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16.3.1 一次函数
第 1 课时 一次函数
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1. 理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系.
2. 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. (重点)
3. 一次函数、正比例函数的概念及关系. (难点)
1. 什么是函数？
如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数。
2. 函数有哪些表示方式？
图像法、列表法、解析法
一次函数与正比例函数
问题1 暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游，汽车驶上 A 地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是 95 km / h，已知 A 地直达北京的高速公路全程为
285 km，小明想知道汽车从 A 地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程.
1
(2) 我们设汽车在高速公路上匀速行驶的时间为 t h，汽车距北京的路程为 S km，如何用函数关系式来描述汽车从地方驶出后距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间之间的关系
S = 285 - 95t.
(1) 问题1 中有哪些变量
距北京的路程
行驶的时间
根据题意回答下面的问题：
问题2 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长，弹簧的长度 y (cm) 是所挂重物质量 x (kg)的函数，已知一根弹簧在不挂重物时长 6 cm，在一定的弹性限度内，每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，求这个函数关系式.
这就是所求的函数关系式，( 其中自变量 x 的取值范围由问题的 “弹性限度” 确定 )
y = 0.3x + 6
解： 因为每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，
所以挂 x kg 重物时弹簧伸长______ cm.
又因为不挂重物时弹簧的长度为 6 cm ，
所以挂 x kg 重物时弹簧的长度为___________cm，
即有， .
0.3x
(0.3x + 6)
思考 问题1、问题2 中得到的两个函数关系式有什么共同点
问题 1
问题 2
y = 0.3x + 6
S = 285 - 95t
① 都有两个变量；
② 都有用一次整式表示的数量关系；
③ 两个变量之间互相关联.
上述函数关系式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为 y = kx + b 的形式 ，其中 k、b 是常数，且 k ≠ 0.
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx ( 常数 k≠0 ) 也叫做正比例函数.
问题 1、问题 2 中得到的函数，都是一次函数.
知识要点
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
解：(1) 是一次函数，不是正比例函数；
(2) 不是一次函数，也不是正比例函数；
(3) 是一次函数，也是正比例函数；
【练一练】1. 下列关系式中 ，哪些是一次函数 ，哪些是正比例函数
(4) 是一次函数，也是正比例函数；
(5) 不是一次函数，也不是正比例函数；
(6) 是一次函数，也是正比例函数．
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
1.判定一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
归纳总结
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：
y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的关系；
解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
(2) 圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
典例精析
解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，
因而 y = 15 + 5x.
y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数.
(3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3.
例2 已知函数
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0.
∴ m＝±5 且 m≠5.
∴ m＝－5.
∴ 当 m＝－5 时，函数
是一次函数．
典例精析
解：∵ 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0.
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1.
这样的 m 不存在，
∴ 不可能是正比例函数.
【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数．
例2 已知函数
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值．
【练一练】2. 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2.
(1) 当 m 为何值时，这个函数是一次函数
解：(1) 由题意可得
m - 1≠0，解得 m≠1.
即 m≠1 时，这个函数是一次函数.
(2) 当 m 为何值时，这个函数是正比例函数
(2) 由题意可得
m - 1≠0，1 - m2 = 0，解得 m = -1.
即 m = -1 时，这个函数是正比例函数.
例3 某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 3500 元的部分不收税；月收入超过 3500元但低于 5000 元的部分征收 3% 的所得税. 如某人月收入 3860 元，他应缴个人工资、薪金所得税为：(3860 - 3500)×3% = 10.8 元.
(1) 当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时，写出应缴所得税 y (元) 与收入 x (元) 之间的关系式.
解：y = 0.03×(x - 3500) (3500＜x＜5000).
典例精析
(2) 某人月收入为 4160 元，他应缴所得税多少元？
解：当 x = 4160 时，y = 0.03×(4160-3500) = 19.8 (元).
答：他应缴所得税 19.8 元.
解：设此人本月工资是 x 元，则
19.2 = 0.03×( x - 3500 )，
解得 x = 4140.
答：此人本月工资是 4140 元.
(3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资是多少元？
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
1. 判断正误：
(1) y = 2.2x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. （ ）
(2) y = 80x + 100 ，y 是 x 的一次函数. （ ）
√
√
2. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4) 中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数.
≠2
= -2
3. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数，求 m 的值.
4. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数，求 m 的值.
解：根据题意，得∣m∣=1，
解得 m = ±1.
又∵ m - 1≠0，即 m≠1，∴ m = -1.
解：根据题意，得 m2 - 9 = 0，
解得 m = ±3.
又∵ m + 3≠0，即 m≠-3，
∴ m = 3.
5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1 元，另一种是会员卡收费，卡费每月 12 元，租书每本 0.4 元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x 本.
(1) 写出零星租书方式应付金额 y1 (元) 与租书数量 x (本) 之间的函数关系式；
(2) 写出会员卡租书方式应付金额 y2 (元) 与租书数量 x (本)之间的函数关系式；
(3) 小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
y1 = x.
y2 = 0.4x + 12.
由 x = 0.4x + 12 知，当 x＜20 时，零星租书方式合算；当 x = 20 时，两种租书方式一样；当 x＞20 时，会员卡租书方式合算.
6. 为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t 的部分，自来水公司按每吨 2 元收费；超过 5 t 的部分，按每吨 2.6 元收费.设某用户月用水量 x t，自来水公司应收的水费为 y 元.
(1) 试写出 y (元) 与 x (t) 之间的函数关系式.
(2) 该户今年 5 月份的用水量为 8 t，自来水公司应收水费多少元？
解：当 x≤5 时，y＝2x；
当 x＞5 时，y＝10＋(x－5)×2.6＝2.6x－3.
解：∵ x＝8＞5，∴ y＝2.6×8－3＝17.8 (元).
能力提升 如图，△ABC 是边长为 x 的等边三角形.
(1) 求 BC 边上的高 h 与 x 之间的函数表达式. h 是 x 的一次函数吗？如果是，请指出相应的 k 与 b 的值.
解：∵ BC 边上的高 AD 也是 BC 边上的中线，
∴ 由勾股定理，得
即
∴ h 是 x 的一次函数，且
(2) 当 h = 时，求 x 的值.
(3) 求△ABC 的面积 S 与 x 的函数表达式. S 是 x 的一次函数吗？
解:
(2) 当 h = 时，有 .
解得 x = 2.
(3) ∵
即 ∴ S 不是 x 的一次函数.

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