资源简介

第六章　计数原理
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．C＋C＝( )
A．8 B．10
C．12 D．16
2．如图所示，用五种不同的颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合这种要求的不同着色的方法共有(　　)
A．120种 B．240种
C．480种 D．540种
3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成集合(　　)
A．24个 B．36个
C．26个 D．27个
4．将A，B，C，D，E排成一排，要求A，B，C在排列中顺序为A，B，C或C，B，A(可以不相邻)，则不同的排列方法有(　　)
A．12种 B．20种
C．40种 D．60种
5．已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为(　　)
A．x4
B．x4＋1
C．(x－2)4
D．x4＋4
6．某部队计划将5艘不同的军舰全部安排到甲、乙、丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少安排一艘军舰，且其中的军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其他军舰的安排方案共有(　　)
A．14种 B．24种
C．36种 D．50种
7．如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4.若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(　　)
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
8．设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A，则方程＋＝1表示的焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．8个 B．10个
C．12个 D．16个
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
9．我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小棍．如图，用算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……以此类推，交替使用纵横两式．例如：27可以表示为“”．如果用算筹表示不含0的两位数，则下列说法正确的是(　　)
A．36可以表示为
B．用七根算筹，表示不同的两位数，若十位为1，则可以表示9个这样的两位数
C．用七根算筹，表示不同的两位数，若十位为4，则可以表示41,42,43,46,47
D．用七根算筹，表示不同的两位数，共可以表示48个这样的两位数
10．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人．现将这五人排成一行，则(　　)
A．穿黄色衣服的人不相邻的排法种数为48
B．穿红色衣服的人相邻的排法种数为48
C．穿红色衣服的人与穿黄色衣服的人同时相邻的排法种数为36
D．穿相同颜色衣服的人不相邻的排法种数为48
11．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(　　)
A．a0＝3
B．a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝88＋56
C．a0＋a2＋a4＝97
D．a1＋a3＝56
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若(x＋a)25的展开式中常数项为－1，则a的值为________.
13．设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a2＝________，a＝　　　　.
14．艺术节期间，主办方派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A，B，C三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人．若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有　　　　种．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)3名男生、4名女生站成一排．
(1)任意2名女生都不相邻，有多少种排法？
(2)其中的男生甲、乙相邻，有多少种排法？
16．(15分)从集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的元素作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值．设抛物线过原点，且顶点在第一象限．这样的抛物线共有多少条？
17．(15分)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60，求：
(1)n的值；
(2)－＋－＋…＋(－1)n的值．
18．(17分)已知在n的展开式中，前3项的系数分别为a1，a2，a3，且满足2a2＝a1＋a3.
(1)求展开式中各项的二项式系数的和；
(2)求展开式中系数最大的项；
(3)求展开式中所有有理项．
19．(17分)设数列{an}是等比数列，a1＝C·A，公比q是4的展开式中的第2项．
(1)用n，x表示an与数列{an}的前n项和Sn；
(2)若An＝CS1＋CS2＋…＋CSn，用n，x表示An.
第六章　计数原理
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．C＋C＝(B)
A．8 B．10
C．12 D．16
2．如图所示，用五种不同的颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合这种要求的不同着色的方法共有(　　)
A．120种 B．240种
C．480种 D．540种
D　解析：先涂A，有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法；同理C有3种涂法，D有3种涂法，E有3种涂法．由分步乘法计数原理可知，共有5×4×3×3×3＝540(种)涂法．故选D.
3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成集合(　　)
A．24个 B．36个
C．26个 D．27个
C　解析：从三个集合中取出两个集合，有C＝3(种)取法．分别是集合A，B；集合A，C；集合B，C.
当取出A，B时，从这两个集合各取一个元素，有C×C＝12(种)取法；
当取出A，C时，从这两个集合各取一个元素，有C×C＝8(种)取法；
当取出B，C时，从这两个集合各取一个元素，有C×C＝6(种)取法．
一共可以组成12＋8＋6＝26(个)集合．
4．将A，B，C，D，E排成一排，要求A，B，C在排列中顺序为A，B，C或C，B，A(可以不相邻)，则不同的排列方法有(　　)
A．12种 B．20种
C．40种 D．60种
C　解析：五个元素没有限制条件，全排列数为A，若A，B，C的顺序为A，B，C或C，B，A(可以不相邻)，则不同的排列方法有2·＝40(种)．
5．已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为(　　)
A．x4
B．x4＋1
C．(x－2)4
D．x4＋4
A　解析：S＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4.故选A.
6．某部队计划将5艘不同的军舰全部安排到甲、乙、丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少安排一艘军舰，且其中的军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其他军舰的安排方案共有(　　)
A．14种 B．24种
C．36种 D．50种
C　解析：依题意，甲区域除军舰A外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰．
若甲区域除军舰A外还有一艘军舰，则安排方案共有C×C×C×A＝24(种)；
若甲区域除军舰A外还有两艘军舰，则安排方案共有C×A＝12(种)．
所以甲区域还有其他军舰的安排方案共有24＋12＝36(种)．
故选C.
7．如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4.若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(　　)
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
C　解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的不同情况．故选C.
8．设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A，则方程＋＝1表示的焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．8个 B．10个
C．12个 D．16个
B　解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝5时，有n＝1,2,3,4四种结果；
当m＝4时，有n＝1,2,3三种结果；当m＝3时，有n＝1,2两种结果；当m＝2时，有n＝1一种结果．
故所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．故选B.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
9．我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小棍．如图，用算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……以此类推，交替使用纵横两式．例如：27可以表示为“”．如果用算筹表示不含0的两位数，则下列说法正确的是(　　)
A．36可以表示为
B．用七根算筹，表示不同的两位数，若十位为1，则可以表示9个这样的两位数
C．用七根算筹，表示不同的两位数，若十位为4，则可以表示41,42,43,46,47
D．用七根算筹，表示不同的两位数，共可以表示48个这样的两位数
BC　解析：36可以表示为，A错误．
当十位为1时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个，B正确．
当十位为4时，个位可以是1,2,3,6,7，即可以表示41,42,43,46,47，共5个，C正确．
当十位为2时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个；
当十位为3时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7个；
当十位为5时，个位可以是1,2,6，共3个；
当十位为6时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个；
当十位为7时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7个；
当十位为8时，个位可以是1,2,3,6,7，共5个；
当十位为9时，个位可以是1,2,6，共3个．
所以总共可表示9＋5＋9＋7＋3＋9＋7＋5＋3＝57(个)不同的两位数，D错误．
10．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人．现将这五人排成一行，则(　　)
A．穿黄色衣服的人不相邻的排法种数为48
B．穿红色衣服的人相邻的排法种数为48
C．穿红色衣服的人与穿黄色衣服的人同时相邻的排法种数为36
D．穿相同颜色衣服的人不相邻的排法种数为48
BD　解析：穿黄色衣服的人不相邻的排法有AA＝72(种)，穿红色衣服的人相邻的排法有AA＝48(种)，同理，穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而穿红色、黄色衣服的人同时相邻的排法有A·A·A＝24(种)．故穿相同颜色衣服的人不相邻的排法有A－2×48＋24＝48(种)．
11．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(　　)
A．a0＝3
B．a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝88＋56
C．a0＋a2＋a4＝97
D．a1＋a3＝56
CD　解析：令x＝0，得()4＝a0，即a0＝9.
令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝97＋56.
令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝97－56.
所以a0＋a2＋a4＝97，a1＋a3＝56.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若(x＋a)25的展开式中常数项为－1，则a的值为________.
1或9　解析：由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而5的展开式通项为Tk＋1＝(－1)kC·xk－5，其中k＝0,1,2，…，5.
于是5的展开式中x－2的系数为(－1)3C＝－10，
x－1的系数为(－1)4C＝5，常数项为－1.
因此(x＋a)25的展开式中常数项为1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－a2＋10a－10.
依题意－a2＋10a－10＝－1，即a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.
13．设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a2＝________，a＝　　　　.
4　3　解析：根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4.结合二项式定理得即解得a＝3.
14．艺术节期间，主办方派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A，B，C三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人．若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有　　　　种．
30　解析：四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人的方法总数为CA＝36，甲、乙两人到同一演出场馆工作的方法数为A＝6，故甲、乙两人不到同一演出场馆工作的不同分派方案有36－6＝30(种)．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)3名男生、4名女生站成一排．
(1)任意2名女生都不相邻，有多少种排法？
(2)其中的男生甲、乙相邻，有多少种排法？
解：(1)先把3名男生全排列，再把4名女生插在男生之间的4个空中，即可得有AA＝144(种)排法．
(2)甲、乙相邻，看成一个“元素集团”，与其余5个元素全排列有A种排法，“元素集团”内部排法有A种，
所以共有AA＝1 440(种)排法．
16．(15分)从集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的元素作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值．设抛物线过原点，且顶点在第一象限．这样的抛物线共有多少条？
解：若抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点，且顶点在第一象限，则a，b，c应满足
即
分三步：a可以取－3，－2，－1；b可以取1,2,3；c取0.
所以满足条件的抛物线的条数为3×3×1＝9.
17．(15分)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60，求：
(1)n的值；
(2)－＋－＋…＋(－1)n的值．
解：(1)展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kC·xk.
因为T3＝C(－2x)2＝a2x2，
所以a2＝C(－2)2＝60，
化简可得n(n－1)＝30，且n∈N*，
解得n＝6.
(2)Tk＋1＝C(－2x)k＝akxk，
所以ak＝C(－2)k，
所以(－1)k·＝C，
－＋－＋…＋(－1)n·＝C＋C＋…＋C＝26－1＝63.
18．(17分)已知在n的展开式中，前3项的系数分别为a1，a2，a3，且满足2a2＝a1＋a3.
(1)求展开式中各项的二项式系数的和；
(2)求展开式中系数最大的项；
(3)求展开式中所有有理项．
解：(1)n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝Cx，r＝0,1,2，…，n(n≥2)，
则a1＝C＝1，a2＝C＝n，
a3＝C＝.
因为2a2＝a1＋a3，即2×n＝1＋，解得n＝8或n＝1(舍去)，
所以8展开式中各项的二项式系数的和为28＝256.
(2)由(1)知8的展开式的通项为Tr＋1＝C()8－rr＝Cx(0≤r≤8且r∈N)，
记第k项系数最大，则有Tk≥Tk＋1，且Tk≥Tk－1，
即
解得3≤k≤4.
又k∈N，所以k＝3或k＝4，
所以系数最大的项为第3项T3＝7x和第4项T4＝7x.
(3)因为8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx(0≤r≤8且r∈N)，
令∈Z,0≤r≤8且r∈N，则r＝0或r＝6，
所以展开式中有理项为T1＝x4和T7＝.
19．(17分)设数列{an}是等比数列，a1＝C·A，公比q是4的展开式中的第2项．
(1)用n，x表示an与数列{an}的前n项和Sn；
(2)若An＝CS1＋CS2＋…＋CSn，用n，x表示An.
解：(1)因为a1＝C·A，
所以即
所以m＝3，所以a1＝C·A＝1.
又由4，知T2＝Cx3·＝x，所以q＝x.
所以an＝xn－1(n≥1，且n∈N*)，Sn＝
(2)当x＝1时，Sn＝n，
所以An＝0C＋C＋2C＋…＋(n－1)C＋nC①.
又An＝nC＋(n－1)C＋…＋C＋0C②，
由①＋②，得2An＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2n，
所以An＝n·2n－1.
当x≠1时，Sn＝，
所以An＝C＋C＋C＋…＋C
＝[(C＋C＋C＋…＋C)－(xC＋x2C＋x3C＋…＋xnC)]
＝[(2n－1)－(1＋xC＋x2C＋…＋xnC－1)]
＝[2n－(1＋x)n]．
所以An＝
1/13

展开更多......

收起↑