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16.4 反比例函数
第 1 课时 反比例函数
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2.从实际问题中抽象出反比例函数的模型，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重、难点)
？
？
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记本数量 y/本 …
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？
20
15
12
10
6
4
？
问题1 甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速驶往乙地. 显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数的关系式.
反比例函数的概念
设汽车行驶的速度是 v 千米/时，从甲地到乙地的行驶时间是 t 小时.
时间＝路程÷速度
1
问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 cm2 的长方形饲养场. 设它的一边长为 x (m)，求另一边 y (m) 与 x 之间的函数关系.
长方形面积＝长×宽
xy＝24
思考 请大家观察这两个式子有什么共同点？
　　一般地，形如　　 ( k 是常数，k ≠ 0 ) 的函数，叫做反比例函数 ，其中 x 是自变量，y 是函数.
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
问题 1、2 中得到的函数，都是反比例函数.
知识要点
思考 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围，什么是所有非零实数？
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个表达式
中，作为行驶时间的 t 的取值应满足 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
想一想 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示之外，还有没有其他表达方式？
反比例函数的三种表达方式 ( 注意 k ≠ 0 )：
1.下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
是，
练一练
解：因为 是反比例函数，
所以
4－k2 = 0，
k－2 ≠ 0.
解得 k =－2.
所以该反比例函数的表达式为
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可.
例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式.
典例精析
2. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须
满足 .
3. 当 m = 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠-1
±1
练一练
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值.
解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有
解得 k = 12.
因此
确定反比例函数的表达式
2
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把 x = 4 代入 ，得
方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤：
① 设出含有待定系数的反比例函数表达式；
② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程；
③ 解方程，求出待定系数的值；
④ 写出反比例函数的表达式.
4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有
解得 k =－12.
因此
(2) 把 y = 6 代入 ，得
解得 x = －2.
练一练
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数.
反比例函数简单应用
3
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以
解得 k = 4000.
因此
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数表达式
反比例函数：定义/三种表达方式
反比例函数
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
y 和 x 成反比例函数关系的有 ( )
① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成的圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间为 y.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )
A
3. 填空：
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是
.
(2) 若 是反比例函数，则 m 的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数，则 m 的值是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
－1
4. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ，
所以有 ，解得 k = 16，因此 .
(2) 当 x = 7 时，
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有
时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速
度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
解： (t > 0)．
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行
车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
125－40 = 85 (m/min)．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
解：当 t = 25 时， ；
当 t = 8 时， .
能力提升
6. 已知 y = y1 + y2，y1 与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1)
成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x = 1 时，y = －1，
求：
(1) y 关于 x 的关系式；
解：设 y1 = k1(x－1) (k1 ≠ 0)， (k2 ≠ 0)，
则 .
∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1，
－3 =－k1 + k2，
解得 k1 = 1，k2 =－2.
∴
∴
对于 ，
(2) 当 x = 时，y 的值.
解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y =

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