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与圆有关的位置关系
探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．(删除)
考点一：与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
图示
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d
　　　　　
位置关系
点C在圆外
点B在圆上
点A在圆内
数量关系
d① r
d② r
d③ r
>
＝
<
2.直线与圆的位置关系
图示
?
没有公共点
?
有一个公共点
?
有两个公共点
位置关系
相离
相切
相交
数量关系
d④ r
d⑤ r
d⑥ r
>
＝
<
考点二：切线的性质与判定
性质
圆的切线⑦____于过切点的半径
推论
经过圆心且垂直于切线的直线必过⑧____
经过切点且垂直于切线的直线必过⑨____
【拓展】弦切角定理：
如图，AP与⊙O相切于点A，则∠PAC＝∠ABC
垂直
切点
圆心
判定
和圆有且只有⑩____个交点的直线是圆的切线(定义)
如果圆心到一条直线的距离?____圆的半径，那么这条直线是圆的切线
经过半径的外端并且?____于这条半径的直线是圆的切线(判定定理)
【提示】
1．“有交点，连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；
2．“无交点，作垂直，证半径”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长
1
等于
垂直
相等
考点三：*切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长?_____，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
如右图，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝12∠APB.
【拓展】切割线定理：如右图，PA2＝PE·PF.
?
考点四：三角形的内切圆
图　形
圆心名称
性　质
角度关系
内
切
圆
?
?____(三角形的内切圆的圆心或三角形三个内角的平分线的交点)
三角形的内心到三角形的三条边的距离?____
∠BOC＝90°＋
?___∠A
内心
相等
12
?
【重要结论】三角形内切圆的相关结论
任意三
角形的
内切圆
?
利用等面积法可得r＝2????△????????????????＋????＋????，
如：若△ABC的面积为6 cm2，周长为8 cm，则内切圆的半径为? cm
直角三
角形的
内切圆
?
利用等面积法可得r＝????????????＋????＋????；
利用切线长定理可得r＝????＋????－????2
任意三
角形的
内切圆
?
直角三
角形的
内切圆
?
1.5
1．(人教九上P101习题T1变式)
(1)已知⊙O的半径是2，点P在⊙O内，则OP____2(选填“＞”或“＜”)；
(2)已知⊙O的直径为9，若OA＝5，则点A与⊙O的位置关系是____________
．
2．(人教九上P101习题T2变式)
(1)已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是____；
(2)已知圆的直径为12 cm，如果圆心与直线的距离是8 cm，那么直线和圆的公共点的个数为____.
＜
点A在⊙O外
相交
0
3．(人教九上P102习题T12变式)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，过点A作AD垂直于过点C的切线CD，垂足为D.若∠CAD＝37°，则∠CAB的度数为( )
A．37°　　　　
B．53°
C．63°　　　　
D．74°
A
4.(人教九上P101习题T3变式)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径为 .
1
5．(人教九上P100例2变式)如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.若AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 .
5
6．(人教九上P103习题T14变式)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 .
2
重难点：与切线相关的证明与计算
突破设问一　切线的判定
考向1：切点确定，连半径，证垂直
(1)如图①，AB是⊙O的直径，AB＝AC，点D在⊙O上，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线；
证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠1，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，
又∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．
(2)如图②，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB，点D在⊙O上，CD⊥AC于点C.求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD.
又∵OD＝OA，∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥OD，
∵AC⊥CD，∴OD⊥CD，∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
(3)如图③，AC⊥BC于点C，BC是⊙O的直径，AB与⊙O相交于点D，EA＝EC，求证：ED是⊙O的切线；
证明：连接OD，CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB＝∠ADC＝90°，∵EA＝EC，
∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC.
∵OD＝CO，∴∠OCD＝∠CDO，
∵AC⊥BC，
∴∠EDO＝∠ACB＝90°，即ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，∴ED是⊙O的切线．
(4)如图④，BC是⊙O的直径，CB＝CE，BE交⊙O于点A，且∠DBE＝12∠ECB.求证：DB是⊙O的切线．
?
证明：连接AC，∵BC是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，∠ABC＋∠ACB＝90°.
∵CB＝CE，∴∠ACB＝12∠ECB.
∵∠DBE＝12∠ECB，∴∠DBE＝∠ACB，
∴∠DBE＋∠ABC＝90°，∴DB⊥BC，
∵点B在⊙O上，∴DB是⊙O的切线．
?
【提分关键】
当切点确定时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直
1．当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂直；③利用三角形全等证得垂直．
2．当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角．
考向2：切点不确定，作垂直，证半径
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，若∠ABD＝∠OAD.求证：AB为⊙O的切线．
证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，AD⊥BD，∠AOD＝∠BOC，
∴∠OAD＝∠OBC，
∵∠ABD＝∠OAD，
∴∠ABD＝∠OBC，即BD平分∠ABC，
∵OE⊥AB，∴EO＝CO.∵CO是⊙O的半径，
∴EO是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线．
【提分关键】
当切点不确定，证切线时，涉及“垂直＋角平分线”的情况下，过圆心作待证切线的垂线，利用角平分线的性质定理证明即可．
突破设问二　切线的性质
考向3：证明线段数量关系
如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接OC与⊙O交于点D，连接AD，若D为OC的中点，求证：BC＝AD.
证明：连接BD，
∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∠CBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵D为OC的中点，∴CD＝OD＝BD，
∵OB＝OD，∴OB＝BD，CO＝2OB，∴AB＝CO，
∴Rt△COB≌Rt△ABD(HL)，∴BC＝AD.
考向4：证明线段位置关系
如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC＝2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E.求证：CE⊥DE.
证明：连接OD，∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO，
∴∠BOD＝∠A＋∠ADO＝2∠A，
又∵∠ABC＝2∠A，
∴∠ABC＝∠DOB，∴OD∥CE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，∴CE⊥DE.
考向5：证明角度数量关系
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC上一点，以CE为直径作⊙O，⊙O恰好与AB相切于点D，连接CD.求证：∠B＝2∠ACD.
证明：连接OD，
∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，即∠ODA＝90°，
∴∠A＋∠AOD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，
∴∠AOD＝∠B，
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOD＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ACD，
∴∠B＝2∠ACD.
【提分关键】
证明线段相等的方法
1．若两条线段共线，则考虑用等腰三角形三线合一的性质或直角三角形斜边中线的性质解决．
2．若两条线段不共线，考虑将这两条线段转化到同一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形的性质求证．
3．若两条线段分别在两个三角形中，可考虑证明三角形全等解决．
4．若所证两条线段平行，可考虑利用特殊四边形对边相等的性质求证．
证明两条线段平行的方法
通过等角(同角)的余角(补角)相等及等边对等角等其他角度间的等量代换，得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，从而证明两线段平行．
证明两条线段垂直的方法
要证两条线段垂直，即要证两条线段所夹的角为90°.常见的方法有两种：
1．当两条线段中的一条与第三条线段垂直时，只需证明另一条线段与第三条线段平行．
2．设法将两条线段构成的夹角放在一个三角形中，通过角度间的等量代换，证得其余两角之和为90°.
圆中求角度或证明角度数量关系的方法
1．利用“圆周角定理”“弦、弧、圆心角”关系进行角度转化．
2．根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于90°进行角度转化求解．
3．根据两条半径构成的三角形为等腰三角形进行角度转化．
突破设问三　求线段长
方法1：利用勾股定理
如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，若BC＝2，CD＝3，求⊙O的半径．
解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，
设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，OC＝OB＋BC＝r＋2，
∵在Rt△ODC中，OC2＝OD2＋CD2，
∴(2＋r)2＝r2＋32，解得r＝54，
即⊙O的半径为54.
?
【提分关键】
在圆中求线段长的方法
1．若题干中作辅助线后有直角三角形存在，常运用勾股定理．
2．若题干中含有特殊角(如30°，45°，60°等角度)或出现三角函数sin，cos，tan等时，一般考虑用三角函数解题．
3．题目中无直角三角形时，一般考虑利用三角形相似计算线段长度．
4．运用等面积公式法也可求点到直线的距离．
方法2：利用三角函数
如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝13，求⊙O的直径．
?
解：延长AO交⊙O于点D，连接CD，
∵BA与⊙O相切，∴DA⊥AB，
∴∠DAC＋∠BAC＝90°.
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，
∴∠DAC＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠BAC，∴tan D＝tan∠BAC＝13，
∵AC＝4，∴CD＝12.在Rt△ACD中，AD＝????????2＋????????2＝410，
即⊙O的直径为410.
?
方法3：利用三角形相似
如图，在△ABC中，∠A＝30°，O是AB上一点，以点O为圆心，以OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD，若BD平分∠ABC，AD＝23，求线段CD的长．
?
解：连接OD，∵⊙O与AC相切于点D，∴∠ADO＝90°.
∵∠A＝30°，∴OD＝AD·tan A＝23×33＝2，
∴OA＝2OD＝4，
∴AB＝OA＋OB＝6，
∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，
∵∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴△ADO∽△ACB，
∴????????????????＝????????????????，即23????????＝46，解得AC＝33，∴CD＝AC－AD＝3.
?
命题点1：与切线的性质有关的证明与计算(省卷近5年未考查，兰州近5年考查3次)
1．(2025·兰州第24题8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE.
(1)求证：∠ADB＝∠AEC；
(2)若AB＝4，cos∠AEC＝53，求OD的长．
?
(1)证明：∵BD为⊙O的切线，
∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADB＋∠BAD＝90°，
∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC.
(2)解：∵∠ADB＝∠AEC，
∴cos∠ADB＝????????????????＝cos∠AEC＝53，
∴设BD＝5x，AD＝3x，
∴AB＝（3????）2－（5????）2＝2x，即2x＝4，
解得x＝2，∴BD＝25，
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝25，
∴OD＝22＋（25）2＝26.
?
命题点2：与切线的判定有关的证明与计算(省卷每年必考，兰州近5年考查4次)
2．(2025·省卷第25题10分)如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD＝12∠AOB.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长．
?
(1)证明：∵OA＝OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，
∵∠BAO＝∠BCO，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝∠COB，∴????????＝????????，
连接CE，∵BE是⊙O的直径，
∴∠OCE＋∠OCB＝90°，
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，
∵∠E＝12∠AOB，∠BCD＝12∠AOB，∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠DCO＝∠DCB＋∠BCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
?
(2)解：∵四边形ABCO是平行四边形，
OA＝OC，∴四边形ABCO是菱形，
∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OF＝12OB＝12OE，
∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，
∴∠E＝12∠BOC＝30°，
∵EF＝3，∴OF＝1，OE＝2，
∴OC＝2，∵∠DOC＝60°，
∴CD＝OC·tan 60°＝23.

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