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第 2 课时 反比例函数的
图象和性质
16.4 反比例函数
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1. 进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象. (重点)
2. 能根据图象和表达式探索并理解 k > 0 和 k < 0 时图象的变化情况. (难点)
1.下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？
（1）y = 4x；　（2） 　 （3）
（4）y = 6x+1；（5）y = x2-1；（6）
（7）xy = 123 ．
√
√
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y=kx（k≠0）
图象形状 直线
k＞0 位置 一、三象限
增减性 从左到右上升 y随x的增大而增大
k＜0 位置 二、四象限
增减性 从左到右下降 y随x的增大而减小
？
反比例函数的图象和性质
例1 画反比例函数 y = 的图象.
这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表：
x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 …
y … -1 -2 -3 -6 … 6 3 2 1 …
1
双曲线
描点连线
思考 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么
试一试 画出函数 的图象.
解：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表：
x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 …
y … 1 2 3 6 … -6 -3 -2 -1 …
描点连线
思考 这两条曲线与
有什么区别
1.函数 的图象在哪两个象限？和函数 的图象有什么不同？
【思考与讨论】
第二象限
第四象限
第一象限
第三象限
在每一个象限内，
y 随 x 的增大而增大.
在每一个象限内，
y 随 x 的增大而减小.
2. 反比例函数 的图象在哪两个象限由什么确定
当 k > 0 时，函数的图象分布在一、三象限；
当 k < 0 时，函数的图象分布在二、四象限。
3. 试由所画出的两个函数的图象，总结一下反比例函数的变化规律：随着自变量 x 的增大，函数值 y 将会怎样变化
反比例函数 有下列性质:
(1) 若 k > 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x ＞ 0 (或 x < 0) 时， y 随 x 的增大而 _____ ；
(2) 若 k < 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x > 0 ( 或 x < 0 ) 时， y 随 x 的增大而 _____ .
二
一
三
四
增大
减小
知识要点
【深入思考】这一性质在本节问题 1 和问题 2 中
反映了怎样的实际意义
问题1 汽车的行驶时间与行驶速度的函数：
问题2 长方形饲养场一边长与另一边 y 的函数关系：
问题 1 反映的实际意义是当所走路程不变时，所用时间随速度的增大而减小.
问题 2 反映的实际意义是当长方形的面积一定时，它的一条边的长度增大时，它的另一边的长度减小.
思考 讨论反比例函数的增减性时 ，这里与一次函数不同 ，强调了“在每个象限内”，应该怎么理解
因为自变量 x 的取值范围不同，一次函数自变量 x 的取值范围为全体实数，而反比例函数自变量 x 的取值范围为不等于 0 的一切实数，0 将自变量 x 的取值分为两个部分 ( 两个象限 )，在每个象限讨论增减性才是合理的.
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 2 时， ，求这个反比例函数的表达式.
解：设这个反比例函数的表达式为______(其中 k 为待定系数).
已知当 x = 2 时， 可得_______.
可以求得 k=_______.
所以这个反比例函数的表达式是_______.
典例精析
1.反比例函数 的图象大致是 ( )
C
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
图象在第一、第三象限
练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1 与 y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的表达式为 ，因为 6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5，可知 y1，y2 的大小关系.
3. 点 (2，y1) 和 (3，y2) 在函数 的图象上，
则 y1 y2 (填“>”“<”或“=”).
<
-2＜0，在每个象限，y 随 x 的增大而增大
练一练
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数的图象和性质的初步运用
2
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？
O
x
y
例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，
所以 m－5＞0，解得 m＞5.
典例精析
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小.
因此，当x1＞x2时，y1＜y2.
O
x
y
3.已知反比例函数 的图象经过点 A ( 2 ，3 )．
(1) 求这个函数的解析式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的解析式为 .
练一练
(2) 判断点 B (－1，6)，C( 3，2 ) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
反比例函数 (k ≠ 0) k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、第三象限
图象位于第二、第四象限
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的
图象大致是 ( )
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
D
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则 m 的取值范围是________.
m ＞ 2
图象在第一、三象限，则 m-2 ＞ 0
4. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，
B (x2，y2)， 且 x1＞x2＞0，则 y1－y2 0.
＜
5. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
都满足解析式，符合题意
-12＜0，图象位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，故（2）不对，（3）对
6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
(1) 求 k 的值；
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化
解：(1) 依题意把点 A (2，－4) 代入解析式，得 ，
解得 k = －8.
(2) 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；
(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.
(4) 该反比例函数的解析式为 .
O
x
y
解：(3) 如图所示.
7. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
能力提升
8. 已知点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 ( k＞0 ) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围.
解：由 k＞0知在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴ y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为－1＜a＜1．

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