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第 2 课时 求自变量的取值
范围与函数值
第 16 章 函数及其图象
16.1 变量与函数
学习目标
1.进一步理解和掌握函数的概念，分清实例中的自变量与因变量.
2.能根据题意列出正确的函数关系式，并确定出自变量的取值范围.(重、难点)
3.会求给定函数关系式的函数值.
做一做：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t
(单位：h)，行驶的路程为 s (单位：km)；
(2) 多边形的边数为 n ，内角和的度数为 y ．
问题 (1) 中，t 取－2 有实际意义吗？
问题 (2) 中，n 取 2 有意义吗？
思考 上个课时的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
自变量 t 的取值范围: __________.
0 ≤ t ≤24
自变量的取值范围
8
6
4
2
0
-2
-4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
T / ℃
t/h
1.某地一天内的气温变化图
1
自变量的取值范围：___________.
n 取正整数
周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
2.小蕾的各周岁时的体重，如下表 :
自变量的取值范围：______.
r＞ 0
半径 r / m 1 1.5 2 2.6 3.2 ···
圆面积 S / cm2 ···
π
2.25π
4π
6.76π
10.24π
3.圆的半径与面积的关系，如下表 :
　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗
　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
解：根据等腰三角形的性质和三角形
内角和定理，可知
2x + y = 180，
得 y = 180 - 2x.
由于等腰三角形的底角只能是锐角，
所以自变量的取值范围是 0＜x＜90.
y
x
例1 等腰三角形顶角的度数 y 是底角度数 x 的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围.
典例精析
做一做：下列函数中自变量 x 的取值范围是什么？
-2
x 取全体实数
x 取全体实数
使函数关系式有意义的自变量的全体.
① 函数表达式有意义
求函数自变量的取值范围时，需要考虑：
② 符合实际
4.表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解.
3.表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数；
1.表达式是整式时，自变量取全体实数；
2.表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为 0；
归纳总结
t/ 分 0 1 2 3 4 5 …
h / 米 …
3
11
45
37
37
11
由图象或表格可知：当 t = 0 时，h = 3，
那么，3 就是当 t = 0 时的函数值.
问题：右图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系，那么怎么表示它们各自大小呢？
求函数值
2
例2 已知函数
(1) 求当 x = 2，3，-3 时，函数的值；
(2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0.
把自变量 x 的值代入关系式中，即可求出函数的值.
解： (1) 当 x = 2 时，y = ；
当 x = 3 时，y = ；
当 x = -3 时，y = 7；
(2)令 解得 x = ，即当 x = 时，y = 0.
典例精析
(1) 试写出重叠部分面积 y cm2 与
MA 长度 x cm 之间的函数关系式．
解 (1) 重叠部分的面积 у 与线段 MA 的长度 x 之间的函数关系式为
典例精析
这里自变量 x 的取值范围是什么？
例3 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10 cm，CA 与 MN 在同一直线上，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与 N 点重合．
(2) 当 A 点从点 M 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是多少
所以当点 A 从点 M 开始向右移动时，重叠的部分面积是 cm2.
解 ：点 A 从点 M 开始向右移动 1 cm，
即 MA＝1 时，x＝1.
当 x＝1 时，
例4 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶里程 x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km.
(1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x 表示的意义是什么？
典例精析
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
自变量的取值范围是
0≤x≤500
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
(3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30.
因此，当汽车行驶 200 km时，油箱中还有油 30 L .
问题二：x，y 之间存在怎样的数量关系？这种数量关系可以以什么形式给出？
例5 一个三角形的周长为 y cm，三边长分别为
7 cm，3 cm 和 x cm.
(1) 求 y 关于 x 的函数关系式；
y = x + 10
这些函数值都有实际意义吗？
分析：问题一：问题中包含了哪些变量？x，y 分别表示什么？
根据题设，可得 y = x + 7 + 3
典例精析
例5 一个三角形的周长为 y cm，三边长分别为
7 cm，3 cm 和 x cm.
(2) 求自变量 x 的取值范围.
4 < x < 10
分析：三角形的三边关系应满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 即 7 - 3 < x < 7 + 3.
y = x + 10 (4 < x < 10)
y 关于 x 的函数关系式：
对于实际问题中的函数，自变量的取值要符合实际意义.
函数
自变量对应的因变量的值
符合实际意义
函数值
自变量的取值范围
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.函数不是数，而是一种关系
B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数
D.一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示 y 是 x 的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
C
3.求下列函数中自变量 x 的取值范围：
x 取全体实数
4.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过 3 公里，一律收费 8 元；超过 3 公里时，超过 3 公里的部分，每公里加收 1.8 元；设乘坐出租车的里程为 x（公里）（x为整数），相对应的收费为 y（元）.
（1）请分别写出当 0＜x≤3 和 x＞3 时，表示 y 与 x 的关系式，并直接写出当 x = 2 和 x = 6 时对应的 y 值；
解：（1）当 0＜x≤3 时，y = 8；
当 x＞3 时，y = 8＋1.8(x－3) = 1.8x＋2.6.
当 x = 2 时，y = 8；x = 6时，y = 1.8×6＋2.6 = 13.4.
(2) 当 0＜x≤3 和x＞3时，y 都是 x 的函数吗？为什么？
当 0＜x≤3 和 x＞3 时，y 都是 x 的函数，因为对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应.
5.一长方形的周长为 8 cm，设它的长为 x cm，宽为
y cm.
(1) 求 y 关于 x 的函数关系式；
(2) 并写出自变量的取值范围.
解：(1) y 关于 x 的函数关系式为：y＝4－x
(2) 自变量的取值范围为：0＜x＜4.

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