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1.4 线段的垂直平分线（第一课时）
第一章 三角形的证明
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
P
N
M
点P是码头的位置
温故知新
1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，
并会进行运用.
2.通过经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程， 体验逻辑推理的数学方法。
学习目标
定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线。
符号语言：
∵l是线段AB的垂直平分线；
∴ = ，
⊥
o
l
线段的垂直平分线的性质是什么？
温故知新
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
如何证明你的结论？
已知：如图，MN是线段AB的垂直平分线，
点P是MN上任意一点，连接PA，PB.
求证：PA=PB
A
B
M
N
P
探究新知
定理：
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
M
N
P
几何语言：
∵直线MN垂直平分线段AB
∴PA=PB
获取新知
条件： 点在线段的垂直平分线上 .
结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 .
特别解读
1. 该性质定理中的“距离”是指该点与这条线段两个端点所连线段的长度。
2. 该性质定理是证明线段相等的常用方法，也是作辅助线的常用依据。
A
B
C
D
E
F
课堂检测
A
B
C
D
E
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,
交AC于点E,△BCE的周长等于50，求BC的长.
课堂检测
逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
是真命题吗
你能写出这个定理的逆命题吗？
已知：PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
再探新知
逆定理：
定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
B
P
获取新知
条件：点到线段两个端点距离相等 .
结论：点在线段的垂直平分线上 .
特别解读
用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上。
如图1.4-4，在△ABC中，D是边AB上一点，AD=AC，过点D 作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC 平分∠EDF。求证：AF垂直平分CD。
解：∵ DE ∥ BC， ∴∠ CDE= ∠ DCF。
∵ DC 平分∠ EDF， ∴∠ CDF= ∠ CDE。
∴∠ CDF= ∠ DCF。∴ DF=CF。
∴点F 在线段CD 的垂直平分线上。
∵ AD=AC，
∴点A 在线段CD 的垂直平分线上。
∴ AF 垂直平分CD。
切忌只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线。
例1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，
且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
A
B
C
D
O
例题精讲
例1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，
且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
A
B
C
D
O
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：
一是定义法，思路有两种：①作垂直，证平分；②取中点，证垂直。
二是判定定理，证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等。
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：CF=AD；
(2)若AD=3，AB=5，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
课堂检测
线段垂直平分线
几何语言：
∵直线MN垂直平分线段AB
∴PA=PB
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定定理
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
A
B
M
N
P
性质定理可以证明两条线段相等。
判定定理可以证明点在直线上（或直线经过某一点）。
归纳总结
C
1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 (　 )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD
C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠, 发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C=_____.
　30°　
作业布置
3.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,
垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
作业布置
4. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则
△BDC的周长是(　 　)
A.8 B.9 C.10 D.11
C
5. 如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,
∠ABC=90°,BC=AD,则∠C的大小为______.
78°
作业布置
6.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于M，
交AB于N，若AC＝ 3，MB＝2MC，求AB的长．
7.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，
过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD
作业布置
8.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相
交所得到锐角为50°,则∠B等于　　 　　.
70°或20°
9.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D．
求证：CD＝AB＋BD．
作业布置
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
作业布置

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