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圆的基本性质
①探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(删除*，改为必学)
②知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．(新增)
考点一：与圆有关的性质
对称性
轴对称
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴
中心对称
圆心是它的对称中心
旋转不变性
圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
考点二：圆周角定理及其推论
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①____
?
推论
同弧或等弧所对的圆周角②____
半圆(或直径)所对的圆周角是③____，90°的圆周角所对的弦是④____
【提示】
1．一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；
2．一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
一半
相等
直角
直径
考点三：三角形的外接圆
图　形
圆心名称
性　质
角度关系
外
接
圆
?
⑤ (三角形的外接圆的圆心或三角形三边垂直平分线的交点)
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离⑥_____
∠BOC＝⑦__∠A＝360°－2∠A′
外心
相等
2
【提示】锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外．当三角形形状不确定时，应用外心要分类讨论．
【重要结论】直角三角形外接圆的半径r＝12c(c为斜边长)；等边三角形外接圆的半径r＝33a(a为边长)
?
考点四：弧、弦、圆心角之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
?
推论
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等
【提示】运用定理和推论时，要注意条件“在同圆或等圆中”不能丢
考点五：圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角⑧____
?
【提示】圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角(即和它相邻的内角的对角)
【拓展】圆幂定理：如图，若圆内任意弦AB，弦CD所在直线交于点P，则PA·PB＝PC·PD　
互补
考点六：垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径⑨____弦，并且⑩____弦所对的两条弧(2022版课标调整为必学内容)
?
推论
平分弦(不是直径)的直径?____于弦，并且平分弦所对的两条弧
【拓展】
(1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(2)根据圆的对称性，如图，在下列5条结论中：①????????＝????????；②????????＝????????；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径．若其中任意两个结论成立，则其他三个结论一定成立，即“知二推三”；
(3)常作辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，得OB2＝OM2＋????????22
【提示】
1．使用垂径定理的推论时要注意“弦非直径”这一条件；
2．利用垂径定理时，易忽视弦在图中的不同位置，从而造成漏解
定理
垂直于弦的直径⑨____弦，并且⑩____弦所对的两条弧(2022版课标调整为必学内容)
?
推论
平分弦(不是直径)的直径?____于弦，并且平分弦所对的两条弧
【提示】
1．使用垂径定理的推论时要注意“弦非直径”这一条件；
2．利用垂径定理时，易忽视弦在图中的不同位置，从而造成漏解
平分
平分
垂直
1．(人教九上P87例4变式)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是????????上与点C异侧的一点，连接OC，AC，AD，BC，CD.
(1)∠ACB＝ °；
(2)若∠D＝ °.
①∠B＝55°；
②∠AOC＝ °，∠CAB＝ °.
?
90
55
110
35
2．(人教九上P85练习T1变式)如图，点A，B，C，D在⊙O上，若AB＝CD，则下列结论中错误的是( )
A.????????＝????????
B．AC＝BD
C．AD＝BD
D．∠ADC＝∠BAD
?
C
3.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则它的外心与顶点之间的距离为 cm；
(2)点O是△ABC的外心，且∠BOC＝110°，则∠OCB＝ .
4．(人教九上P88练习T5变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OB，OD.
(1)若∠DCE＝72°，则∠BAD＝ °；
(2)若∠BCD＝100°，则∠BOD＝ °.
2.5
35°
72
160
5．(人教九上P122复习题T1变式)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接OC，AD，BD，CD＝8，∠A＝30°.
(1)∠BDC＝ °；
(2)CE的长为 ；
(3)∠OCD＝ °；
(4)⊙O的半径为 ，BE的长为 .
30
4
30
833
?
433
?
情境
已知弦AB，弦CD，⊙O的半径长，若AB∥CD，求两条弦之间的距离d
分类
讨论
?
?
情形一：如图，当两条弦位于圆心同侧时，利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE，在Rt△ODF中求出OF
?
?
情形二：如图，当两条弦位于圆心异侧时，利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE，在Rt△ODF中求出OF
d＝OF?__OE
d＝OF?__OE
知识归纳
1．求圆内两条平行弦间的距离
－
＋
情境
如图，根据圆的轴对称性，⊙O上到直径AB距离相等的点(0分类
讨论
情形一：当点D在圆心左侧时　　
情形一：当点D在圆心右侧时　　　
AD＝r－m，AC2＝(r－m)2＋h2
AD＝r＋m，AC2＝(r＋m)2＋h2
2.点在圆上运动时的相关计算
重难点：圆的基本性质
(一题多角度)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，D是????????上一点(点D与点A在BC的异侧)，连接AD，BD，AO，AD与BC交于点E.
(1)若∠AOC＝110°，则∠ABC＝ °，∠ACB＝ °；
(2)若AD⊥BC，AB＝3，AD＝4，则BE＝ ；
(3)若∠BAD＝60°，OA＝2，则BD的长为 ；
?
55
35
5
?
23
?
(4)若AD平分∠BAC.
Ⅰ)当AC＝2AB＝6时，求BD的长；
解：连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，∴BD＝CD，
∴BD2＋CD2＝2BD2＝AB2＋AC2＝45.
∴BD＝3102.
?
Ⅱ)当DE＝2AE＝2时，求BD的长．
解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝45°，BD＝CD，
∴∠DBC＝45°＝∠BAD，∴△BED∽△ABD，∴????????????????＝????????????????，
∵DE＝2AE＝2，∴AD＝3，∴BD2＝6，∴BD＝6.
?
【提分关键】
(1)构造等腰三角形：如图①，连接OA，OB，则有OA＝OB，∠A＝∠B；
(2)构造直角三角形：
Ⅰ)如图②，当题图中含有直径时，
构造直径所对的圆周角；
Ⅱ)如图③，过圆心作弦的垂线构
造直角三角形；
(3)圆中常见的相似三角形：
(一题多角度)如图①，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，连接BD交AC于点E，且AB＝AE.
(1)求证：DE＝DC；
证明：∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ACD，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ACD＝∠DEC，
∴DE＝DC.
【分层分析】
由AB＝AE可得∠ABE＝∠AEB，结合圆周角定理的推论和对顶角相等，利用等角代换即可证得∠ACD＝∠DEC，再根据等角对等边即可求证．
(2)如图②，若CD＝5，EC＝4，求⊙O的半径；
解：过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠DCF＋∠CDF＝90°，
由(1)可知DE＝DC，∴DF垂直平分CE，
∴CF＝12CE＝2.∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCF＝90°，∴∠DAC＝∠CDF，
∴△ACD∽△DCF，∴????????????????＝????????????????，即5????????＝25，∴AC＝252，
∴⊙O的半径为254.
?
【分层分析】
过点D作DF⊥AC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质可求得CF的长，由AC是⊙O的直径可得∠ADC＝90°，从而可得△ACD∽△DCF，利用相似三角形的性质求得AC的长即可求出⊙O的半径．
(3)如图③，连接OB，若∠DAC＝25°，求∠OBE的度数；
解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝25°，∴∠ACD＝65°，
∴∠ABD＝∠ACD＝65°.
由(1)得DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCA＝65°，
∴∠BDC＝180°－2×65°＝50°，
∴∠BAC＝∠BDC＝50°，
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAC＝50°，
∴∠OBE＝∠ABD－∠ABO＝15°.
【分层分析】
将∠OBE转化为∠ABD与∠ABO之差，由直径所对的圆周角是直角可求得∠ACD，再根据同弧所对的圆周角相等求得∠ABD，由(1)可知DE＝DC，利用等腰三角形的性质可求得∠BDC，进而求得∠BAC，再结合OA＝OB即可求出∠ABO.
(4)如图④，若sin∠ADB＝35，求????△????????????????△????????????的值．
?
解：连接OD，过点D作DG⊥AC于点G，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB，∴sin∠ACB＝????????????????＝sin∠ADB＝35，
设AB＝3x，则AC＝5x，AE＝3x，CE＝2x，OD＝52x，
∵DE＝DC，DG⊥EC，∴EG＝x，∴OG＝32x，
∴DG＝????????2－????????2＝2x，∴DE＝????????2＋????????2＝5x，
∵∠BAE＝∠CDE，∠BEA＝∠CED，∴△CDE∽△BAE，
∴????△????????????????△????????????＝????????????????2＝59.
?
【分层分析】
连接OD，过点D作DG⊥AC于点G，因为∠ACB＝∠ADB，故可得sin∠ACB＝sin∠ADB＝35，设AB＝3x，AC＝5x，利用线段和差、勾股定理表示出CD的长，再证得△CDE∽△BAE，利用相似三角形的性质即可求解．
?
如图，BC为△ABC外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于
点D，连接CD，OA.
(1)若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，则扇形OAC的面积为 ；
(2)若∠ABC＝30°，AC＝2，则????????????????＝ .
?
2????3
?
3－1
?
【规律总结】
若点I为△ABC的内心，则有
(1)点I到△ABC三边的距离相等；
(2)AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB；
(3)∠BIC＝90°＋12∠BAC.
?
命题点1：圆周角定理及其推论(省卷近5年考查4次，兰州近5年考查3次)
1．(2024·省卷第6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
A
2．(2023·省卷第14题3分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ °.
35
命题点2：圆的内接四边形(省卷近5年考查1次，兰州近5年未考查)
3．(2025·省卷第7题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，????????＝????????，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为( )
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
?
C

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