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常州市第一中学2026届高三数学12月质量检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的真子集的个数为（ ）
A 2 B. 6 C. 7 D. 8
2. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　）
A. B.
C. D.
5. 如图为函数图象，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某物理量测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（ ）
A. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小
C. 越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大
D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
7. 五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ）
A. 48种 B. 72种 C. 90种 D. 108种
8. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ）
A. A与B相互独立 B.
C. D.
10. 已知函数的定义域为，对任意的且，都满足，当时，，且，则下列判断正确的有（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 在单调递增
D. 不等式的解集为
11. 已知斜三棱柱中，平面平面为中点，为中点，，四边形为菱形，，点是侧面（含边界）的动点，在棱（含端点）上运动.下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则点的轨迹长为
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥与三棱锥的体积比为1:4
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________．
13. 已知均为正实数，若，则的值为______.
14. 已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4
销量 33 69 93 129
附：相关系数；
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，
（1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）
（2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．
16. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）如图，是外一点，若，，，求平面四边形的对角线的长.
17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为上一点.
（1）若为中点，证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值.
18. 如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，.
（i）求的值；
（ii）求直线的斜率的最小值.
19. 已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）若函数在时有最小值，求正实数的取值范围.
常州市第一中学2026届高三数学12月质量检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）与具有较强的线性相关关系
（2），（千辆）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）答案见解析.

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