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16.5 实践与探索
第 1 课时 一次函数与二元一次方程(组)
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、 的联系．（重点、难点）
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
到我这里来
到我这里来
x + y = 5
这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？
一次函数与二元一次方程（组)
问题1 某单位准备印制一批证书 ，当地有甲、乙两个印刷厂 ，它们的印制质量都很好，甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费 ，直接按印刷数量收费 ，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠 ，甲、乙两厂的收费 y (千元) 关于印制的证书数量 x (千本) 的函数图象如图所示：
1
② 印制证书多少本时，两厂实际收费相同
③ 当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算
(1) 根据图象回答:
① 甲厂的制版费及印刷费
单价各是多少
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x / 千本
y/千元
O
甲
乙
甲厂制版费 1 千元，
印刷费单价 0.5 千元/千本.
6 千本
甲厂
(2) 如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手 ，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x / 千本
y / 千元
O
甲
乙
y乙 = ( x ≥ 2 ).
(2) 由图象经过点(0，1)和(2，2)，求得
当 x≥2 时，由图象经过点(2，3)和 (6，4)，求得
y甲 = .
根据题意，甲厂至少降价 500 元才能将印制工作承揽下来.
因为不降低制版费，
y甲 =
y乙 = (x≥2)
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x/千本
y/千元
O
甲
乙
所以证书印刷单价至少降低 (元)
所以当印制 8 千本证书时，选择乙厂能节省费用 500 元.
当 x = 8 时，计算得 y甲 = 5，y乙 = 4.5，
思考 (1)“收费相同”在图象上怎样反映出来
可以通过函数图象的交点反映出来
在图象上，点的位置越高，
对应的函数值就越大，收费就越多；
反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少.
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x/千本
y/千元
O
甲
乙
(2) 如何在图象上看出收费的多少
思考1 一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y = x+1
二元一次方程
y - x = 1
二元一次方程
y = x + 1
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
由函数图象的定义可知：
直线 y = x + 1 上的每个点的坐标(x，y) 都能使等式
y = x + 1 成立，即
直线 y = x + 1 上的每个点的坐标都是二元一次方程
y = x + 1 的解.
思考2 从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
y甲 =
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x/千本
y/千元
O
观察 在坐标系中分别画出两条直线 y = 2x - 5 和 y = -x +1 .
1.它们的交点坐标_____________.
2.方程组的解是__________.
这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.
(2，-1)
“数”的角度
“形”的角度
两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)，
y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值 二元一次方程组
的解
直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 为(m，n)
二元一次方程组 的解为 x = m，y = n
一次函数与二元一次方程组的关系
例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组
的解.
典例精析
分析：方程组中的第一个方程已经变化为一次函数的形式，第二个方程可变化成 y = .
x
y
例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组
的解.
解 分别作出一次函数的图像，得到两个函数的图象的交点是 (-4 ，1) .
即方程组的解为
典例精析
x
y
1.如图，一次函数 y = 2x + 1 的图象与 y = kx + b 的图象相交于点 A，则方程组 的解是(　 　)
A. B.
C. D.
B
练一练
解方程组
y = 2x+2，
y = -x+3，
解：因为直线 l1过点 (-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线 l1的解析式为 y = 2x + 2. 同理
可求得直线 l2 的解析式为 y = -x + 3.
得
x=
y=
即直线 l1 与 l2 的交点坐标为
【练一练】 1.如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标.
拓展：一次函数 y1 = k1x + b1，y2 = k2x + b2 的图象与对应方程组的解
(1) 当 k1≠k2 时，两个一次函数的图象相交，对应的方程组有唯一的解；
(2) 当 k1 = k2，b1≠b2时，两个一次函数的图象平行，对应的方程组无解；
(3) 当 k1 = k2，b1 = b2 时，两个一次函数的图象重合，对应的方程组有无数个解.
一次函数与方程、不等式
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标
2.若方程组 的解为 则一次函数
y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______.
(2，5)
2.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1，l2 如图 ，他解的这个方程组是( )
点拨：由图象知l1，l2 的 x 的系数都应为负数，排除A,C.
又 l1，l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合．
D
3. 如图，直线 PA 是一次函数 y = x + 1 的图象，交
y 轴于点 Q，交 x 轴于点 A，直线 PB 是一次函数
y = -2x + 2 的图象，交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 B，两直线交于点 P.
(1) 求 A，B，P 三点的坐标；
解：(1) 在 y = x + 1 中，当 y = 0 时，x = -1，
∴ A(-1，0).
在 y = -2x + 2 中，当 y = 0 时，x = 1，
∴ B(1，0).
联立
∴P.
解得
(2)求四边形PQOB的面积.
(2) 由 (1) 得 AB = 2，OA = 1.
∵ 一次函数 y = x + 1 的图象交 y 轴于点Q，
∴ 点Q的坐标为 (0，1)，∴OQ = 1，
∴ S四边形PQOB = S△APB－S△AOQ
= ×2× ×1×1
= .

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