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13.2.1 三角形的边
第十三章 三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
13.2.1 三角形的边
学习目标
理解三角形的概念，能正确识别三角形，掌握三角形边的表示方法。
掌握三角形三边之间的关系，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形。
能利用三角形三边关系解决实际问题，体会数学与生活的密切联系。
情境导入
在我们的生活中，三角形无处不在。比如屋顶的框架、自行车的车架、交通标志中的警示标志等，都呈现出三角形的形状。为什么这些物体常采用三角形结构呢？这与三角形的性质密切相关，而今天我们首先来研究三角形的边。
三角形的概念
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图所示，线段 AB、BC、CA 是三角形的边，点 A、B、C 是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C 是三角形的内角（简称三角形的角）。
表示方法
三角形可以用符号 “△” 表示，顶点是 A、B、C 的三角形，记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。
△ABC 的三边，有时也用 a、b、c 来表示，通常顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示。
三角形按边的分类
不等边三角形
三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。例如，一个三角形的三边分别为 3cm、4cm、5cm，这就是一个不等边三角形。
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。例如，三边分别为 5cm、5cm、6cm 的三角形是等腰三角形，其中 5cm 的两边是腰，6cm 的边是底边。
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫做正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。例如，三边都为 4cm 的三角形就是等边三角形。
三角形三边的关系
探究活动
用长度分别为 3cm、4cm、5cm 的三根小棒，能否首尾顺次相接组成一个三角形？通过实际操作可以发现，这三根小棒可以组成三角形。
再用长度分别为 1cm、2cm、3cm 的三根小棒尝试，会发现它们不能组成三角形。
三边关系定理
三角形两边的和大于第三边。
数学表达式：在△ABC 中，a + b > c，a + c > b，b + c > a。
推论
三角形两边的差小于第三边。
数学表达式：在△ABC 中，a - b b），b - c < a（b > c），a - c < b（a > c）。
例题讲解
例 1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3cm，4cm，8cm
解：因为 3 + 4 = 7 < 8，不满足三角形两边的和大于第三边，所以不能组成三角形。
（2）5cm，6cm，11cm
解：5 + 6 = 11，不满足两边的和大于第三边（和等于第三边时也不能组成三角形），所以不能组成三角形。
（3）5cm，6cm，10cm
解：5 + 6 = 11 > 10，5 + 10 = 15 > 6，6 + 10 = 16 > 5，满足三角形两边的和大于第三边，所以能组成三角形。
例 2：一个三角形的两边长分别为 3 和 7，第三边长为偶数，求第三边的长。
解：设第三边的长为 x，根据三角形三边关系定理，可得 7 - 3 < x < 7 + 3，即 4 < x < 10。
因为第三边长为偶数，所以 x 可以为 6、8。
即第三边的长为 6 或 8。
三角形边的应用
例 3：如图，为了庆祝国庆节，学校要在校园内一块空地上搭建一个三角形的花坛，现有长度分别为 2m、3m、4m、5m、6m 的五根木棒，从其中选三根木棒首尾顺次相接组成三角形花坛，有多少种不同的选法？
解：根据三角形三边关系，对五根木棒进行组合判断：
2m、3m、4m：2 + 3 > 4，2 + 4 > 3，3 + 4 > 2，能组成三角形。
2m、3m、5m：2 + 3 = 5，不能组成三角形。
2m、3m、6m：2 + 3 < 6，不能组成三角形。
2m、4m、5m：2 + 4 > 5，2 + 5 > 4，4 + 5 > 2，能组成三角形。
2m、4m、6m：2 + 4 = 6，不能组成三角形。
2m、5m、6m：2 + 5 > 6，2 + 6 > 5，5 + 6 > 2，能组成三角形。
3m、4m、5m：3 + 4 > 5，3 + 5 > 4，4 + 5 > 3，能组成三角形。
3m、4m、6m：3 + 4 > 6，3 + 6 > 4，4 + 6 > 3，能组成三角形。
3m、5m、6m：3 + 5 > 6，3 + 6 > 5，5 + 6 > 3，能组成三角形。
4m、5m、6m：4 + 5 > 6，4 + 6 > 5，5 + 6 > 4，能组成三角形。
综上，共有 7 种不同的选法。
练习巩固
下列图形中，是三角形的是（ ）
A. 三条线段首尾顺次相接但在同一直线上 B. 三条线段首尾顺次相接不在同一直线上
C. 两条线段首尾相接 D. 四条线段首尾顺次相接
答案：B
已知一个三角形的两边长分别为 2 和 5，则第三边的长可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：D
等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则它的周长为（ ）
A. 17 B. 22 C. 17 或 22 D. 以上都不对
答案：B
若三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a > b > c，若 b = 7，c = 5，则 a 的取值范围是 。
答案：7 < a < 12
课堂总结
三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。
三角形的分类：按边分为不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这是判断三条线段能否组成三角形的依据。
作业布置
教材课后相关练习题。
观察生活中哪些物体应用了三角形结构，分析为什么采用三角形结构，与三角形边的性质有何关系。
一个等腰三角形的周长为 18cm，其中一边长为 4cm，求其他两边的长。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
思考1：三角形的边是三条线段，那么任意三条线段能否组成一个三角形呢？
思考2：三条线段应具备什么条件才能构成三角形呢？
不一定.
位置关系：首尾顺次相接.
数量关系：？
问题情境：在一个三角形小路上，在 A 点的小狗，为了吃到 B 点的骨头，它有几条路线可以选择？哪条路线最快呢？
①
②
②
① AB
② AC + CB
怎么比较两条路线的长短呢？
探究点一： 三角形的三边关系
猜想
AC + CB＞AB
证明
方法二：几何推导
∵两点之间，线段最短.
∴ AC + CB＞AB.
同理： AC + AB＞BC,
AB + BC＞AC.
方法一：测量法
画不同类别的三角形，用直尺测量分别两条路线的长度.
探究点1： 三角形的三边关系
C
A
B
总结
结论1 三角形两边的和大于第三边.
AC＞AB- CB
AC + AB＞BC
AB + BC＞AC
思考：你还能得出其他三边之间的数量关系吗？
AC + CB＞AB
AB＞BC- AC
BC＞AC- BC
总结
结论2 三角形两边的差小于第三边.
第三边取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和
较大的边减较小的边
C
A
B
探究点1： 三角形的三边关系
结论1 三角形两边的和_____第三边.
结论2 三角形两边的差_____第三边.
第三边取值范围：_________＜第三边＜_________
大于
小于
两边之差
两边之和
C
A
B
三角形三边的关系
探究点1： 三角形的三边关系
判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可..
总结
例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
(1) 6 cm、9 cm、3 cm；(2) 4 cm、5 cm、3 cm.
不能拼成三角形.
能拼成三角形.
分析：
(1) 6 + 9＞3，9 - 6 = 3；
6 + 3 = 9，6 - 3＜9；
3 + 9＞6，9 - 3 = 6.
(2) 4 + 5＞3，5 - 4＜3；
5 + 3＞4，5 - 3＜4；
4 + 3＞5，4 - 3＜5.
探究点1： 三角形的三边关系
中考考法
知识点1 三角形的三边关系
1.［2025保定月考］下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
D
A.2，3，6 B.4，4，8 C.4，7，11 D.5，8，12
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针对训练
一根木棒长为 7，另一根木棒长为 2，那么用长度为 4 的木棒能和它们首尾相连拼成三角形吗？长度为 11 的木棒呢？若不能拼成，则第三根木棒长应在什么范围？
解：设第三根木棒长为 x，则应有
7 - 2 < x < 7 + 2，
即 5 < x < 9.
则用长度为 4 或 11 的木棒都不能和它们拼成三角形. 第三根木棒长的范围为 5 < x < 9.
探究点1： 三角形的三边关系
中考考法

17
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中考考法

B

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例2 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形.
(1) 如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？
(2) 能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm，则
x + 2x + 2x = 18. 解得 x = 3.6.
所以， 三边长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
(2) 因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
① 若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有
4 + 2x = 18. 解得 x = 7.
探究点1： 三角形的三边关系
②若腰长为 4 cm，设底边长为 y cm，则
2×4 + y = 18. 解得 y = 10.
因为 4 + 4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，
所以不能围成腰 4 cm 的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是 4 cm的等腰三角形.
总结
等腰三角形与三角形的三边关系结合：
先分类讨论，再检验是否符合三边关系.
探究点1： 三角形的三边关系
中考考法

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？

中考考法


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探究点2： 三角形的稳定性
问题情境：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样做呢?
视频：三角形的稳定性
点击视频观看
探究点2： 三角形的稳定性
思考讨论：三角形和四边形的模型，扭一扭模型，它们的形状会改变吗?
不会
会
动手操作：①将三根木条用钉子钉成一个三角形木架；
②将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.
探究点2： 三角形的稳定性
问题 如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗?为什么?
不会.
总结
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
探究点2： 三角形的稳定性
练一练 1.三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举一些例子吗？
折叠椅
起重机
木屋顶架
探究点2： 三角形的稳定性
2.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，你能举一些例子吗？
伸缩门
伸缩晾衣架
探究点2： 三角形的稳定性
原理
三边关系
应用
两点之间，线段最短
三边关系
两边的和_____第三边
两边的差_____第三边
大于
小于
应用
稳定性
三角形
独有性质
四边形具有不稳定性
中考考法

B

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中考考法
5.等腰三角形的两边长是3和7，则第三边长是___.
7
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中考考法
6.某木材市场上木棒规格与价格如下表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}规格






价格/（元/根）
10
15
20
25
30
35


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中考考法
知识点2 三角形的稳定性
8.［2025沧州期中］下列图形具有稳定性的是( )
A
A. B. C. D.
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中考考法

C
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短
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中考考法

C
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
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中考考法

C
A.6 B.4 C.8或6 D.8或4
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中考考法
（第12题）

D

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中考考法
（第13题）
13.用螺丝将五根不能弯曲的木棒围成一个五边形木框，
木棒的长度如图所示，如果在不破坏木框的前提下，
任意改变木框的内角大小，那么其中两顶点之间能达
到的最大距离是( )
C
A.12 B.11 C.9 D.8
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中考考法


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中考考法
15.小明用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在
其中加上4根木条，请在图中画出三种做法.
解：如图所示.（答案不唯一）
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中考考法







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中考考法
17.观察并探求下列各问题：


中考考法


中考考法


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