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小结与复习
第 16 章 函数及其图象
1. 常量与变量
叫变量，
叫常量.
2. 函数定义：
取值发生变化的量
取值固定不变的量
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
一、函数
3. 函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
解析式法
图象法.
5. 函数的三种表示方法：
4. 描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.
正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数 y＝kx＋b 变为 y＝ _____(k 为常数，k≠0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数.
0
kx
二、一次函数
1. 一次函数与正比例函数的概念
2. 分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的表达式也不同，这样的函数称为分段函数.
函数 字母系数取值 （ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x 增大而
增大
b = 0 b < 0 第一、三象限
第一、二、三象限
第一、三、四象限
3. 一次函数的图象与性质
函数 字母系数取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x增大而
减小
b＝0 b < 0 第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
求一次函数表达式的一般步骤：
(1) 先设出函数表达式；
(2) 根据条件列出关于待定系数的方程（组）；
(3) 解方程（组）求出表达式中未知的系数；
(4) 把求出的系数代入设的表达式，从而具体写出这个表达式. 这种求表达式的方法叫待定系数法.
4. 用待定系数法求一次函数的表达式
求 ax+b = 0 (a，b 是
常数，a≠0) 的解
x 为何值时，函数
y = ax + b 的值为 0？
从“数”的角度看
求 ax+b = 0 (a，b 是
　常数，a≠0) 的解
求直线 y = ax+b 与
x 轴交点的横坐标
从“形”的角度看
(1) 一次函数与一元一次方程
5. 一次函数与方程
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b(k、b为常数，且k≠0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
(2) 一次函数与二元一次方程
二元一次方程的解 对应直线上点的坐标
三、反比例函数
1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称
为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数．
三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的
图象是 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线
和 ；对称中心是 .
双曲线
原点
y = x
y=－x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
x
y
o
x
y
o
一、三
二、四
减小
增大
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一
点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围
成的矩形的面积为 .
推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂
线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的
三角形的面积为 ．
|k|
3. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数的解析式：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入 x，y 的一组对应值，或者该函数图象
上一个点的坐标，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
考点一 函数的有关概念及图象
例1 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到离家 900 米的公园，与朋友聊天 10 分钟后，用 15 分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间 x (分) 与离家距离 y (米) 之间的关系是 ( )
A
B
C
D
【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求.
D
O
O
O
O
1. 下列变量间的关系不是函数关系的是 ( )
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边长与面积
D. 圆的周长与半径
C
2. 函数 中，自变量 x 的取值范围是 ( )
A. x＞3 B. x＜3 C. x≤3 D. x≥-3
B
针对训练
x(分)
y(千米)
3. 星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程 y（千米）和所用的时间 x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是 ( )
A. 小强从家到公共汽车站步行了 2 千米
B. 小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟
C. 公共汽车的平均速度是 34 千米/时
D. 小强乘公共汽车用了 30 分钟
C
考点二 一次函数的图象与性质
例2 已知函数 y = (2m + 1) x + m - 3；
(1) 若该函数是正比例函数，求 m 的值；
(2) 若函数的图象平行于直线 y = 3x - 3，求 m 的值；
(3) 若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；
(4) 若这个函数图象过点 (1，4) ，求这个函数的解析式.
【分析】(1) 由函数是正比例函数得 m-3 = 0且2m+1≠0；(2) 由两直线平行得2m+1 = 3；(3) 一次函数中 y 随着 x 的增大而减小，即 2m+1＜0；(4) 代入该点坐标即可求解.
解： (1)∵函数是正比例函数，
∴m - 3 = 0，且 2m+1≠0，解得 m = 3.
(2)∵函数的图象平行于直线 y = 3x - 3，
∴2m + 1=3，解得 m = 1.
(3)∵y 随着 x 的增大而减小，∴2m+1＜0，解得m＜ .
(4)∵该函数图象过点（1，4），代入得2m+1+m-3=4，
解得 m = 2，∴该函数的表达式为 y = 5x - 1.
方法归纳 一次函数 y = kx + b 的图象与 y 轴交点的纵坐标就是 b 的值；两条直线平行，则其函数表达式中自变量的系数 k 相等；当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小.
4. 一次函数 y = -5x + 2 的图象不经过第______象限.
5. 点（-1，y1），（2，y2）是直线 y = 2x + 1 上两点，则 y1___ y2.
三
＜
针对训练
6. 填空题：
有下列函数：①　　　　 ， ②　　　，③ ， ④ . 其中函数图象过原点的是_____；函数 y 随
x 的增大而减小的是_____；函数 y 随 x 的增大而增大
的是_______；图象经过第一、二、三象限的是______.
②
③
④
①②③
x
y
2
=
考点三 一次函数与一次方程
例3 如图，一次函数 y1 = x + b 与一次函数 y2 = kx + 4 的图象交于点 P（1，3），则关于 x 的方程 x + b = kx + 4 的解是（ ）
y
x
O
y1= x + b
y2 = kx + 4
P
A．x = -2 B．x = 0
C．x = 1 D．x = -1
1
3
C
【分析】观察图象，两图象交点为
P(1，3)，当 x = 1 时，y1 = y2，
据此解题即可. 【答案】C．
7. 方程 x + 2 = 0 的解就是函数 y = x + 2 的图象与 ( )
A. x 轴交点的横坐标 B. y 轴交点的横坐标
C. x 轴交点的纵坐标 D. 以上都不对
8. 两个一次函数 y = -x + 5 和 y = -2x + 8 的图象的交点坐标是 ______.
A
(3，2)
针对训练
(1) 问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2) 若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元
例4 为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A，B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆．
考点四 一次函数的应用
(1) 解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为(50－x)个，
依题意，得
∴31≤x≤33.
∵x 是整数，x 可取 31，32，33，
∴可设计三种搭配方案：
① A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个；
② A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个；
③ A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个．
方案①需成本：31×800＋19×960 ＝ 43040(元)；
方案②需成本：32×800＋18×960 ＝ 42880(元)；
方案③需成本：33×800＋17×960 ＝ 42720(元)．
（2）方法一：
方法二：成本为
y＝800x＋960(50－x) ＝ －160x＋48000(31≤x≤33)．
根据一次函数的性质，-160＜0， y 随 x 的增大而减小，
故当 x ＝ 33 时，y 取得最小值为
33×800＋17×960 ＝ 42720(元)．
即最低成本是 42720 元．
用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的函数式或方程，若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.
方法总结
9. 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y
(升)与行驶里程 x (千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？
针对训练
解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋35，
将(160，25)代入，得 160k＋35 ＝25，
解得 k＝ ，
∴一次函数的表达式为 y ＝ x＋35.
再将 x ＝ 240 代入 y＝ x＋35，
得 y＝ ×240＋35 ＝ 20，
即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升．
10. 小星以 2 米/秒的速度起跑后，先匀速跑 5 秒，然后突然把速度提高 4 米/秒，又匀速跑 5 秒.试写出这段时间里他的跑步路程 s（单位：米）随跑步时间 x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象.
解：依题意得
s ={
2x
(0≤x≤5)
10+6(x-5)
(510
0
s(米)
5
0
x(秒)
①
40
10
s(米)
10
5
x(秒)
②
x(秒）
s(米)
O
·
·
·
·
5
10
10
40
·
·
·
s=2x (0≤x≤5)
s=10+6(x-5) (5例5 已知点 A (1，y1)，B (2，y2)，C (－3，y3) 都在反
比例函数的 图象上，则 y1，y2，y3 的大小
关系是 ( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
解析：可分别把各点代入函数解析式求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较．
考点五 反比例函数的图象和性质
D　
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较．
11.已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1＞0＞y2
针对训练
例6 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例．
设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系，
设
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以
即
解得 k = 8.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，
则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，
解得 x≥1，∴1≤x≤2；
当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥2，解得 x ≤4. ∴ 2＜ x ≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时间
是1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
12.如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系. 已知该材料在加热前的温度为 4 ℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃ 时停止加热，停止
加热后，材料温度逐渐下降，这时
温度 y 与时间 x 成反比例函数关系，
已知第 12 分钟时，材料温度是14 ℃．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
针对训练
(1) 写出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数
关系式（要求写出相应的 x 的取值范围）；
解：
y =
4x + 4 (0≤x≤6)，
(x＞6).
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
解：当 y =12 时，12 = 4x + 4，解得 x = 2．
由 ，解得 x =14.
所以对该材料进行特殊处理
所用的时间为 14－2 = 12 (分钟)．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
某些运动变化
的实际问题
函数
建立函
数模型
定义
自变量取值范围
表示法
一次函数
y=kx+b(k≠0)
应用
图象：一条直线
性质：
k＞0，y 随 x 的增大而增大
k＜0，y 随 x 的增大而减小
数形结合
一次函数与一次方程之间的关系
反比例函数
定义
图象和性质
x.y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用

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