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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题3 二次根式及其运算
【考点一】二次根式的有关概念
概念 定义与条件
二次根式 把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，而有意义的条件是a≥0。
最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫做最简二次根式：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。
【考点二】二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质：
2.二次根式的化简方法：
（1）利用二次根式的基本性质进行化简；
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． = ， =
3.化简二次根式的步骤：
（1）把被开方数分解因式；
（2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【考点三】二次根式的运算
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = .
2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）.
3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
【题型一】二次根式的有关概念
◇典例1：下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：当时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.函数y中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
◇典例3：下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列各式中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
◆变式训练
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【题型二】二次根式的性质与化简
◇典例1：若，则a的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
◆变式训练
1.化简： ．
◇典例2：下列计算正确的为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ）
A． B． C． D．若，则
◇典例3：已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
◆变式训练
1.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【题型三】二次根式的运算
◇典例1：计算： ．
◆变式训练
1.计算 ．
◇典例2：下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.计算： ．
◇典例4：已知实数满足，求的值．
◆变式训练
1.已知，．
(1)求的值．
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
◇典例5：用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
◆变式训练
1.据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A．6 B． C． D．1
3．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
7．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A． B． C．20 D．
8．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·湖南·中考真题）化简 ．
10．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
12．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ．
三、解答题
13．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
14．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中．
15．（2023·江苏·中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
一、单选题
1．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（）
A． B． C． D．
8．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知是实数，且满足，则相应的的值为( )
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
10．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ）
A． B．7 C． D．10
二、填空题
11．使式子有意义的x的取值范围是 ．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
13．若，则 ．
14．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ．
15．已知，，则代数式的值是 ；
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，，解答下列各题：
(1)求的值；
(2)求的值．
19．如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．
20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：；
第②个等式：；
第③个等式：；
第④个等式：：
(1)计算：_____；_____；
(2)若，则正整数_____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
21．阅读材料与综合实践：
通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
如：，．
解决问题：
(1)将下列式子分母有理化：
， ， ；
(2)比较大小： （直接填“或或”）；
(3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题3 二次根式及其运算
【考点一】二次根式的有关概念
概念 定义与条件
二次根式 把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，而有意义的条件是a≥0。
最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫做最简二次根式：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。
【考点二】二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质：
2.二次根式的化简方法：
（1）利用二次根式的基本性质进行化简；
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． = ， =
3.化简二次根式的步骤：
（1）把被开方数分解因式；
（2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【考点三】二次根式的运算
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = .
2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）.
3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
【题型一】二次根式的有关概念
◇典例：下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义；
B、 为常数 π，不符合二次根式的定义；
C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义；
D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义．
故选 ：D．
◆变式训练
下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式．
【详解】解：二次根式定义要求被开方数，
：，被开方数，总是二次根式；
：中，故总是二次根式；
：，当时，，无意义，不一定是二次根式；
：中，故总是二次根式．
故选：．
◇典例2：当时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”和二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负的逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，分式的分母，分式无意义，则此项不符合题意；
B、当时，分式的分母，分式有意义，则此项符合题意；
C、当时，二次根式的被开方数，二次根式无意义，则此项不符合题意；
D、当时，分式的分子的被开方数，无意义，则此项不符合题意；
故选：B．
◆变式训练
函数y中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0，分母不等式0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
故选：A．
◇典例3：下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式；
B. ，不是最简二次根式；
C. ，不是最简二次根式；
D. 是最简二次根式；
故选D．
◆变式训练
下列各式中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果．
【详解】A、，是最简二次根式，故本选项正确；
B、，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A．
◇典例4：若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能合并，
∴，
解得：．
故选：C
◆变式训练
下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式．
【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误；
B．与不是同类二次根式，故该选项错误；
C．与是同类二次根式，故该选项正确；
D．与不是同类二次根式，故该选项错误；
故选：C．
【题型二】二次根式的性质与化简
◇典例1：若，则a的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值可以是．
故选：D．
◆变式训练
化简： ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
◇典例2：下列计算正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故选：．
◆变式训练
下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断．
【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意；
B.当时，该选项不成立，不符合题意；
C. 当时，该选项不成立，不符合题意；
D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意；
故选：A．
◇典例3：已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
◆变式训练
若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【题型三】二次根式的运算
◇典例1：计算： ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可．
【详解】解：
故答案为：．
◆变式训练
计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
◇典例2：下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的化简步骤和运算法则．
利用二次根式的化简步骤和运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是同类二次根式无法合并，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
◆变式训练
已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
◇典例3：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果．熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
【详解】解：，
故选：D．
◆变式训练
计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先逆用积的乘方，进行平方差公式的计算，再去括号，合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
◇典例4：已知实数满足，求的值．
【答案】2022
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
◆变式训练
已知，．
(1)求的值．
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键．
（1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可；
（2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，
∴
；
（2）∵，
∴，，
由（1）知，，
∴，，
∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴，，
∴
．
◇典例5：用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长．
【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2，
丙纸片的边长为，
丁纸片的宽为，
∵丁纸片的面积为，
丁纸片的长为，
乙纸片的边长为，
甲纸片的边长为，
故选：B．
◆变式训练
据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解．
【详解】解：把代入公式，得
，
∵，
∴，
即．
故选：B．
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
，
，
故选：D．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A．6 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
3．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误；
B．，运算正确；
C．，运算正确；
D．，运算正确；
故选：A．
5．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
7．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，

由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
8．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
二、填空题
9．（2025·湖南·中考真题）化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解．
【详解】解：依题意，且，
解得：且，
故答案为：且．
11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵一个直角三角形两直角边的长分别为1和，
∴斜边为，
故答案为：．
三、解答题
13．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】．
14．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中．
【答案】，4
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
15．（2023·江苏·中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；
（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
故和均为无理数，
故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．
故答案为：．
（2）解：树状图画出所有情况为：
即抽签的组合有种，分别为：
组合情况 运算结果 运算结果是否是无理数
第一种组合 ，，乘法 否
第二种组合 ，，加法 是
第三种组合 ，，乘法 是
第四种组合 ，，加法 是
第五种组合 ，，乘法 否
第六种组合 ，，加法 是
第七种组合 ，，乘法 是
第八种组合 ，，加法 是
第九种组合 ，，乘法 是
第十种组合 ，，加法 是
第十一种组合 ，，乘法； 是
第十二种组合 ，，加法 是
对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，
故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．
一、单选题
1．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选：C．
2．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断．
【详解】解：A、，被开方数，符合定义；
B、，被开方数，符合定义；
C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义；
D、，被开方数，符合定义；
故选：C．
3．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方程求解．
根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证．
【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式，
所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程：，
解得：，
验证：当时，，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意．
故选：B．
4．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，根据定义判断即可.
【详解】解： A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D选项， ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C选项，，13是质数，无平方因数，是最简二次根式．
故选：C．
5．已知，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键．
根据二次根式的性质解题即可．
【详解】解：∵ ，，，
∴ ， ，
∴ 原式．
故选：C．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
7．若，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简．
【详解】解：∵，，
∴（负数的立方为负），
故，从而，根式有意义．
∵，
∴，
又∵，且，∴，
∴原式，
即，与选项A一致．
故选：A．
8．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式．
先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简．
【详解】解：∵，
∴．
∴=．
故选：C．
9．已知是实数，且满足，则相应的的值为( )
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算．
【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得
或或
解得或或
当时，；
当时，；
当时，．
的值为或或．
故选：D．
10．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ）
A． B．7 C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为．
【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为，
，
正方形的面积为，
故选：．
二、填空题
11．使式子有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．
要使分式有意义，分母不能为零，且分母中的二次根式被开方数必须非负．结合两者，被开方数必须大于零．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
即且，
∴．
故答案为：．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键．
根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值．
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意，得且，
解得，
当时，，
所以，
故答案为：．
14．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴得，
，，，
，
故答案为：．
15．已知，，则代数式的值是 ；
【答案】181
【分析】本题为二次根式的化简求值，考查了分母有理数，完全平方公式的变形，二次根式的混合运算等知识，综合性强，难度较大．先化简，，从而计算出，，把变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：，
；
∴，
，
∴
．
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案．
【详解】解：第一行有个数，
第二行有个数，
第三行有个数，
……，
以此类推，可知，第n行有个数，
∴前五行一共有个数，
∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根
∴第5行的最后一个数是；
前行一共有个数，
∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是，
故答案为：；．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键．
（1）先根据二次根式的乘除运算法则和立方根定义，结合二次根式性质计算，再加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．已知，，解答下列各题：
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)19
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化．
（1）先进行分母有理化，再进行加减即可；
（2）利变形为，再代入求值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由（1）知
，，
．
19．如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的应用，涉及到二次根式的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键．
（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答；
（2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，即可列式作答．
【详解】（1）解：长方形空地的周长
；
（2）解：种植青菜部分的面积
．
20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：；
第②个等式：；
第③个等式：；
第④个等式：：
(1)计算：_____；_____；
(2)若，则正整数_____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键．
（1）根据规律运算即可；
（2）根据规律运算即可；
（3）根据规律运算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）
解：原式
．
21．阅读材料与综合实践：
通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
如：，．
解决问题：
(1)将下列式子分母有理化：
， ， ；
(2)比较大小： （直接填“或或”）；
(3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键．
（）根据题意分母有理化即可求解．
（）先分母有理化，再比较大小即可求解．
（）由新定义可得，即可求解．
【详解】（1）解：，
；
；
故答案为：，，；
（2）解：；
；
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵与是关于的“友好二次根式”，
∴，
∴，
∴．
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