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圆中的最值问题
类型一：点圆最值问题
问题：已知平面内一点A和⊙O，P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为r，OA＝d，求A，P两点间距离的最值．
模型特征：平面内一定点A与半径为r(定值)的圆上一动点P之间距离的最值
基本思路：有圆找圆心，“两点”化“三点”，三点共线取最值
模型构建
类型
定点在圆外(最常考)
定点在圆上
定点在圆内
图形
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已知Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是 ，最大值是 .
2
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如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝10，D是边BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D，E是⊙D上一点，求线段AE长的最值．
解：当A，E，D三点在一条直线上时，线段AE取得最值．
∵BC＝10，D是边BC的中点，
∴BD＝12BC＝5，
∵∠ABC＝90°，AB＝12，
∴AD＝????????2＋????????2＝13.
∴线段AE的最小值为AD－DE＝8.
当点E在AD的延长线上时(即A，D，E三点共线，且D在A与E之间)，AE的值最大，
此时AE的最大值为AD＋DE＝18.
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如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O内一点，AC＝BC，D是⊙O上一点，连接CD，若∠ACB＝120°，△ABC的面积为43，求线段CD长的最值．
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解：连接OC.∵AB是⊙O的直径．∴OA＝OB.
∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB.
∵∠ACB＝120°，∴∠ACO＝∠BCO＝60°，
∴OA＝3OC，∴AB＝2OA＝23OC，
∵S△ABC＝12AB·OC＝43，∴OC＝2，
∴OA＝3OC＝23.
当C，O，D三点共线，且C在O与D之间时，CD的值最小，此时CDmin＝OA－OC＝23－2.
当C，O，D三点共线，且O在C与D之间时，CD的值最大，此时CDmax＝OA＋OC＝23＋2.
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类型二：线圆最值问题
问题：已知⊙O及直线m，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为r，圆心O到直线m的距离为d.求点P到直线m距离的最值．
模型特征：半径为r(定值)的圆上一动点P与定直线m间距离的最值
模型构建(记圆心O到定直线m的距离为d，圆半径为r)
类型
图形
作图(及依据)
依据与总结
线圆
相离
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依据1：垂线段最短
依据2：三角形三边关系及三点共线
总结：过圆心作定直线的垂线与圆相交，近垂足取最小，远垂足取最大
线圆
相切
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如图，已知AB为⊙O的弦，P为⊙O上一点，若∠APB＝45°，AB＝4，求△ABP面积的最大值．
解：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点Q，连接AQ，BQ，设点P到直线AB的距离为h，∴S△ABP＝12AB·h，
∵AB为定值，∴当h最大，
即h＝CQ时，△ABP的面积最大，
∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝90°，
∵OC⊥AB，AB＝4，∴AC＝BC＝OC＝12AB＝2，
∴AO＝OQ＝22，∴CQ＝OC＋OQ＝2＋22，
∴S△ABP最大＝12×4×(2＋22)＝4＋42.
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如图，在△ABC中，AB＝6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，求△ABC面积的最小值与最大值．
解：如答图①，过点O作OD⊥AB于点D，OD交⊙O于点E，连接AE，BE，
当点C与点E重合时，△ABC的面积最小，
此时S△ABC＝S△ABE＝12AB·DE＝9；
如答图②，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE，
当点C与点E重合时，△ABC的面积最大，
此时S△ABC＝S△ABE＝12AB·DE＝21.
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类型三：勾股定理确定最值问题
类型
圆心与弦上一点连线的垂线段长的最值
过直线l上一点向圆作切线，切线长的最值
图形
背景
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最值
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连接OQ，PQ＝????????2－????????2＝????2－????????2，当OP⊥BC时，OP长最小，PQ长最大(此时点Q与点C重合)
连接ON，当ON⊥l时，ON长最小，切线长MN取得最小值????????2－????2
类型
圆心与弦上一点连线的垂线段长的最值
过直线l上一点向圆作切线，切线长的最值
图形
背景
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最值
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如图，M为⊙O内任意一点， AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.
(1)求证：AB是过M点的所有弦中最短的弦；
(2)求证：过M点且与AB垂直的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
证明：(1)过点M随意作弦CD，交⊙O于点C，D，过点O作ON⊥CD于点N，连接OA，OC，在Rt△ONM中，OM为斜边，ON为直角边，∴OM>ON.
∵AM＝????????2－????????2，CN＝????????2－????????2，
∴AM∴AB是过M点的所有弦中最短的弦．
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(2)由(1)可知CD＝2????????2－????????2，
当ON＝0时，CD＝2OC最大，
此时弦CD为⊙O的直径，点O在弦CD上，
∵点M在弦CD上，∴线段OM在弦CD上，
故过点M且与AB垂直的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
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1．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝5，则弦BC的最大值为 .
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【解析】过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理易知E是AB中点，得OE是△ABC中位线，则BC＝2OE，而OE≤OP，故BC≤2OP，即可得出答案．
25
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2．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P为⊙O上一动点，M为AP的中点，连接CM.若⊙O的半径为2，则CM的最大值为 .
【解析】当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，延长CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大．
5＋1
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3．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一动点，连接AC，BC，若⊙O的半径为5，AB＝8，则点C到AB距离的最大值为 ，△ABC面积的最大值为 .
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32
4．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°.M是AD边的中点，⊙M经过点A，点N为⊙M上一动点，连接BN，CN，则点N到直线BC距离的最小值为 ，△BCN面积的最小值为 .
【解析】过点M作MF⊥BC于点F，当点N在MF上时，点N到直线BC的距离最小，此时点N到直线BC距离的最小值为MF－MN.
3－1
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3－1
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5．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q
在⊙O上，OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，PQ长的最大值为 .
【解析】连接OQ，则PQ2＝OQ2－OP2＝9－OP2，要想使得PQ的长最大，只需OP的长最短，根据垂线段最短原理，解答即可．
332
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6．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，⊙O的半径为2，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC(C为切点)，则线段PC长的最
小值为 .
【解析】连接OP，OC，由PC为⊙O的切线，利用切线的性质得到OC⊥PC，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PC最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PC长的最小值．
2115
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7．如图，⊙O的直径AB长为12，E是半径OA的中点，过点E作CD⊥AB交⊙O于点C，D，点P在????????????上运动，点Q在线段CP上，PQ＝2CQ，则EQ的最大值是 .
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【解析】延长CD到M点，使DM＝DE，连接MP，可根据三角形相似求得EQ＝13MP，当MP经过圆心时，MP有最大值，即EQ为最大值，连接OD，根据勾股定理求出DE，OM，即可求得MP的长，则可求得EQ的最大值．
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13＋2
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8．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝12，BC＝9，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC(包括端点)和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是 .
【解析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，过点O作OP1⊥BC于点P1，交半圆O于点Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1－OQ1，求出OP1，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值＝7.5＋4.5＝12，即可求解．
10.5
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q.则在
点P运动过程中，切线CQ长的最大值为 .
【解析】连接OQ，由CQ切⊙O于点Q，可得当OQ最小时，CQ最大，即当OP⊥AB时，CQ最大，然后由菱形与直角三角形的性质，求得OP的长，继而求解．
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