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第1节 导数的概念与计算
壹 导数与导函数的概念
y y
f(xB) B f(xA+Δx) B
f(xA) A f(xA) A
xA x x xB A xA+Δx x
Δy= f(x )- f(x ) Δx=xB-xB A A Δy= f(xA+Δx)- f(xA) Δx
(1)一般地，函数 y= f(x)在 x= x0处的瞬时变化率是
Δy = f(x0+Δx)- f(x )lim lim 0 ，
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
我们称它为函数 y= f(x)在 x= x0处的导数，记作 f′ (x0)或 y |x=x，即0
f′ (x0) =
Δy f(x +Δx)- f(x )
lim = lim 0 0 .
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
(2)如果函数 y= f(x)在开区间 (a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在 (a，b)内构成一个新函
数，这个函数称为函数 y= f(x)在开区 (a，b)间内的导函数．记作 f′ (x)或 y′.
(3)求函数 y= f(x)在点 x0处的导数的三个步骤
例题分析
例对于函数 f(x) =-x2+ 1.如何求 f′ (x0)
-(x +Δx)2+1-(-x2+1)
解 f '(x ) = lim 0 00 = lim(-2x0-Δx) =-2x△ → Δx △ → 0x 0 x 0
f(x -3△x)- f(x )
例设函数 y= f(x)在 x= x0处可导，且 lim 0 0△x = a，则 f′ (x0) = -
1
3 a .△x→0
∵ f(x0-3Δx)- f(x )解 lim 0 = f(x0-3Δx)- f(x0)lim ·(-3) =-3f′ (x ) = a，∴ f′ (x ) =- 1 a.
△x→0 Δx △ → -3Δx 0 0x 0 3
瞬时变化率的变形形式
f(x +Δx)- f(x ) f(x -Δx)- f(x ) f(x +nΔx)- f(x )
lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0
Δx→0 Δx Δx→0 -Δx Δx→0 nΔx
= f(x0+Δx)- f(x0-Δx)lim = f′ (x )．
Δx→0 2Δx 0
1
变式1 f(x) = x2在 x= 1处的导数为 2 = 3 .
Δy = f(1+Δx)- f(1) ′ ( ) =
f(1+Δx)- f(1)
解： lim lim 解：因为 f 1 lim
Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
= 1+2Δx+(Δx)
2-1 a(1+Δx)+3-(a+3)
lim = lim (2+Δx) = 2. = lim = a.
Δx→0 Δx Δx→0 Δx→0 Δx
又因为 f ′ (1) = 3，所以 a= 3
变式2 已知 f(x) = 2x ，且 f ′ (m) =-
1
2 ，则m的 变式4 一物体做直线运动，其运动方程为 s(t) =
值等于 m=±2 -t2+ 2t，则 t= 0时，其速度为 2 .
2 2 2
∵ Δy解： = f(m+Δx)- f(m) = m+Δx
- m -2 Δs -(t+Δt) +2(t+Δt)-(-t2+2t)= ( + ) ，
解：∵ lim = lim
Δx Δx Δx m m Δx Δt→0 Δt Δt→0 Δt
∴ f ′ (m) = lim -2 =- 2 ，∴- 2 =- 1 ，m2= 4， = lim (-2t+ 2-Δt) =-2t+ 2，2 2
Δx→0m(m+Δx) m m 2 Δt→0
解得m=±2. 所以当 t= 0时，其速度为 2.
变式3 设函数 f (x) = ax+ 3，若 f ′ (1) = 3，则 a
贰 导数的计算
一、常见函数的导数
原函数 导函数
y= c y = 0
y= f(x) = xn(n∈Q*) y =nxn-1
y= sinx y = cosx
y= cosx y =-sinx
y= f(x) = ax y = ax lna(a> 0)
y= f(x) = ex y = ex
f(x) = logax f (x) =
1
xlna (a> 0且 a≠ 1)
f(x) = lnx f (x) = 1x
变式1 求下列函数的导数
(1)y= x5； (2)y= lnx； (3)y= 1x
(4)y= sinx； (5)y= ex; (6)y= cosx
答案：(1)y = 5x4 ; (2)y = 1x ; (3)y
=- 12 ; (4)y
= cosx ; (5)y = ex ; (6)y =-sinx.
x
变式2 求下列函数的导数
(1)y= 14 (2)y=
3 x4 (3)y= 3x
x
(4)y= ( 12 )
x (5)y= log4x (6)y= log 1x
2
1
答案：(1)y =-4x-5 ; (2)y = 4 3 x 1 x 1 1 13 x ; (3)y = 3 ln3 ; (4)y = ( 2 ) ln 2 ; (5)y = ; (6)y =- .xln4 xln2
2
二、导数的计算法则
1.导数的加减运算法则：
[ f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x)；
例 求 y= x5+ x3的导数
解 y′ = x5+x3 ′ = x5 ′ + x3 ′ = 5x4+ 3x2.
2.导数的乘法法则：.
[ f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)； 特别地
[kf(x)]'=kf '(x),(k为常数)
例 求 y= xln x的导数。
解 y' = (xlnx)' = x'lnx+ x(lnx)' = lnx+ x 1x = lnx+ 1
3.导数的除法法则：
f(x) ′= f′(x)g(x)- f(x)g′(x) g(x) (g(x)≠0)．[g(x)]2
ex例 求 y= x 的导数。
ex (ex)′x-ex(x)′ ex·x-ex解 y′ = x ′ = x2 = x2 .
变式3 求下列函数的导数：
1 1
(1)y= x2+ 2x； (2)y= 3x- x3； (3)y= x 3 + lnx； (4)y= ex- 1 5x + x ．
1 - 2 1 1 1 - 4(1)y = 2x+ 2 (2)y = 3xln3- 3x2 (3)y = x 33 + x x>0 (4)y
= ex+ 2 + 5 x
5 x≠0
x
变式4 求下列函数的导数：
2
(1)y= x3sinx； (2)y= x lnx； (3)y= x+1x-1 ； (4)y=
x
cosx．
( ) = 2( + ) ( ) = x(lnx+2)1 y x 3sinx xcosx 2 y (3)y =- 2 (4)y = 2xcosx+x
2sinx
2x .(x-1)2 cos2x
三、复合函数求导
复合函数 y= f(g(x))的导数和函数 y= f(u)，u= g(x)的导数间的关系为 yx′ = yu′·ux′，即 y对 x的导
数等于 y对u的导数与u对 x的导数的乘积．
例 求函数 y= e3x+2的导函数
解 设 y= eu，u= 3x+ 2，则 yx′ = (eu)′·(3x+ 2)′ = 3eu= 3e3x+2.
变式5 下列函数的导数．
(1)y= 2x-1 4 ； (2)y= cos 2x- π4 ； (3)y= ln 4x-1 ； (4)y= sin3x+ sinx3．
(1)y = 8 2x-1 3 (2)y =-2sin 2x- π (3)y = 44 4x-1 (4)y = 3sin2xcosx+ cosx3 3x2
3
叁 函数在某处的导数值
例题分析
例 已知函数 f(x) = cosx+ sin2x，求 f π2 的值。
解 由题意得 f x =-sinx+ 2cos2x，所以 f π π2 =-sin 2 + 2cos 2×
π
2 =-3.
例 已知函数 f x 满足 f x = f π3 sinx- cosx，求 f
π3 的值.
解 由已知可得，f x = f π π π π π 1 π 33 cosx+ sinx，则 f 3 = f 3 cos 3 + sin 3 = 2 f 3 + 2 ，所
以，f π3 = 3 .
变式1 f(x) = f (2024)lnx- 1已知 x2+ x ，则 f 则 f 3 = - 142 3
(2024) = -2024 。 【解析】因为 f x = lnx- f
1 x2+ 3x- 4，则 f x 1 = x - 2f
1 x
f ( ) = (2024)
4 1 8
- + ( ) = + 3，所以，f 1 = 4- 2f
1 ，解得 f 1 = 3 ，所以，f
x = - x
【解析】求导得：f x x 3x x 1，所以 f 2024
f (2024) 2023 + 3，因此，f
3 = 1 - 8+ 3=- 14 .
- 2024+ 1，即 f 2024 2024 (2024) =-2023，解得：f
(2024) = 3 3
-2024. 变式4 已知函数 f(x) = f π4 cos2x+ sinx，则
变式2 若函数 f x = sinx+ 2xf 0 ，则 f 0
f x 在 x= π4 处的导数为
2 .
= -1 6
π【解析】因为 f x = sinx+ 2xf 0 ，所以 f x = cosx+ 2f 0 ， 【解析】由已知可得 f x =-2f 4 sin2x+ cosx，所以 f
π4 =
则 f 0 = cos0+ 2f 0 = 1+ 2f 0 ，所以 f 0 =-1． -2f π4 sin 2×
π
4 + cos
π
4 ，所以 f
π4 =
2
6 .
变式3 已知函数 f x = lnx- f 1 x2+ 3x- 4，
课后练习
A组
1.求下列函数的导数.
(1)y= ex+ sinx ; (2)y= x+ x-1 ; (3)y= 2x- lnx.
答案：(1)y' = ex+ cosx ; (2)y' = 1- x-2 ; (3)y' = 2xln2.
2.求下列函数的导数.
(1)y= x2sinx ; (2)y= 3xlnx ; (3)y= 2xex.
x
答案：(1)y' = 2xsinx+ x2cosx ; (2)y' = 3xln3lnx+ 3x ; (3)y' = 2
xln2ex+ 2xex.
3.求下列函数的导数.
(1)y= sinx
x
x ; (2)y=
e ; (3)y= lnx2 x .x
xcosx- sinx x x 1- lnx
答案：(1)y' = ; (2)y' = 2e -xe2 3 ; (3)y' = .x x x2
4.求下列函数的导数.
(1)y= ln 3x ; (2)y= e-x ; (3)y= 32x.
答案：(1)y' =; (2)y' =; (3)y' = .
4
5.求下列函数的导数.
(1)y= (3x+ 5)7 ; (2)y= e3x-7 ; (3)y= ln -x+4 ;
3
(4)y= 32x-1 ; (5)y= sin 2x- π6 ; (6)y= (3x- 5) 4 .
答案：(1)y' = 21(3x+ 5)6 ; (2)y' = 3e3x-7 ; (3)y' = 1 2x-1 πx-4 ; (4)y' = 2ln3 × 3 ; (5)y' = 2cos(2x- 6 ) ;
- 1(6)y' = 9 (3x- 5) 44 .
6.已知 f(x) = lnxx ，则 f′ (1) =________.
答案　 1
B组
7.求下列函数的导数.
(1)y= x7+ x6- 3x5 ; (2)y= x
x2
; (3)y= cos3xsin2x ;
+1
(4)y= cosx1+sinx ; (5)y= 1+cosx sinx.
答案：(1)y' = 7x6+ 6x5- 15x4 ; (2)y' = 1-x
2
2 ; (3)y' =-3sin3xsin2x + 2sin2xcos3x ; (4)y' =(x2+1)
-sinx-1
(1+sinx)2
; (5)y' = cos2x+ cosx.
8.求下列函数的导数.
(1)y= 2x-5 ; (2)y= 1 ; (3)y= x2+1 x .(1-3x)4
- 1 2
答案：(1)y' = (2x- 5) 2 ; (2)y' = 12(1- 3x)-5 ; (3)y' = 2x x+ x +1 .
2 x
9.求下列函数在指定点处的导数.
(1)y= xsinx , x= π4 ; (2)y=
x
x , x= 1.e
答案：(1) 2 22 + 8 π ; (2)0.
10.若函数 f(x) = 12 f′ (-1)x
2- 2x+ 3，则 f′ (-1)的值为 .
答案　-1
11.已知函数 f(x) = f′ π cos x+ sin x f π4 ，则 4 的值为________．
答案　 1
5第1节 导数的概念与计算
壹 导数与导函数的概念
y y
f(xB) B f(xA+Δx) B
f(xA) A f(xA) A
xA x x xB A xA+Δx x
Δy= f(x )- f(x ) Δx=xB-xB A A Δy= f(xA+Δx)- f(xA) Δx
(1)一般地，函数 y= f(x)在 x= x0处的瞬时变化率是
Δy = f(x0+Δx)- f(xlim lim 0) ，
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
我们称它为函数 y= f(x)在 x= x 处的导数，记作 f′ (x )或 y 0 0 |x=x，即0
f′ (x0) =
Δy
lim = f(x0+Δx)- f(x )lim 0 .
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
(2)如果函数 y= f(x)在开区间 (a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在 (a，b)内构成一个新函
数，这个函数称为函数 y= f(x)在开区 (a，b)间内的导函数．记作 f′ (x)或 y′.
(3)求函数 y= f(x)在点 x0处的导数的三个步骤
例题分析
例对于函数 f(x) =-x2+ 1.如何求 f′ (x0)
2
'( ) = -(x0+Δx) +1-(-x
2
0+1)解 f x0 lim = lim(-2x0-Δx) =-2x△x→ 00 Δx △x→0
f(x -3△x)- f(x )
例设函数 y= f(x)在 x= x0处可导，且 lim 0 0△x = a，则 f′ (x0) = .△x→0
∵ f(x0-3Δx)- f(x0) = f(x -3Δx)- f(x )解 lim lim 0 0 ·(-3) =-3f′ (x ) = a，∴ f′ (x ) =- 1 a.
△x→0 Δx △ 0 0x→0 -3Δx 3
瞬时变化率的变形形式
f(x0+Δx)- f(x0) = f(x -Δx)- f(x ) f(x +nΔx)- f(x )lim lim 0 0- = lim
0 0
Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx→0 nΔx
= f(x0+Δx)- f(xlim 0-Δx) = f′ (x )．
Δx→0 2Δx 0
1
变式1 f(x) = x2在 x= 1处的导数为 变式3 设函数 f (x) = ax+ 3，若 f ′ (1) = 3，则 a
= .
变式2 已知 f(x) = 2 1，且 f ′ (m) =- ，则m的 变式4 一物体做直线运动，其运动方程为 s(t) =x 2
-t2+ 2t，则 t= 0时，其速度为 .
值等于
贰 导数的计算
一、常见函数的导数
原函数 导函数
y= c y = 0
y= f(x) = xn(n∈Q*) y =nxn-1
y= sinx y = cosx
y= cosx y =-sinx
y= f(x) = ax y = ax lna(a> 0)
y= f(x) = ex y = ex
f(x) = log 1ax f (x) = xlna (a> 0且 a≠ 1)
f(x) = lnx f (x) = 1x
变式1 求下列函数的导数
(1)y= x5； (2)y= lnx； (3)y= 1x
(4)y= sinx； (5)y= ex; (6)y= cosx
变式2 求下列函数的导数
(1)y= 14 (2)y=
3 x4 (3)y= 3x
x
(4)y= ( 1 x2 ) (5)y= log4x (6)y= log 1x2
二、导数的计算法则
1.导数的加减运算法则：
[ f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x)；
2
例 求 y= x5+ x3的导数
解 y′ = x5+x3 ′ = x5 ′ + x3 ′ = 5x4+ 3x2.
2.导数的乘法法则：.
[ f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)； 特别地
[kf(x)]'=kf '(x),(k为常数)
例 求 y= xln x的导数。
解 y' = (xlnx)' = x'lnx+ x(lnx)' = lnx+ x 1x = lnx+ 1
3.导数的除法法则：
f(x) f′(x)g(x)- f(x)g′(x) g(x) ′= 2 (g(x)≠0)．[g(x)]
x
例 e求 y= x 的导数。
ex (ex)′x-ex′ = ′= (x)′
x
解 y = e ·x-e
x
x 2 2 .x x
变式3 求下列函数的导数：
1
(1)y= x2+ 2x (2)y= 3x- x3 (3)y= x 3 + lnx (4)y= ex- 1
1
； ； ； + x 5x ．
变式4 求下列函数的导数：
2
(1)y= x3sinx； (2)y= x lnx； (3)y= x+1x-1 ； (4)y=
x
cosx．
三、复合函数求导
复合函数 y= f(g(x))的导数和函数 y= f(u)，u= g(x)的导数间的关系为 yx′ = yu′·ux′，即 y对 x的导
数等于 y对u的导数与u对 x的导数的乘积．
例 求函数 y= e3x+2的导函数
解 设 y= eu，u= 3x+ 2，则 yx′ = (eu)′·(3x+ 2)′ = 3eu= 3e3x+2.
变式5 下列函数的导数．
(1)y= 2x-1 4 ； (2)y= cos 2x- π4 ； (3)y= ln 4x-1 ； (4)y= sin3x+ sinx3．
3
叁 函数在某处的导数值
例题分析
例 已知函数 f(x) = cosx+ sin2x，求 f π2 的值。
解 由题意得 f x =-sinx+ 2cos2x，所以 f π =-sin π2 2 + 2cos 2×
π
2 =-3.
例 已知函数 f x 满足 f x = f π3 sinx- cosx
π
，求 f 3 的值.
解 由已知可得，f x = f π cosx+ sinx，则 f π = f π cos π + sin π = 1 3 3 3 3 3 2 f
π3 +
3
2 ，所
以，f π3 = 3 .
变式1 已知 f(x) = f (2024)lnx- 1 x2+ x，则 f 变式3 已知函数 f x = lnx- f 1 x2+ 3x- 4，2
( ) = 则 f
3 =
2024 。
π
变式2 若函数 f x = sinx+ 2xf 0 ，则 f 0 变式4 已知函数 f(x) = f 4 cos2x+ sinx，则
= f x 在 x= π4 处的导数为 .
课后练习
A组
1.求下列函数的导数.
(1)y= ex+ sinx ; (2)y= x+ x-1 ; (3)y= 2x- lnx.
2.求下列函数的导数.
(1)y= x2sinx ; (2)y= 3xlnx ; (3)y= 2xex.
3.求下列函数的导数.
(1)y= sinx ; (2)y= e
x
; (3)y= lnxx 2 x .x
4.求下列函数的导数.
(1)y= ln 3x ; (2)y= e-x ; (3)y= 32x.
5.求下列函数的导数.
(1)y= (3x+ 5)7 ; (2)y= e3x-7 ; (3)y= ln -x+4 ;
4
3
(4)y= 32x-1 ; (5)y= sin 2x- π6 ; (6)y= (3x- 5) 4 .
B组
6.求下列函数的导数.
(1)y= x7+ x6- 3x5 ; (2)y= x2 ; (3)y= cos3xsin2x ;x +1
(4)y= cosx1+sinx ; (5)y= 1+cosx sinx.
7.求下列函数的导数.
(1)y= 2x-5 ; (2)y= 1 4 ; (3)y= x2+1( - )
x .
1 3x
8.求下列函数在指定点处的导数.
(1)y= xsinx , x= π ; (2)y= x4 x , x= 1.e
9.若函数 f(x) = 1 22 f′ (-1)x - 2x+ 3，则 f′ (-1)的值为 .
2
10.已知函数 f(x) = f′ (-1) x2 - 2x+ 3，则 f(-1)的值为 ．
5

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