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第 3 课时 函数在实际生活中的应用
16.5 实践与探索
第 16 章 函数及其图象
学习目标
1.巩固函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题；
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力；（重点）
3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．（难点）
乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事. 故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解
的道理. 数学问题也一样哦.
如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口吗？说说你的做法！
10 cm
9 cm
问题 为了研究某合金材料的体积 V (cm3) 随温度 t (℃) 变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下:
能否据此寻求 V 和 t 之间的函数关系式
建立一次函数模型解决实际问题
1
分析：在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点. 我们发现，这些点大致位于同一条直线上，可知 V 和 t 之间近似地符合一次函数关系.
设 V 和 t 的函数关系式是 V = kt +b(k≠0)，根据题意，得
解得
所以 V 与 t 的函数关系式可能是
V=0.04t+999.9
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式. 但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式.
知识要点
思考 根据上面的问题，你能总结一下求函数关系式的步骤吗
1. 描点：把实践中得到的一些变量的对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；
2. 判断：根据描出的点在平面直角坐标系中的位置和变化趋势等判断变量之间近似地符合哪一种函数关系；
3. 确定：设出函数表达式，用待定系数法确定近似函数关系式
例1 请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系：
指距 x（cm） 19 20 21
身高 y（cm） 151 160 169
(1) 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式；
(2) 当小李的指距为 22 cm 时，你能预测他的身高吗？
典例精析
解：设身高 y 与指距 x 之间的函数表达式为 y = kx + b.
将 x = 19， y = 151 与 x = 20，y = 160 代入上式，得
19k + b = 151，
20k + b = 160.
(1) 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式；
解得 k = 9，b = -20.
于是 y = 9x - 20. ①
将 x = 21，y = 169 代入①式也符合.
公式 ① 就是身高 y 与指距 x 之间的函数表达式.
解：当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178.
因此，小李的身高大约是 178 cm.
(2) 当小李的指距为 22 cm 时，你能测算他的身高吗？
小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据：
x (厘米) … 22 23 24 25 26 …
y (码) … 34 36 38 40 42 …
(1) 根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？
练一练
30
32
38
36
34
42
40
23
25
24
21
22
27
26
y (码)
x(厘米)
(2) 据说某篮球巨人的鞋子长 31 cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？
这些点在一条直线上，
如图所示.
O
我们选取点（22，34）及
点（25，40）的坐标代入
y = kx + b中，得
22k + b = 34，
25k + b = 40.
解得 k = 2，b = -10.
∴ 一次函数的表达式为 y = 2x - 10.
把 x = 31 代入上式，得 y = 2×31 - 10 = 52.
∴可以得到某篮球巨人穿 52 码的鞋子.
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系
解：根据圆柱的体积公式，得 Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
建立反比例函数模型解决实际问题
2
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工
队施工时应该向下掘进多深
解得 d = 20.
答：施工时应向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司
临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，
储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)
≈ 666.67.
答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为约 666.67 m .
解：根据题意，把 d = 15 代入 ，得
想一想 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量
d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 当动力臂为
1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于 l 的函数解析式为
对于函数 ，当 l =1.5 m 时，F = 400 N，此
时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N 的力.
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动
力臂 l 至少要加长多少
提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
解：当 F = 400× = 200 时，由 200 = ，得
3－1.5 =1.5 (m).
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越小.
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
例4 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？
解：由 ，得
p 是 S 的反比例函数．
典例精析
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S ＝ 0.2 m2 时，
故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa．
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p = 6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小.
因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
(4) 在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
函数在实际生活中的应用
一次函数模型的应用
实际问题中的反比例函数
1.下图是用棋子摆成的“上”字 ，则第 n 个图共有多少枚棋子？
图1
图2
图3
图4
解：先列表：
x 1 2 3 …
y 6 10 14 …
描点：如图所示.
我们发现图形的形状为一条直线，故可设该直线为 y = kx + b.
选取点（1，6）及
点（2，10）的坐标代入
y = kx + b 中，
得
k+b=6，
2k+b=10.
解得 k = 4，b = 2.
∴一次函数的表达式为 y = 4x + 2.
令 x = n，则 y = 4n + 2.
∴ 第 n 个图形有 (4n+2) 棋子.
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，
气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反
比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压为
120 kPa 时，气球的体积应为 ( )
A. B.
C. D.
C
O
60
V/m3
p/kPa
1.6
3. 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(℉)计量法. 两种计量法之间有如下的对应关系：
x/℃ 0 10 20 30 40 50
y/℉ 32 50 68 86 104 122
(1) 在平面直角坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系；
(2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验；
(3) 华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？
(4) 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
(1) 在平面直角坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系；
解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y 与 x 之间的函数关系为一次函数.
(2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验；
解：设 y ＝ kx＋b，把 (0，32) 和 (10，50) 代入得
解得
经检验，点 (20，68)，(30，86)，
(40，104)，(50，122) 的坐标均
能满足上述表达式，
∴y 与 x 之间的函数表达式为
(3) 华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？
解：当 y ＝ 0 时，
解得
∴华氏 0 度时的温度应是 ℃.
(4) 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
解：把 y ＝ x 代入，
解得
∴ 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40.
4. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项
开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工
程量 x (m) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数解析式；
50
24
x(m)
y(天)
O
解： (x＞0).
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50 = 1200 (m)，
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15) = 40 (天).
50
24
x(m)
y(天)
O
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？
解：1200÷30 = 40 (m)，
故每天至少要完成40 m．

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