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3.一次函数的性质
16.3 一次函数
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1. 理解一次函数的性质.
2. 能够利用一次函数的性质解决简单的实际题.
(重、难点)
3.学会利用一次函数的图象解决一次方程、一次不等式问题. (重、难点)
1. 一次函数图象有什么特点
2. 作出一次函数图象需要描出几个点？
只需要描出 2 个点，一般选直线与两坐标轴的两交点，即 (0，b) 和 ( ，0).
一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，直线上所有点的坐标都满足表达式 y = kx + b.
探究1 画出 和 y = 3x－2 的图象，观察图象:
图象上点的位置：
逐步从 ___ 到 ___ 变化，
函数值 y 随自变量 x 的增大而____ .
【观察】当自变量 x 的值从小到大变化时，因变量 y 是如何变化的
一次函数的性质
1
低
高
增大
探究2 画出 y = －x＋2 和 的图象，观察图象：
【观察】当自变量 x 的值从小到大变化时，因变量 y 是如何变化的
图象上点的位置：
逐步从 ___ 到 ___ 变化，
函数值 y 随自变量 x 的增大而____ .
低
高
减小
问题 2 k ，b 的值跟图象有什么关系
问题 1 探究 2 中这两个函数有什么共同性质 它 与探究 1 两个函数有什么不同
k 的符号不同
函数值 y 随自变量 x 的增大而减小.
在一次函数 y = kx + b (k， b 为常数， k≠0) 中，
当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
这时函数的图象从左到右上升；
当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
这时函数的图象从左到右下降.
一次函数的性质：
知识要点
做一做 画出 y = - 2x + 2 的图象，结合图象回答：
在这个函数中，随着自变量 x 的增大，函数值 y 是增大还是减小 它的图象从左到右怎样变化
函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小 ，它的图象从左到右下降.
例1 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 是一次函数 y = -0.5x + 3 图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A. y1＞y2 B. 当 x1＜x2 时，y1＜y2
C. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2
D
解析：根据一次函数的性质：
当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，所以D为正确答案.
提示：反过来也成立：当k＜0时，y 越大，x 就越小.
典例精析
思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限：
k 0，b 0
＞
＞
k 0，b 0
k 0，b 0
＞
＞
＜
=
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
＞
＜
＜
＜
＜
=
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大.
当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小.
① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限.
归纳总结
一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？
【练一练】两个一次函数 y1＝ax＋b 与 y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　)
C
例2 已知关于 x 的一次函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1).
当 2k -1＞0 时，y 的值随 x 的值增大而增大.
解 2k -1＞0，得 k＞0.5.
当 2k + 1 = 0，即 k = -0.5 时，
函数 y = (2k -1)x + (2k + 1) 的图象经过原点.
典例精析
(2)当 k 满足什么条件时，y = (2k - 1)x + (2k + 1) 的图象经过原点？
(1)当 k 满足什么条件时，函数 y 的值随 x 的值的增大而增大？
(3) 当 k 满足什么条件时，函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1)的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方？
当 2k + 1＜0，函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1) 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方.
例2 已知关于 x 的一次函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1).
解 2k + 1＜0，得 k＜-0.5.
(4) 当 k 满足什么条件时，函数 y 的值随 x 的值的增大而减小且函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
当 2k - 1＜0 时，y 的值随 x 的值的增大而减小.
解得 k＜0.5.
当 2k + 1＞0，函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1) 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方.
解得 k＞-0.5.
所以此时 k 的取值范围为 -0.5＜k＜0.5.
例2 已知关于 x 的一次函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1).
例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足
下列条件的 m 的值：
(1) 函数值 y 随 x 的增大而增大；
(2) 函数图象与 y 轴的负半轴相交；
(3) 函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1) 由题意得 1 - 2m＞0，解得
(2) 由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1 < 0，即 m < 1，且
(3) 由题意得 1 - 2m < 0 且 m - 1 < 0，解得
典例精析
例4 某面食加工部每周用 10000 元流动资金采购面粉及其他物品，其中购买面粉的质量在 1500 kg-2000 kg 之间，面粉的单价为 3.6 元/千克，用剩余款额 y 元购买其他物品.设购买面粉的质量为 x kg.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解: (1) 由题意，可知购买面粉的资金为 3.6x 元，总资金为10000 元，即3.6x+y＝10000，所以该函数关系式为:
y = -3.6x+10000，其中 x 的取值范围是 1500≤x≤2000.
一次函数的性质的应用
2
(2) 求出购买其他物品的款额 y 的取值范围.
解：因为 y = -3.6x+10000，k = -3.6＜0，所以 y的值随 x 的值的增大而减小.
因为1500≤x≤2000，
所以 y 的值最大为 -3.6×1500+10000 = 4600；
最小为 -3.6×2000+10000 = 2800.
故y的取值范围为2800≤y≤4600.
一次函数的性质
当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而减小.
1.下列函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的函数是( )
A. y = -2x B. y = -2x + 1 C. y = x - 2 D. y = -x - 2
C
2. 一次函数 y = (m2 + 1)x - 2 的大致图象可能为 ( )
C
A B C D
4. 已知一次函数 y＝(2m - 1)x＋m＋5，当 m 是什么数时，函数值 y 随 x 的增大而增大？
解：由题意，得 2m -1＞0，解得 m＞
∴当 　　时，函数值 y 随 x 的增大而增大.
3. 点 A (-1，y1)，B(3，y2) 是直线 y = kx + b (k＜0)上的两点，则 y1 - y2 0 (填 “ > ” 或 “ < ” ).
>
5. 已知一次函数 y＝(3m - 8)x＋1 - m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，其中 m 为整数，求 m 的值.
解: 由题意得
解得
又∵ m 为整数，
∴ m = 2.

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