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16.5 实践与探索
第 2 课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1. 能通过数形结合理解一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的联系. (重点)
2. 能通过函数图象解一元一次方程、一元一次不等式. (难点)
2. 一次函数 y = 2x – 5 它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 .
(0，－5)
1. 解不等式 2x－5＞0.
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
从函数值看：
解这 3 个方程 一次函数 y = 2x + 1，
当 y 分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
y
y
y
一次函数与一元一次方程
1
从函数图象看：
在直线 y = 2x + 1上，取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少
(1) 2x + 1= 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
y
y
y
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
2x+1=3的解
y = 2x + 1
2x+1=0的解
2x+1=-1的解
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b
中，y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a， b，c为常数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数值为_____时的自变量_____的值.
如：求 4x + 5 = 9 的解 求一次函数 y = 4x + 5 的函数值为 9 时，自变量的值.
y = ax + b
c
x
1.直线 y＝2x＋20 与 x 轴交点坐标为( ___ ，___ )这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x =_____.
-10
0
-10
2.若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为( ___ ，___ ).
5
0
练一练
问题2 画出函数 的图象，根据图象，说明:
(1) x 取什么值时，函数值 y 等于 0
(2) x 取什么值时，函数值 y 大于 0
(1) 当 x = -2 时，函数值 y 等于 0；
(2) 当 x > -2 时，函数值 y 大于 0.
一次函数与一元一次不等式
2
y
思考 由问题 2 ，想一想：一元一次方程
的解、不等式 ， 的解集与函数 的图象有什么关系
一元一次方程 的解，就是函数 的图象与x轴交点的横坐标；不等式 的解集，就是函数 的图象在 x 轴上方部分对应的 x 的取值范围.
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y = kx+b的值
大于(或小于)0时，
x 的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y = kx+b
在x 轴上方(或下方)
的图象所对应的 x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
2. 如图，已知直线 y = kx + b 与 x 轴交于点 (-4，0) ，则当 y > 0 时，x 的取值范围是 ( )
A. x > -4
B. x > 0
C. x < -4
D. x < 0
C
练一练
O
x
y
－4
y = kx + b
问题3 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
　　不等式 ax + b＞c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值大于 c 的对应的自变量取值范围；
　　不等式 ax + b＜c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值小于 c 的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y = 0
y =-1
(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和
-3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
解：(1)由图象可知，不等式
-3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2；
不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
(2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3.
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
3. 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示.
(1)关于 x 的方程 kx + b = 9 的解为　 ；
(2)关于 x 的不等式 kx + b < 9 的解集为　 .
x = -6　
x > -6　
练一练
例2 如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3).
(1) 求 m，a 的值；
解：把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得，
－m－1＝－3，解得 m＝2，
∴点 P 的坐标为 (2，－3)，
∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P，
∴ 2a＋4＝－3.
解得
x
O
y
P
A
B
y＝－x－1
y＝ax＋4
(2) 根据图象，直接写出不等式 －x－1＞ax＋4 的解集.
由图象得，
不等式 －x－1＞ax＋4
的解集为 x＞2
x
O
y
P
A
B
y＝－x－1
y＝ax＋4
P(2，－3)
4. 如图，根据图中信息解答下列问题:
(1)关于 x 的不等式 ax + b > 0 的解集是　 　；
(2)关于 x 的不等式 mx + n < 1 的解集是　 　；
(3)当 x 为何值时，y1≤y2
(4)当 x 为何值时，0＜y2＜y1
解: (3) x≤1.
(4) 1＜x＜2.
x＜2
x＜0
练一练
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大 (小) 于 0 时，求自变量的取值范围，即在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x 取值范围 .
2. 已知一次函数 y1＝kx＋1 和 y2＝x－2.
当 x＜ l 时， y1＞y2，则 k 的值可以是( )
1.一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方程 kx + 3 = 0 的解为 .
3
y = kx+3
O
y
x
3
x = -3
B
A.－3 B.－1 C.2 D.4
3.一次函数 y1 = 4x + 5 与 y2 = 3x + 10 的图象如图所示，则 4x + 5 ＞3x + 10 的解集是 ( )
A. x＜5
B. x＞5
C. x＞-5
D. x＞25
B
25
y = 4x+5
O
y
x
5
y = 3x+10

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