的线段.
解：如图所示.
若△ABC三边的长分别为 ， ， ，请利用图中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）画出相应的△ABC，并求出它的面积.
S△ABC=5×2- ×1×1- ×2×4- ×1×5=3.
拓展练习
如图，△ABC 中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD =1， BC＝ ，BD=2．
（1）求证：△BCD 是直角三角形；
（2）求△ABC 的面积．
拓展练习
如图，在△ABC 中，AB = AC，D 点在 CB 延长线上，求证：AD2 - AB2 = CD·BD
A
B
C
D
E
∴ AD2 - AB2 = (AE2 + DE2) - (AE2 + BE2) = DE2 - BE2
= (DE + BE)·( DE - BE) = (DE + CE)·( DE - BE) = CD·BD.
证明：过 A 作 AE⊥BC 于 E.
∵AB = AC，∴BE = CE.
在 Rt△ADE 中，AD2 = AE2 + DE2.
在 Rt△ABE 中，AB2 = AE2 + BE2.
拓展练习
在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
拓展练习
解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里)，
∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，
∴OB2+OA2=AB2，
∴∠AOB=90°.
∵第一艘搜救艇离开港口O沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD=50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
勾股定理的应用
最短路程问题
勾股定理与其逆定理的应用
会用勾股定理解决简单应用题，学会构造直角三角形．
A
C
B
E
D
课堂小结

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