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4.求一次函数的表达式
16.3 一次函数
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1. 会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象归纳总结出图象经过象限的规律并理解一次函数的增减性. (重点)
2. 会用待定系数法求一次函数的解析式. (重点)
3. 根据题中的已知信息灵活运用待定系数法求一次函数的解析式，进而解决实际问题. (难点)
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数表达式吗？如何画出它们的图象
　　思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的表达式吗？
两点法 —— 两点确定一条直线
引例 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示．
(1) 请写出 v 与 t 的关系式；
(2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
5
2
解：(1) v = 2.5t.
(2) v = 2.5×3 = 7.5 (m/s).
确定正比例函数的表达式
1
例1 求正比例函数 y＝(m－4)xm －15 的表达式.
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1 且 m－4≠0，
∴ m＝－4.
∴ y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0.
典例精析
想一想 确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
确定一次函数的表达式
例1 世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家则采用华氏温标，在研究性学习活动中，某小组同学查阅到以下资料:
在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 0 摄氏度，记作 0 ℃ ; 把沸水的温度规定为 100 摄氏度，记作 100 ℃ .
在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 32华氏度 ，记作 32 ℉ ; 把沸水的温度规定为 212 华氏度 ，记作 212 ℉.
2
设某一时刻温度计上的华氏温度为 y ( ℉)，摄氏温度为 x ( ℃ )，已知 y 是 x 的一次函数，试写出这个一次函数的表达式.
分析 已知 y 是 x 的一次函数，函数的表达式可写成：y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，问题就转化为求 k 和 b 的值.
当 x = 0 时，y = 32 ；当 x = 100 时，y = 212 .
阅读上述资料可知：
解 设所求一次函数的表达式为 y = kx + b ( k≠0 ) ，根据题意 ，得
0 · k + b = 32，
100 k + b = 212.
解这个方程组，得
k = 1.8，b = 32 .
所以，所求一次函数的表达式为 y = 1.8x + 32.
这种先设待求函数的表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.
想一想 刚才所求的一次函数的表达式 y = 1.8x + 32中的一次项系数 1.8 和常数项 32 有怎样的实际意义
一次项系数 1.8 表示摄氏温度：每增加 1 摄氏度时华氏温度增加的度数，常数项 32 表示摄氏温度为 0 摄氏度时所对应的华氏温度的度数.
知识要点
做一做 已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (-1，1)和点 (1，-5) ，求当 x = 5 时的函数值.
解：设所求的函数表达式为 y = kx +b (k≠0)，
当 x = 5 时 ，y = -3×5 -2 = -17.
所以，所求的函数表达式为 y = -3x - 2.
解得
k = -3,
b = -2.
-k + b = 1,
k + b = -5,
根据题意得
一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0) ，要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定的系数) .
函数表达式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象
直线 l
选取
解出
画出
选取
归纳总结
例2 温度计是利用水银或酒精热胀冷缩的工作原理制作的，温度计中水银柱的高度 y (厘米)是温度 x (℃)的一次函数. 某种型号的实验用水银温度计能测量 -20℃ 至 100℃ 的温度，已知 10℃ 时水银柱高 10 厘米，50℃ 时水银柱高 18 厘米，求这个函数的表达式.
解：设所求的函数表达式为y = kx+b(k≠0)，根据题意得
10k+b = 10, k = 0.2,
50k+b = 18, b = 8 .
所以，所求的函数表达式是y = 0.2x+8.
解得
典例精析
解：∵ y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b，
由题意得 解得
4k + b = 5，
5k + b = 2，
例3 已知一个一次函数，当自变量 x = 4
时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2. 你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？
∴函数表达式为 y = -3x + 17，
其图象如图所示.
k = -3，
b = 17.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b；
2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组；
3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值；
4. 写出一次函数的表达式.
方法总结
1. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)，
则 k =_____.
2. 已知函数 y = 2x + b 的图象经过点 (a，7) 和 (-2，a)，
则这个函数的表达式为____________.
3
y = 2x + 5
练一练
例4 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次函数的图象与 y 轴的交点，且 OA ＝ 2OB. 求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为 y1 ＝ k1x，一次函数的表达式为 y2 ＝ k2x＋b.
∵ 点 A (4，3)是它们的交点，
∴ 将点 A (4，3)代入上述表达式中，
得 3 ＝ 4k1，3＝4k2＋b. ∴k1 ＝ ，
即正比例函数的表达式为 y ＝ x.
典例精析
∵ OA＝ ＝5，且 OA ＝ 2OB，
∴ OB ＝ .
∵ 点 B 在 y 轴的负半轴上，
∴ 点 B 的坐标为 (0，－ )．
又∵ 点 B 在一次函数 y2＝k2x＋b 的图象上，
∴－ ＝b.
代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝ .
∴ 一次函数的表达式为 y2＝ x－ .
做一做 某种拖拉机的油箱可储油 40 L，加满油并开始
工作后，油箱中的剩余油量 y（L）与工作时间 x（h）（0≤x≤8）之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 一箱油可供拖拉机工作几
小时？
y = -5x + 40.
8 h
根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中，解方程组求出待定系数，从而得到函数的表达式．
归纳总结
用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于 k，b 的方程组；
1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b；
3. 解方程组，求出 k，b 值；
4. 把求出的 k，b 代回表达式即可.
1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( )
A．k = 2　　　 B．k = 3　　　
C．b = 2　 　 D．b = 3
D
y
x
O
2
3
2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空：
　(1) b = ______，k =______；
(2) 当 x = 30 时，y =______；
(3) 当 y = 30 时，x =______.
2
-18
-42
l
x
y
3. 已知一次函数的图象经过 (0，5)、(2，－5) 两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，根据题意，得
－5＝2k＋b，5＝b，
解得 b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5.
解：设直线 l 为 y = kx + b，
　∵ l 与直线 y = -2x 平行，∴ k = -2.
又∵ 直线过点 (0，2)，
∴ 2 = -2×0 + b.
∴ b = 2.
∴直线 l 的表达式为 y = -2x + 2.
4. 已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点 (0，2)，求直线 l 的表达式.
5. 在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x (千克) 的一次函数. 一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米. 请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度.
解：设 y = kx + b (k ≠ 0)
由题意，得 14.5 = b，16 = 3k + b，解得 b=14.5，k=0.5.
∴在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5.
当 x = 4 时，y ＝ 0.5×4＋14.5 = 16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米.
6. 已知一次函数的图象过点 (0，2)，且与两坐标轴
围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为 y = kx + b (k ≠ 0).
∵ 一次函数 y = kx + b 的图象过点 (0，2)，
∴ b = 2.
∵ 一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)，
则 解得 k = 1 或 -1.
故此一次函数的表达式为 y = x + 2 或 y = -x + 2.

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