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导数的几何意义
壹 切线的斜率
1.函数 f(x)在点 x0处的导数 f ′ (x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．
相应地，切线方程为 y- y0= f′ (x0) (x- x0)．
2.函数 f(x)的导函数
′ ( ) = f(x+Δx)- f(x)称函数 f x lim 为 f(x)的导函数(简称导数)．
Δ→0 Δx
例题分析
例已知直线 l与曲线 y= x3- x在原点处相切，求 l的倾斜角.
解由 y = 3x2- 1，则 y |x=0=-1，即直线 l的斜率为-1，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l的倾斜角为
3π
4 .
例题分析
例以正弦曲线 y= sinx上一点P为切点得切线为直线 l，则直线 l的倾斜角的范围是 .
解因为 y= sinx，所以 y = cosx，∵ cosx∈ -1,1 ，∴切线的斜率范围是 -1,1 ，∴倾斜角的范围是
π
0, 4 ∪
3π 4 ,π .
变式1 曲线 y= ex在点 0,1 处的切线的斜率 变式3 设曲线 y= x3- 2x2+ 1在 x= k处的切
为 1 . 线为 l，若 l的倾斜角小于 135°，则实数 k的取值范
【解析】因为 y = ex，所以 y x=0 = e0= 1，根据导数的几何意义可 围是 (-∞,0]∪ 1 ,1 ∪ 4 ,+∞= x .知，曲线 y e 在点 0,1 处的切线的斜率为 1. 3 3
【解析】令 f(x) = x3- 2x2+ 1，求导得 f (x) = 3x2- 4x，则切线 l的
2
变式2 2曲线 y= lnx- 在 x= 1处的切线的倾 斜率为 f (k) = 3k - 4k，由 l的倾斜角小于 135°，得切线 l的斜率 f
(k)
x <-1或 f (k)≥ 0，即 3k2- 4k<-1或 3k2- 4k≥ 0，
斜角为 α，则 sin2α的值为 3 解 3k25 - 4k<-1得
1 2 4
3 < k< 1，解 3k - 4k≥ 0得 k≤ 0或 k≥ 3 ，
∵ = 1 + 2 ∴ = ∴ = 2sinαcosα = 所以实数 k的取值范围是 (-∞ , 0]∪ 1 ,1 ∪ 4【解析】 y ， tanα 3， sin2α 3 3 ,+∞ .x x2 sin2α+cos2α
2tanα 6 3
1+tan2
=
α 1+9
= 5 .
贰 切线方程
一、在型求切线方程
y= f(x)
斜率为导函数在该点的函数
值，即 y- f(x0)= f '(x0)(x-x0)
k= f '(x0) 切线方程
P(x0, f(x0))
切点
函数 f(x)在 x= x0处的导数 f ′ (x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率
1
即
f′ (x0) = k= tanα．
相应地，切线方程由直线的点斜式方程表示为
y- f x0 = f′ x0 ·(x- x0)．
解题步骤：
1 求斜率:求该点处的导数值：k= f′(x0)
(2)求切线:点斜式对应的直线方程：y- f(x0)= f′(x0)(x-x0)
例题分析
例求函数 f x = xlnx在 1,0 处的切线方程.
解 ∵ f x = lnx+ 1，所以切线的斜率为 k= f 1 = 1，所以函数 f x 在 1,0 处的切线方程为 y- 0= x
- 1，即 y= x- 1.
变式1 已知函数 f(x) = ax4+ -x 2x的图象经过点 此时 f x = e - 3，故所求切线的斜率为 f -1 = e- 3，又
f -1 =-e+ 4，
A(1 , 1)，则函数 f (x)在点 A处的切线方程是 故函数 f x 在点 -1, f -1 处的切线方程为 y- -e+4 =
2x+y-3=0 . e-3 x+1 ，即 e-3 x- y+ 1= 0．
【解析】将点A(1 , 1)的坐标代入 f(x) = ax4+ 2x，得 1= a+ 2，解
=- ( )=- 4+ 变式5 点P是 f(x) = (x+ 1)
2上任意一点，则点P
得 a 1，故 f x x 2x，
由 f x =-4x3+ 2，所以点A处切线的斜率为 f 1 =-4+ 2= 到直线 y= x- 1的最短距离是 ，此时点P
-2， 的坐标为 ．
故所求的切线方程为 y- 1=-2(x- 1)，即 2x+ y- 3= 0．
答案　 7 2 　 - 18 2 ，
1
4
变式2 曲线 f x = 2 x+ex 在点 0, f 0 处的 解析　与直线 y= x- 1平行的 f(x) = (x+ 1)2的切线的切点到直
切线方程为 4x-y+2=0 . 线 y= x- 1的距离最短．
1 1
【解析】因为 f x = 2 x+ex ，所以 f x = 2 1+ex ， 设切点为 (x0，y0)，则 f ′ (x0) = 2(x0+ 1) = 1，∴ x0=- 2 ，y0= 4 .
所以所求切线的斜率为 f 0 = 4，又 f 0 = 2， - 1 - 11 1 2 4 -1
所以所求的切线方程为 y- 2= 4x，即 4x- y+ 2= 0． 即P - 2 ，4 到直线 y= x- 1的距离最短．∴ d= =(-1)2+12
变式3 函数 f( 7 2x) =-x3+ 3sinx的图象在点A(0 8 .
, f(0))处的切线方程是 x-y=0 . 变式6 曲线 y= ln(2x- 1)上的点到直线 2x- y+
【解析】因为 f(x) =-x3+ 3sinx，所以 f(0) = 0，所以切点为A(0 ,
0)，又 f (x) =-3x2+ 3cosx 3= 0的最短距离是 (　　)，
由导数的几何意义知函数的图象在点A处的切线斜率 k= f (0) = A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 0
0+ 3cos0= 3，
答案　A
故得函数 f(x)的图象在点A处的切线方程是 y- 0= 3(x- 0)，即
解析　设曲线 y= ln(2x- 1)在点 (x0，y0)处的切线与直线 2x- y
为 3x- y= 0．
+ 3= 0平行．∵ y′ = 22x-1 ，
变式4 设定义在R上的奇函数 f x 满足当 x≥ 0
∴ y' = 22x -1 =2，解得 x0= 1，∴ y0= ln(2- 1) = 0，即切点坐x=x0
时 ，f x = e x - 3 x + a ，则 函 数 f x 在 点 0
标为 (1 , 0)．
-1, f -1 处的切线方程为 e-3 x-y+1=0 。 ∴ ( , ) - + = = |2-0+3|切点 1 0 到直线 2x y 3 0的距离为 d =
【解析】由题意，f 0 = 1- 0+ a= 0，解得 a=-1，即当 x≥ 0时， 4+1
f x = ex- 3x- 1． 5，即曲线 y= ln(2x- 1)上的点到直线 2x- y+ 3= 0的最短距离是
当 x< 0时，-x> 0，所以 f x =-f 5 . -x =- e-x-3 -x -1 =
-e-x- 3x+ 1，
二、过A(m ,n)的切线方程的求法
2
y= f(x)
过A点切线方程
A(m,n)
P(x0, f(x0))
A不是切点，需要自己设出切点P(x0 , f(x0))
解题步骤：
(1)设点：设切点的坐标 (x0 , y0)
(2)求导：求导函数 f (x0)
f ( ) (x0)= y-y03 列式： x-x0 求 x0y0= f(x0)
(4)点斜式：y- y = f 0 (x0)．
例题分析
例 已知曲线 y= 14 x
2 , 过 点P 4, 74 作曲线的切线方程为 .
解 y = 12 x，
∵点P 4, 74 不在曲线 y=
1
4 x
2上，∴点P不是切点．设切点为 x0,y 10 ，则 y = x20 4 0.
∴切线的斜率为 k= 12 x0.
y - 7 1 2 70 x0-
又∵切线过P 4, 74 和 x
1 4 4 4
0,y0 两点，所以 2 x0= x -4 =0 x -4
.解得 x0= 1或 x0= 7.
0
∴过P 4, 74 的切线的斜率为
1 或 72 2 ，
切线方程为 y- 7 = 1 x-4 或 y- 7 74 2 4 = 2 x-4 ，即 2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0.
故答案为：2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0.
变式7 已知函数 f(x) = xln x，若直线 l过点 (0， ( , ) 8 , = y0 = 3y又切线过点 x 00 y0 和 3 0 ，所以 k 8 3x -8 ，x 00-
-1)，并且与曲线 y= f(x)相切，则直线 l的方程为 3
4
． - 4 = 3y
3 x0+ 2
所以 1 0

= x0

= 3x0+12
x2 3x -8 3x -8 3x2
，
答案　 - - = 0
0 0 0-8x0
x y 1 0
化简得 x30+ 3x20- 4x0= 0，因为 x0≠ 0，所以 x0=-4或 x0= 1.
解析　∵点 (0，-1)不在曲线 f(x) = xln x上，∴设切点坐标为 4 3 4
(x ，y )． 所以 k= 1- 2 = 4 ，或 k= 1- 2 =-3，0 0 (-4) 1
y =x lnx ，
又 ∵ f ′ (x) = 1+ ln x(x> 0)，∴ 0 0 0 解得 x = 所以所求切线方程是 y=
3 x- 8 或 y=-3 x- 8 ，即 3x-
y0+1=(1+lnx0)
0 4 3 3 x0，
4y- 8= 0或 3x+ y- 8= 0.
1，y0= 0.
∴切点坐标为 (1 , 0)，∴ f ′ (1) = 1+ ln 1= 1. 变式9 已知曲线 y= 2x2- 7，则曲线过点P(3 ,
∴直线 l的方程为 y= x- 1，即 x- y- 1= 0.
9)的切线方程为 8x-y-15=0或16x-y-39=0 .
变式8 曲线C : f x = x+ 4 8过点A ,0 的 【解析】点P(3 , 9)不在曲线 y= 2x2- 7上．设所求切线的切点为2 x 3 P x0,y 0 ，则切线的斜率 k= f x0 = 4x0，故所求的切线方程为 y- y0
切线方程为 3x-4y-8=0或3x+y-8=0 . = 4x0 x-x0 ，将P(3 , 9)及 y0= 2x20- 7代入上式，得 9- 2x20-7 =
【解析】f (x) = 1- 4 ， 4x0 3-x0 ，解得 x0= 2或 x0= 4，所以切点为 (2 , 1)或 (4 , 25)．从而所
x2 求切线方程为 8x- y- 15= 0或 16x- y- 39= 0.
因为点A 83 ,0 不在曲线上，所以设切线的切点是 (x0 , y0)，则切
变式10 已知 f x = x3- 4x2+ 5x- 4，求则经过
线的斜率 k= f (x 40) = 1- 2 ，x0
点A 2,-2 的曲线 f x 的切线方程
3
y+2=0或x-y-4=0 . 故有-2- x30-4x20+5x0-4 = 3x20-8x0+5 2-x0 ，
3
解：令该切线方程的切点为 x , f x ，则 f x = x3- 4x2+ 5x - 化简得 x0- 5x
2
0+ 8x0- 4= 0，即 x0-1 x
2
0-2 = 0，故 x0= 1或
0 0 0 0 0 0
4，f x = 3x2- 8x+ 5，f x = 3x2- 8x + 5， x0= 2， 0 0 0
则有 y- x3-4x2+5x -4 = 3x2-8x +5 x-x ， 当 x0= 1时，y+ 2= 0，当 x0= 2时，即 x- y- 4= 0. 0 0 0 0 0 0
又该直线过点A 2,-2 ，
叁 已知切线求参数
在求切线方程的过程中存在 3个等式
①切点在原函数图象上；
②切点在切线上；
③切线的斜率 k= f '(x0)
例题分析
例若直线 y= x- 1是曲线 y= alnx- 1的一条切线，求实数 a的值．
解由题可知 y = a x>0 ，设 y= alnx- 1的切点为 x ,alnx -1 ，则切线斜率为 ax 0 0 x ，0
a =1可得 x0 ，解得 a= e．故答案为: e.x0-1=alnx0-1
变式1 b
1
若函数 f x = alnx - x 在点 1, f 1
【解析】设切点为 (x0 , lnx0) , (x0> 0)，由题得：y = x ，故切线斜率
2+ 2 为
1 ，切线方程为：y- lnx = 1
a b x 0
(x- x0)，
0 x0
处的切线的斜率为 4，则 + 的最小值为 2 .a b 因切线经过点 2,t ，则 t- lnx = 10 x (2- x0)，故 (t+ 1)x0-0
【解析】由已知 f x a b = + x 2 ，所以 f 1 = a+ b= 4，x x0lnx0- 2= 0有两个不同得实数根.
2 2 2
则 a +b = a
2+b2 1 a+b 不妨设 g(x) = (t+ 1)x- xlnx- 2 , (x> 0)，则 g (x) = t- lnx,
+ 4 ≥ 4 × 2 = 2，a b 当 0< x< et时，g (x)> 0，g(x)单调递增；当 x> et时，g (x)< 0，
当且仅当 a= b= 2时等号成立． g(x)单调递减.
故 g(x) = g(et t t
= + max
) = e - 2，则 e - 2> 0，即 t> ln2.
变式2 若斜率为 1的直线 l与曲线 y ln x a
和圆 x 2 + y 2 = 1 都相切，则实数 a 的值为 变式4
a-x
已知曲线 y= x 存在过坐标原点的切
2 e
a=2或a=0 . 线，则实数 a的取值范围是 -∞,-4 ∪ 0,+∞ .
= + , = 【解析】∵ y= a-x ，∴ y = -1-a+x【解析】设直线 l与曲线 y ln x a 的切点为P x0 y0 ，由 y x x ，设切点为 x0,y0 ，则 y0=e e
ln x+a = 1 x+a ，则
1 = 1， a-x0 = -1-a+xx0+a x ，切线斜率 k
0
x ，e 0 e 0
则 x0= 1- a , y0= 0，即切点为P 1-a,0 ，所以直线 l为 y= x- 1
∴ a-x -1-a+x+ 切线方程为 y-
0 = 0x x x-x ，a ， e 00 e 0
2 2 -1+a a-x0 -1-a+x0 2又直线 l与圆 x + y = 1 都相切，则有 = 2 ，解得 a= ∵切线过原点，∴- x = x -x0 ，整理得：x0- axe e 02 2 2 0 0
2或 a= 0． - a= 0,
∵存在过坐标原点的切线，∴Δ= a2+ 4a≥ 0，解得 a≤-4或 a≥
变式3 若过点 2,t 可以作曲线 y= lnx的两条 0，∴实数 a的取值范围是 -∞,-4 ∪ 0,+∞ .
切线，则 t>ln2 .
课后练习
A组
1.曲线 y= x3- 4x2+ 4在点 (1 , 1)处的切线方程为 。
答案 y=-5x+ 6
解析　由 y= x3- 4x2+ 4，得 y′ = 3x2- 8x，y′|x=1= 3- 8=-5，y- 1=-5(x- 1) ,∴ y=-5x+ 6
4
2. ( ) P y= 4多选 已知点 在曲线 x 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 α的取值可以是 (　　)e +1
A. π4 B.
π
2 C.
3π
4 D.
7π
8
答案　CD
4 -4ex x解析　因为 y= x ，所以 y′ = 2 =
-4e -4 x x 1
e +1 (ex+1) e2x+2ex
= .因为 e > 0，所以 e + ≥
+1 xex+ 1x +2 ee
2(当且仅当 x= 0时取等号)，所以 y′ ∈ [-1 , 0)，所以 tan α∈ [-1 , 0)．又因为 α∈ [0，π)，所以 α∈
3π 4 ，π .
3.已知直线 y= x+ 1与曲线 y= ln(x+ a)相切，则 a的值为 (　　)
A. 1 B. 2 C. - 1 D. - 2
答案　B
1 =1，
解析　设切点坐标是 (x0，x0+ 1)，依题意有 x0+a 由此得 x0+ 1= 0，x0=-1，a= 2.x0+1=ln(x0+a)，
4. 2x-1曲线 y= x+2 在点 (1 , f(1))处的切线方程为 .
【答案】5x- 9y- 2= 0.
【详解】因为 f(x) = 2x-1x+2 = 2-
5
x+2 ，所以 f
(x) = 5 2 ，而 f(1) =
1 ，f (1) = 5
(x+2) 3 9
，
因此曲线 y= 2x-1 1 5x+2 在点 (1 , f(1))处的切线方程为：y- 3 = 9 (x- 1) 5x- 9y- 2= 0，
故答案为：5x- 9y- 2= 0.
5. f x = 3cosx+ sinx. y= f x π , f π已知函数 曲线 在点 3 3 处的切线方程为 .
答案：y=-x+ π3 + 3
解：因为 f x = 3cosx+ sinx，所以 f π3 = 3cos
π
3 + sin
π
3 = 3，
所以 f x =- 3sinx+ cosx，f π 3 =- 3sin
π
3 + cos
π
3 =-1，
所以切点为 π3 , 3 ，切线的斜率 k=-1，
所以切线方程为 y- 3=- x- π3 ，即 y=-x+
π
3 + 3；
故选：C
6.曲线 y= xex+ 2x- 2在 x= 0处的切线方程是
【答案】3x- y- 2= 0
【详解】y= xex+ 2x- 2，则 y = x+1 ex+ 2，当 x= 0时，y=-2，y = 3，所以切线方程为 y- -2 =
3x，即 3x- y- 2= 0．
7.已知函数 f x = 3x- xlnx，则曲线 y= f x 在点 e, f e 处的切线方程为 .
【答案】x- y+ e= 0
【详解】解：因为 f (x) = 2- lnx∴ f e = 2- 1= 1，又 f e = 3e- e= 2e，
∴切线方程为：y- 2e= x- e，即 x- y+ e= 0；
故答案为：x- y+ e= 0.
5
8.已知 f(x) = x2，则过点P(-1，0)且与曲线 y= f(x)相切的直线方程为 。
A. y= 0 B. 4x+ y+ 4= 0
C. y= 0或 4x+ y+ 4= 0 D. y= 0或 4x- y+ 4= 0
【答案】y= 0或 4x+ y+ 4= 0
【详解】设切点为 x0,y0 ，则 y0= x20，切线斜率为 k= f x0 = 2x0
所以切线方程为 y- x20= 2x0 x-x0 ，因为过点P -1,0 则-x20= 2x0 -1-x0
解得 x0= 0或 x0=-2，所以切线方程为 y= 0或 4x+ y+ 4= 0
9.已知函数 f(x) = ex，过原点作曲线 y= f(x)的切线 l，则直线 l的方程为____________
【答案】y= ex
【解析】由 f(x) = ex可得 f '(x) = ex，设切点为A x x00,e ，
则切线方程为 y- ex0= ex0 x-x0 ，
把 0,0 代入可得-ex0= ex0 -x0 ，故 x0= 1，可得切线方程为 y= ex，
10.曲线 y= ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】y= 1 x；y=- 1e e x.
【分析】分 x> 0和 x< 0两种情况，当 x> 0时设切点为 x0,lnx0 ，求出函数的导函数，即可求出切线
的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 x0，即可求出切线方程，当 x< 0时同理可
得；
解：当 x> 0时 y= lnx，设切点为 x0,lnx0 ，由 y = 1 1x ，所以 y |x=x = x ，所以切线方程为 y- lnx0=0 0
1
x x-x0 ，0
又切线过坐标原点，所以-lnx0= 1x -x0 ，解得 x
1
0= e，所以切线方程为 y- 1= e x-e ，即 y=0
1
e x；
当 x< 0时 y= ln -x ，设切点为 x1,ln -x1 ，由 y = 1x ，所以 y
| 1x=x = x ，所以切线方程为 y-1 1
ln -x 1 1 = x x-x1 ，1
又切线过坐标原点，所以-ln -x1 = 1x -x1 ，解得 x1=-e，所以切线方程为 y- 1=
1
-e x+e ，即1
y=- 1e x；
故答案为：y= 1e x；y=-
1
e x
B组
11.曲线 y= xln x上的点到直线 x- y- 2= 0的最短距离是 .
答案 2　 2
解析　设曲线 y= xln x在点 (x0，y0)处的切线与直线 x- y- 2= 0平行．∵ y′ = ln x+ 1，∴ y'|x=x0
= ln x0+ 1= 1，解得 x0= 1，∴ y0= 0，即切点坐标为 (1 , 0)．∴切点 (1 , 0)到直线 x- y- 2= 0的距
= |1-0-2|离为 d = 22 ，即曲线 y= xln x上的点到直线 x- y- 2= 0的最短距离是
2
2 .1+1
12.设曲线 y= a(x- 1)ex在点 (1 , 0)处的切线与直线 x+ 2y+ 1= 0垂直，则实数 a=________.
答案 2　 e
6
解析　令 y= f(x)，则曲线 y= a(x- 1)ex在点 (1 , 0)处的切线的斜率为 f ′ (1)，又切线与直线 x+ 2y+
1= 0垂直，所以 f ′ (1) = 2.因为 f(x) = a(x- 1)ex，所以 f ′ (x) = aex +a(x- 1)ex= axex，所以 f ′ (1) =
ae，故 a= 2e .
13. 2求曲线 y= xe (x- 1)e 在点 (1 , 0)处的切线与坐标轴围成的面积．
解　由题意可知，y′ = 2e x·e
x，y′|x=1= 2，
∴切线方程为 y= 2(x- 1)，即 2x- y- 2= 0.
令 x= 0得 y=-2；令 y= 0得 x= 1.
∴曲线 y= 2 (x- 1)exe 在点 (1 , 0)处的切线与坐标轴围成的面积为S=
1
2 × 2× 1= 1.
14.已知 f(x)为偶函数，当 x< 0时，f(x) = ln(-x) + 3x，则曲线 y= f(x)在点 (1，-3)处的切线方程是
．
答案　 y=-2x- 1
解析　设 x> 0，则-x< 0，f(-x) = ln x- 3x，又 f(x)为偶函数，所以 f(x) = ln x- 3x，f ′ (x) = 1x -
3，f′ (1) =-2，所以切线方程为 y=-2x- 1.
15.在曲线 y= 1 2 上求一点，使过该点的切线平行于 x轴，并求切线方程．1+x
解　设切点坐标为P(x ，y )，由题意可知 y'| = 0.又 y′ = -2x ，∴ '| -2xy 00 0 x=x0 (1+ 2)2 x=x
= = 0.
x 0 (1+x20)2
解得 x0= 0，此时 y0= 1.即该点的坐标为P(0 , 1)，切线方程为 y- 1= 0.
7导数的几何意义
壹 切线的斜率
1.函数 f(x)在点 x0处的导数 f ′ (x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．
相应地，切线方程为 y- y0= f′ (x0) (x- x0)．
2.函数 f(x)的导函数
称函数 f′ ( ) = f(x+Δx)- f(x)x lim 为 f(x)的导函数(简称导数)．
Δ→0 Δx
例题分析
例已知直线 l与曲线 y= x3- x在原点处相切，求 l的倾斜角.
解由 y = 3x2- 1，则 y |x=0=-1，即直线 l的斜率为-1，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l的倾斜角为
3π
4 .
例题分析
例以正弦曲线 y= sinx上一点P为切点得切线为直线 l，则直线 l的倾斜角的范围是 .
解因为 y= sinx，所以 y = cosx，∵ cosx∈ -1,1 ，∴切线的斜率范围是 -1,1 ，∴倾斜角的范围是
0, π 3π 4 ∪ 4 ,π .
变式1 曲线 y= ex在点 0,1 处的切线的斜率 变式3 设曲线 y= x3- 2x2+ 1在 x= k处的切
为 . 线为 l，若 l的倾斜角小于 135°，则实数 k的取值范
围是 .
变式2 曲线 y= lnx- 2x 在 x= 1处的切线的倾
斜角为 α，则 sin2α的值为
贰 切线方程
一、在型求切线方程
y= f(x)
斜率为导函数在该点的函数
值，即 y- f(x0)= f '(x0)(x-x0)
k= f '(x0) 切线方程
P(x0, f(x0))
切点
函数 f(x)在 x= x0处的导数 f ′ (x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率
1
即
f′ (x0) = k= tanα．
相应地，切线方程由直线的点斜式方程表示为
y- f x0 = f′ x0 ·(x- x0)．
解题步骤：
1 求斜率:求该点处的导数值：k= f′(x0)
(2)求切线:点斜式对应的直线方程：y- f(x0)= f′(x0)(x-x0)
例题分析
例求函数 f x = xlnx在 1,0 处的切线方程.
解 ∵ f x = lnx+ 1，所以切线的斜率为 k= f 1 = 1，所以函数 f x 在 1,0 处的切线方程为 y- 0= x
- 1，即 y= x- 1.
变式1 已知函数 f(x) = ax4+ 2x的图象经过点 变式4 设定义在R上的奇函数 f x 满足当 x≥ 0
A(1 , 1)，则函数 f (x)在点 A处的切线方程是 时 ，f x = e x - 3 x + a ，则 函 数 f x 在 点
. -1, f -1 处的切线方程为 。
变式2 曲线 f x = 2 x+ex 在点 0, f 0 处的
切线方程为 . 变式5 点P是 f(x) = (x+ 1)
2上任意一点，则点P
到直线 y= x- 1的最短距离是 ，此时点P
的坐标为 ．
变式3 函数 f(x) =-x3+ 3sinx的图象在点A(0
, f(0))处的切线方程是 . 变式6 曲线 y= ln(2x- 1)上的点到直线 2x- y+
3= 0的最短距离是 (　　)
A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 0
二、过A(m ,n)的切线方程的求法
y= f(x)
过A点切线方程
A(m,n)
P(x0, f(x0))
A不是切点，需要自己设出切点P(x0 , f(x0))
解题步骤：
(1)设点：设切点的坐标 (x0 , y0)
(2)求导：求导函数 f (x0)
2
( )= y-yf x 0(3) 0列式： x-x0 求 x0y0= f(x0)
(4)点斜式：y- y0= f (x0)．
例题分析
例 已知曲线 y= 1 x24 , 过 点P 4,
7
4 作曲线的切线方程为 .
解 y = 12 x，
∵点P 4, 74 不在曲线 y=
1
4 x
2上，∴点P不是切点．设切点为 x 1 20,y0 ，则 y0= 4 x0.
∴切线的斜率为 k= 12 x0.
7 1 2 7
又∵切线过P 4, 7
y0- x0-
4 和 x ,y 两点，所以
1 x = 4 4 4 0 0 2 0 x -4 = x -4 .解得 x0= 1或 x0= 7.0 0
∴过P 4, 74 的切线的斜率为
1 或 72 2 ，
切线方程为 y- 74 =
1 x-4 或 y- 7 72 4 = 2 x-4 ，即 2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0.
故答案为：2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0.
变式7 已知函数 f(x) = xln x，若直线 l过点 (0， 变式9 已知曲线 y= 2x2- 7，则曲线过点P(3 ,
-1)，并且与曲线 y= f(x)相切，则直线 l的方程为 9)的切线方程为 .
．
变式8 4 8曲线C2 : f x = x+ x 过点A 3 ,0 的
变式10 已知 f x = x3- 4x2+ 5x- 4，求则经过
切线方程为 .
点A 2,-2 的曲线 f x 的切线方程 .
叁 已知切线求参数
在求切线方程的过程中存在 3个等式
①切点在原函数图象上；
②切点在切线上；
③切线的斜率 k= f '(x0)
例题分析
例若直线 y= x- 1是曲线 y= alnx- 1的一条切线，求实数 a的值．
解由题可知 y = ax x>0 ，设 y= alnx- 1的切点为 x0,alnx0-1 ，则切线斜率为
a
x ，0
ax =1可得 0 ，解得 a= e．故答案为: e.x0-1=alnx0-1
3
变式1 若函数 f x = alnx - bx 在点 1, f 1
变式3 若过点 2,t 可以作曲线 y= lnx的两条
4 a
2+b2 切线，则 .
处的切线的斜率为 ，则 + 的最小值为 .a b
变式4 已知曲线 y= a-xx 存在过坐标原点的切e
变式2 若斜率为 1的直线 l与曲线 y= ln x+a
线，则实数 a的取值范围是 .
和圆 x2+ y2= 12 都相切，则实数 a的值为 .
课后练习
A组
1.曲线 y= x3- 4x2+ 4在点 (1 , 1)处的切线方程为 。
2. (多选) 4已知点P在曲线 y=
ex
上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 α的取值可以是 (　　)
+1
A. π B. π C. 3π4 2 4 D.
7π
8
3.已知直线 y= x+ 1与曲线 y= ln(x+ a)相切，则 a的值为 (　　)
A. 1 B. 2 C. - 1 D. - 2
4. y= 2x-1曲线 x+2 在点 (1 , f(1))处的切线方程为 .
5.已知函数 f x = 3cosx+ sinx.曲线 y= f π π x 在点 3 , f 3 处的切线方程为 .
6.曲线 y= xex+ 2x- 2在 x= 0处的切线方程是
7.已知函数 f x = 3x- xlnx，则曲线 y= f x 在点 e, f e 处的切线方程为 .
8.已知 f(x) = x2，则过点P(-1，0)且与曲线 y= f(x)相切的直线方程为 。
A. y= 0 B. 4x+ y+ 4= 0
C. y= 0或 4x+ y+ 4= 0 D. y= 0或 4x- y+ 4= 0
9.已知函数 f(x) = ex，过原点作曲线 y= f(x)的切线 l，则直线 l的方程为____________
4
10.曲线 y= ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
B组
11.曲线 y= xln x上的点到直线 x- y- 2= 0的最短距离是 .
12.设曲线 y= a(x- 1)ex在点 (1 , 0)处的切线与直线 x+ 2y+ 1= 0垂直，则实数 a=________.
13.求曲线 y= 2e (x- 1)e
x在点 (1 , 0)处的切线与坐标轴围成的面积．
14.已知 f(x)为偶函数，当 x< 0时，f(x) = ln(-x) + 3x，则曲线 y= f(x)在点 (1，-3)处的切线方程是
．
15. 1在曲线 y= 2 上求一点，使过该点的切线平行于 x轴，并求切线方程．1+x
5

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