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2026年中考一轮复习
1.2 代数式与整式
数与式
第1章
“—”
1．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。
3．会把具体数代入代数式进行计算。
4．了解整数指数幂的意义和基本性质。
5．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。
6．理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
7．能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
8．了解代数推理。
1．代数式
（1）概念：用________运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把________或表示数的________连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
（2）列代数式：根据数量关系，用含有数字、________和运算符号的数学式子把这种关系表示出来的过程。
（3）代数式的值：用________代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值。
基本
数
字母
字母
具体数
（4）代数式求值的步骤：
①代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；
②计算．
（5）代数式的分类：
2．整式及其加减运算
（1）单项式：由数或字母的________组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫________，单项式中的数字因数叫做这个单项式的________，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的________。
（2）多项式：几个单项式的________叫做多项式，多项式中，每个单项式叫做多项式的________，不含字母的项叫做________，次数最高项的次数，叫做这个多项式的________。
积
单项式
系数
次数
和
项
常数项
次数
（3）整式：单项式和多项式统称为________．
（4）同类项：多项式中，所含________相同，并且相同字母的________也相同的项，叫做同类项．
（5）合并同类项：把多项式中的________合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，字母连同它的指数________．
整式
字母
指数
同类项
和
不变
（6）去括号与添括号：去括号就是用括号外的数________括号内的每一项，再把所得的________相加。添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________符号．
（7）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先________，然后再________同类项。
乘
积
不变
改变
去括号
合并
3．幂的运算性质
（1）同底数幂相乘：am·an＝________（m，n都是整数，a≠0）．
（2）幂的乘方：（am）n＝________（m，n都是整数，a≠0）．
（3）积的乘方：（ab）n＝________（n是整数，a≠0，b≠0）．
（4）同底数幂相除：am÷an＝________（m，n都是整数，a≠0）．
（5）分式的乘方：()n=(b≠0，n是正整数)
am+n
amn
an·bn
am-n
4．整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别________作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个________．
（2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积相加．
相乘
因式
每一项
（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项________另一个多项式的每一项，再把所得的积相________．
（4）乘法公式
(a+b)(a－b)＝________
(a±b)2＝________________
(x＋p)(x+q)=________________
乘
加
a2－b2
a2±2ab＋b2
x2+(p+q)x+pq
5．整式除法
（1）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的________，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个________．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商相加．
因式
因式
每一项
6．因式分解
（1）就是把一个________化为几个整式的________形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
（2）因式分解的方法
①提公因式法：ma mb mc ________.
②公式法：
a2-b2=______________;
a2+2ab+b2=__________；a2-2ab+b2=__________
x2+(p+q)x+pq=______________
多项式
积
m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
(a-b)2
(x+p)(x+q)
③分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（3）因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先________．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用________来分解；
③如果项数较多或无法直接分解时，要________分解．
④分解因式必须分解到不能再________为止．
提取公因式
公式法
分组
分解
■考点一 列代数式
◇典例1：（2025·湖南长沙·中考）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A． B． C． D．
D
◆变式训练
1．（2025·内蒙古·中考）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
◆变式训练
2．（2025·河北·模拟）如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为．
（1）这个四位数可以表示为 ；
（2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为 ．
■考点二 幂的混合运算
◇典例2：（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
◆变式训练
1．（2025·广东江门蓬江·一模）下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
D
2．（2025·榆林市横山区·二模）计算：．
解：
，
．
■考点三 整式的运算
◇典例3：（2025·四川成都·模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
◆变式训练
2．（2025·河北·模拟）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m．
(1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）；
(2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积．
解：（1）矩形草坪的长为，宽为，
扩建前矩形草坪的面积为
；
由题意可得，扩建后矩形草坪的长为
，宽为，
扩建后矩形草坪的面积为；
◆变式训练
2．（2025·河北·模拟）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m．
(1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）；
(2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积．
（2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了，
。
解得：，
．
扩建前这个矩形草坪的面积为．
■考点四 乘法公式的应用
◇典例4：（2025·天津·中考）计算的结果为 ．
60
◆变式训练
1．（2025·南通通州·模拟）若，，则 ．
2．（2025·吉林吉林市第十中学·三模）若，则 ．
1
■考点五 因式分解
◇典例5：（2025·哈尔滨·中考）把多项式分解因式的结果是 ．
◆变式训练
1．（2025·山东省东营市·中考）因式分解 ．
2．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
■考点六 规律探索
◇典例6：（2025·西藏·中考）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
A
◆变式训练
1．（2025·黑龙江绥化·中考）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
◆变式训练
2．（2025·陕西省·中考）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
21
A 基础达标练
1．（2026·江苏连云港海州实验中学·模拟卷）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
2．（2025·2025年上海市奉贤区·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B．
C． D．
A
3．（2025·贵州·模拟）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
C
4．（2025·甘肃省张掖一中教育集团四校·适应性模拟）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　）
A．张 B．张 C．张 D．张
B
5．（2025·哈尔滨·中考）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（ ）个小正方形．
A． B． C． D．
C
6．（2025·抚州临川·二模）因式分解： ．
7．（2025·湖南·三模）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可）
8．（2025·山西长治襄垣县·一模）计算： ．
9．（2025·甘肃省武威市古浪县四中·一模）已知，则的值是 ．
10．（2025·哈尔滨·中考）定义新运算：，则的运算结果是 ．
11．（2025·内蒙古·一模）先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
B 强化提升练
12．（2025·安徽淮南大通区·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究．
航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究：
序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
个数 1 4 11 22 a … b
变化 1 … …
航航同学又对这个数字变化进一步分析：
；
；
；
；
；
…
∴图n为
．
悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图：
她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样．
涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？
(1)请你补充航航和悦悦的探究，即____，_______________，_____________________；
(2)请你解决涛涛同学提出的问题．
解：（2）存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383，
由题意得，
解得，（舍去），
存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383.
13．（2025·扬州树人教育集团·江苏扬州·三模）【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；
②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：
②，
∴，
∴，
∵、均为整数，
∴为奇数，不能为3的倍数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：
①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
51
Thanks!
2
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第一章 数与式
1.2 代数式与整式
1．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。
3．会把具体数代入代数式进行计算。
4．了解整数指数幂的意义和基本性质。
5．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。
6．理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
7．能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
8．了解代数推理。
1．代数式
（1）概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
（2）列代数式：根据数量关系，用含有数字、字母和运算符号的数学式子把这种关系表示出来的过程。
（3）代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值。
（4）代数式求值的步骤：①代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；②计算．
（5）代数式的分类：
2．整式及其加减运算
（1）单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式，多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
（5）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．
（6）去括号与添括号：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
（7）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
3．幂的运算性质
（1）同底数幂相乘：am·an＝am+n（m，n都是整数，a≠0）．
（2）幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．
（3）积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．
（4）同底数幂相除：am÷an＝am-n（m，n都是整数，a≠0）．
（5）分式的乘方：()n=(b≠0，n是正整数)
4．整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（4）乘法公式
(a+b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
(x＋p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
5．整式除法
（1）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
6．因式分解
（1）就是把一个多项式化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
（2）因式分解的方法
①提公因式法：mambmc m(a+b+c).
②公式法：
a2-b2=(a+b)(a-b);
a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
③分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（3）因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
③如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．
④分解因式必须分解到不能再分解为止．
■考点一 列代数式
◇典例1：（2025·湖南长沙·中考）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和．
【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数，
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·内蒙古·中考）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：，
故答案为：．
2．（2025·河北·模拟）如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为．
（1）这个四位数可以表示为 ；
（2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意列出代数式是解题的关键．
（1）根据千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为，即可进行表达；
（2）根据百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍可列出式子，得到，分析与的值即可解答．
【详解】（1）∵该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为，
∴这个四位数可以表示为；
（2）由题意得，，
∵，
∴，则或，
∴四位数为或，
∵，，
∴满足条件的四位向阳数为．
■考点二 幂的混合运算
◇典例2：（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则．
【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
B． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
C． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
D． ，与选项结果一致，正确，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·广东江门蓬江·一模）下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案．
【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意；
B、因为，所以选项B错误，不符合题意；
C、因为，所以选项C错误，不符合题意；
D、因为，所以选项D正确，符合题意．
故选：D．
2．（2025·榆林市横山区·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查幂的混合运算，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可．
【详解】解：
，
．
■考点三 整式的运算
◇典例3：（2025·四川成都·模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，包括完全平方公式、指数运算和分配律，选项A错误，因为完全平方公式展开后缺少中间项；选项B错误，因为不是同类项不能合并；选项C正确，符合指数运算法则；选项D错误，因为分配律应用时符号错误．
【详解】解： A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．（2025·河北·模拟）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m．
(1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）；
(2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积．
【答案】(1)扩建前：，扩建后：
(2)
【分析】本题主要考查代数式的表示，多项式乘法运算以及通过建立方程解决的能力，准确计算是解题的关键．
（1）扩建前后的面积均通过长宽计算，注意代数式的展开与化简；
（2）利用扩建后面积与原面积的差建立方程，求解出未知数的值，进而求出原面积．
【详解】（1）矩形草坪的长为，宽为，
扩建前矩形草坪的面积为；
由题意可得，扩建后矩形草坪的长为，宽为，
扩建后矩形草坪的面积为；
（2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了，
。
解得：，
．
扩建前这个矩形草坪的面积为．
■考点四 乘法公式的应用
◇典例4：（2025·天津·中考）计算的结果为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：60．
◆变式训练
1．（2025·南通通州·模拟）若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，根据完全平方公式得出，代入求出即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
2．（2025·吉林吉林市第十中学·三模）若，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是关键．
根据，，由得，即可求解．
【详解】解：∵，，
由得，
∴
故答案为：1．
■考点五 因式分解
◇典例5：（2025·哈尔滨·中考）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式．
【详解】解：
．
故答案为：．
◆变式训练
1．（2025·山东省东营市·中考）因式分解 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：
2．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下：
，
∴符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
■考点六 规律探索
◇典例6：（2025·西藏·中考）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是，
小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，
∴第n个数小数部分是，
∴第n个数是，
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·黑龙江绥化·中考）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．
【详解】解：第一个图形中有个三角形；
第二个图形中有个三角形；
第三个图形中有个三角形；
第四个图形中有个三角形；
；
第n个图形中有个三角形．
故答案为：
2．（2025·陕西省·中考）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可．
【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：；
第2个图案中矩形的个数：；
第3个图案中矩形的个数：；
…
第n个图案中矩形的个数：，
∴则第10个图案中矩形的个数为：，
故答案为：21．
A 基础达标练
1．（2026·江苏连云港海州实验中学·模拟卷）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的运算、完全平方公式、合并同类项、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
根据幂的运算、完全平方公式、合并同类项、平方差公式逐项判断即可．
【详解】解：A．，故 A错误，不符合题意；
B．，故 B正确，符合题意；．
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D错误，不符合题意．
故选B．
2．（2025·2025年上海市奉贤区·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解．
【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意
B选项=，不是完全平方式，不合题意误
C选项=，不是完全平方式，不合题意
D选项=，不是完全平方式，不合题意
故选：A
3．（2025·贵州·模拟）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可．
【详解】解：由题意得，
二次三项式在整数范围内可因式分解为，
，
，
故选：C．
4．（2025·甘肃省张掖一中教育集团四校·适应性模拟）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　）
A．张 B．张 C．张 D．张
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可．
【详解】解：∵为完全平方式，且，
∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张，
故选：B．
5．（2025·哈尔滨·中考）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（ ）个小正方形．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解．
【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形；
拼第二个正方形需要个小正方形；
拼第三个正方形需要个小正方形；
．．．．．．
按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形；
第六个正方形需要个小正方形，
故选：C．
6．（2025·抚州临川·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解．
直接提取公因式即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
7．（2025·湖南·三模）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题是一道开放性题，考查因式分解，熟悉因式分解法是解题的关键．
【详解】∵，
∴加上的单项式可以是（答案不唯一）．
8．（2025·山西长治襄垣县·一模）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式将括号展开再合并即可得到结果．
【详解】解：
，
故答案为：．
9．（2025·甘肃省武威市古浪县四中·一模）已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值．先观察代数式与已知条件的关系，通过提取公因式将代数式变形为含有已知条件的形式，再代入已知值计算结果．
【详解】当时，
故答案为：．
10．（2025·哈尔滨·中考）定义新运算：，则的运算结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算．
【详解】解：由题意得， ；
故答案为 ．
11．（2025·内蒙古·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】4045
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先按照平方差公式以及完全平方公式展开，然后合并同类项，最后将代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
B 强化提升练
12．（2025·安徽淮南大通区·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究．
航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究：
序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
个数 1 4 11 22 a … b
变化 1 … …
航航同学又对这个数字变化进一步分析：
；
；
；
；
；
…
∴图n为
．
悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图：
她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样．
涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？
(1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______；
(2)请你解决涛涛同学提出的问题．
【答案】(1)；；
(2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383
【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可．
【详解】（1）解：补充航航同学的分析：
，
．
补充悦悦同学的分析：
图n中有个圆，
∴．
故答案为：37；；．
（2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383，
由题意得，
解得，（舍去），
存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383.
13．（2025·扬州树人教育集团·江苏扬州·三模）【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②
【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键．
（1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解；
（2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；
（3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①∵
∴；
②∵
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①根据题意得：
∴，
故答案为：；
②，
∴，
∴，
∵、均为整数，
∴为奇数，不能为3的倍数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第一章 数与式
1.2 代数式与整式
1．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。
3．会把具体数代入代数式进行计算。
4．了解整数指数幂的意义和基本性质。
5．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。
6．理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
7．能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
8．了解代数推理。
1．代数式
（1）概念：用________运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把________或表示数的________连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
（2）列代数式：根据数量关系，用含有数字、________和运算符号的数学式子把这种关系表示出来的过程。
（3）代数式的值：用________代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值。
（4）代数式求值的步骤：①代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；②计算．
（5）代数式的分类：
2．整式及其加减运算
（1）单项式：由数或字母的________组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫________，单项式中的数字因数叫做这个单项式的________，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的________。
（2）多项式：几个单项式的________叫做多项式，多项式中，每个单项式叫做多项式的________，不含字母的项叫做________，次数最高项的次数，叫做这个多项式的________。
（3）整式：单项式和多项式统称为________．
（4）同类项：多项式中，所含________相同，并且相同字母的________也相同的项，叫做同类项．
（5）合并同类项：把多项式中的________合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，字母连同它的指数________．
（6）去括号与添括号：去括号就是用括号外的数________括号内的每一项，再把所得的________相加。添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________符号．
（7）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先________，然后再________同类项。
3．幂的运算性质
（1）同底数幂相乘：am·an＝________（m，n都是整数，a≠0）．
（2）幂的乘方：（am）n＝________（m，n都是整数，a≠0）．
（3）积的乘方：（ab）n＝________（n是整数，a≠0，b≠0）．
（4）同底数幂相除：am÷an＝________（m，n都是整数，a≠0）．
（5）分式的乘方：()n=(b≠0，n是正整数)
4．整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别________作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个________．
（2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积相加．
（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项________另一个多项式的每一项，再把所得的积相________．
（4）乘法公式
(a+b)(a－b)＝________
(a±b)2＝________
(x＋p)(x+q)=________
5．整式除法
（1）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的________，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个________．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商相加．
6．因式分解
（1）就是把一个________化为几个整式的________形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
（2）因式分解的方法
①提公因式法：mambmc ________.
②公式法：
a2-b2=________;
a2+2ab+b2=________；a2-2ab+b2=________x2+(p+q)x+pq=________
③分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（3）因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先________．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用________来分解；
③如果项数较多或无法直接分解时，要________分解．
④分解因式必须分解到不能再________为止．
■考点一 列代数式
◇典例1：（2025·湖南长沙·中考）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·内蒙古·中考）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
2．（2025·河北·模拟）如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为．
（1）这个四位数可以表示为 ；
（2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为 ．
■考点二 幂的混合运算
◇典例2：（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·广东江门蓬江·一模）下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2025·榆林市横山区·二模）计算：．
■考点三 整式的运算
◇典例3：（2025·四川成都·模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中．
2．（2025·河北·模拟）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m．
(1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）；
(2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积．
■考点四 乘法公式的应用
◇典例4：（2025·天津·中考）计算的结果为 ．
◆变式训练
1．（2025·南通通州·模拟）若，，则 ．
2．（2025·吉林吉林市第十中学·三模）若，则 ．
■考点五 因式分解
◇典例5：（2025·哈尔滨·中考）把多项式分解因式的结果是 ．
◆变式训练
1．（2025·山东省东营市·中考）因式分解 ．
2．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
■考点六 规律探索
◇典例6：（2025·西藏·中考）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2025·黑龙江绥化·中考）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
2．（2025·陕西省·中考）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
A 基础达标练
1．（2026·江苏连云港海州实验中学·模拟卷）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·2025年上海市奉贤区·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·贵州·模拟）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
4．（2025·甘肃省张掖一中教育集团四校·适应性模拟）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　）
A．张 B．张 C．张 D．张
5．（2025·哈尔滨·中考）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（ ）个小正方形．
A． B． C． D．
6．（2025·抚州临川·二模）因式分解： ．
7．（2025·湖南·三模）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可）
8．（2025·山西长治襄垣县·一模）计算： ．
9．（2025·甘肃省武威市古浪县四中·一模）已知，则的值是 ．
10．（2025·哈尔滨·中考）定义新运算：，则的运算结果是 ．
11．（2025·内蒙古·一模）先化简，再求值：，其中．
B 强化提升练
12．（2025·安徽淮南大通区·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究．
航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究：
序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
个数 1 4 11 22 a … b
变化 1 … …
航航同学又对这个数字变化进一步分析：
；
；
；
；
；
…
∴图n为
．
悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图：
她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样．
涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？
(1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______；
(2)请你解决涛涛同学提出的问题．
13．（2025·扬州树人教育集团·江苏扬州·三模）【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
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