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第 2 课时 一次函数图象的应用
16.3.2 一次函数
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1.会求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，初步感悟函数与方程的关系. (重点)
2.能正确画出具有实际意义的一次函数图象. (难点)
1. 一次函数 y = kx + b 的图象是什么图形？
2. 几个点可以确定一条直线？
两点确定一条直线
y = kx + b 的图象是一条直线
确定两个点
3. 画一次函数图象时，只取几个点就可以了？
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4
问题1 作出一次函数 y = －2x + 5 的图象
列表：
x … 0 2.5 …
y = -2x+5 … …
0
5
描点、连线:
A
B
y
x
取坐标轴上的点或是坐标是整数的点比较简单.
一次函数与坐标轴的交点
y = -2x+5
1
一次函数 y = kx + b (k≠0)
(1) 当 x = 0 时， y =0 · k + b = b，
所以一次函数 y = kx + b 经过 ( 0 ， b ) 点.
(2) 当 y = 0 时， k x + b = 0， x =
所以一次函数 y = k x + b 经过( ， 0)点.
归纳总结
因为正比例函数是一次函数 y = kx + b，当 b = 0 时的特殊情况
所以正比例函数 y = kx 是经过 ( 0，0 ) 和 ( 1，k ) 的一条直线，即正比例函数过原点.
例1 求直线 y = -2x - 3 与 x 轴和 y 轴的交点，并画出这条直线.
解：直线与 x 轴的交点为
( ，0 )，与 y 轴的交点
为 ( 0，-3 ).
过两点画出直线.
典例精析
例2 如图，直线 y＝2x＋3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B.
(1)求 A，B 两点的坐标；
解：(1)令y＝0，得x＝
∴A 点坐标为 ( ，0 )；
令 x＝0，得 y＝3，
∴B 点坐标为(0，3)．
典例精析
例2 如图，直线 y＝2x＋3 与 x 轴相交于点 A，
与 y 轴相交于点 B.
(2) 过点 B 作直线 BP 与 x 轴相交于点 P，
且使 OP＝2OA，求△ABP 的面积．
(2) 设 P 点坐标为(x，0)，依题意，得x＝±3.
∴P 点坐标为 P1(3，0)或 P2(－3，0)．
∴S△ABP1＝ × ×3＝ ，
S△ABP2＝ × ×3＝ .
∴△ABP 的面积为 或 .
直线 y = kx+b
（k ≠ 0）与
坐标轴的交点
注意：|b|，| | 是直线 y＝kx＋b(k≠0) 与坐标轴的两交点和原点构成的直角三角形的两直角边的长．
与 x 轴的交点坐标为 ( ，0)
与 y 轴的交点坐标为 (0 ，b)
方程 kx + b = 0 的解是 x =
方法总结
分析：在实际问题中，我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的 s 轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系.
实际问题中的一次函数图象
例3 本节问题1 中，汽车距北京的路程 s (km) 与汽车在高速公路上行驶的时间 t (h) 之间的函数关系式是 s = 285 - 95t ，试画出这个函数的图象.
2
O
190
285
1
2
3
t (时)
95
4
s (千米)
当 s = 0 时，t 的值为 3，又 t≥0，所以自变量 t 的取值范围为 0≤t≤3.函数的图象是一条线段.
画出这个函数的图象，并讨论:
这里自变量的取值范围是什么，函数的图象是怎样的
O
190
285
1
2
3
t (时)
95
4
s(千米)
思考 这里的图象是直线的一部分 ( 一条线段 ) ，线段的两个端点反映了怎样的实际情境
(0， 285) 表示的是刚准备出发的时候，
(3，0) 表示行驶了 3 个小时刚到北京.
例4 今有一根弹簧，不悬挂重物时的长度为 12 cm，悬挂的重物每增加 1 kg (重物不超过 8 kg)，弹簧的长度就增加 0.5 cm.写出弹簧的长度 y (cm)和悬挂物的质量 x (kg)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围，并画出这个函数的图象.
解：函数关系式为
自变量 x 的取值范围为 0≤x≤8.
函数图象如图：
典例精析
例5 试说明无论 m 为何值，函数 y = (m + 1) x + 2m﹣6 的图象都过某一定点.
解：由 y = (m + 1)x + 2m - 6，得
y - x + 6 = (x + 2)m.
令 y - x + 6 = 0 ，x + 2 = 0.
解得 x = -2 ，y = -8.
所以，无论 m 为何值，函数 y = (m + 1)x + 2m - 6 的图象都过点 (-2，-8).
一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线，一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的_________，因此在解题时应具体问题具体分析．
取值范围
方法总结
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象：
当 x≤a 或 x≥a 时，函数 y＝kx＋b 的图象是射线；
当 a≤x≤c(a＜c) 时，函数 y＝kx＋b 的图象是线段；
当 x 取几个整数时，函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线上的几个点．
一次函数
与坐标轴的交点
实际问题中的一次函数
与 x 轴的交点是( ，0)，与 y 轴的交点是(0，b)
自变量的取值范围决定函数图象
1.请画出函数 y = x - 1 与函数 y = -2x - 1 的图象.
解：
y = -2x-1
x 0 1
y = x-1 -1 0
y
x
o
1
2
-1
-2
-1
-2
1
2
y = x-1
x 0
y = -2x-1 -1 0
2.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费 y1 元，国营出租车公司收费为 y2 元，观察下列图象可知，当x________时，
选用个体车较合算．
＞1500

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