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2.2 简单图形的坐标表示
第2章 图形与坐标
学习目标
1. 能建立适当的直角坐标系，描述图形的位置；
（重点）
2.通过用直角坐标系表示图形的位置，体会平面直角
坐标系在实际问题中的应用．（难点）
问题：如果某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，小明想请他的同学小慧提一些建议，小明要在电话中告诉小慧同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的
知识．你知道小明是怎样
叙述的吗？
建立坐标系求图形中点的坐标
【做一做】正方形 ABCD 的边长为 6.
A
B
C
D
1
(1) 如果以 B 为原点，以 BC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，那么 y 轴是哪条直线？写出正方形的顶点 A，B，C，D 的坐标.
B(O)
A
C
D
解：(1) 如图，以点 B 为原点，分别以 BC，AB 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，规定 1 个单位长度为 1，此时点 B 的坐标为 (0，0).
因为 AB = 6，BC = 6，
可得点 A，C，D 的坐标分别为
A(0，6)，C(6，0)，D(6，6).
（2）如果以正方形的对称中心为原点，建立平面直角坐标系，写出正方形的顶点 A，B，C，D 的坐标.
(2) 如图，以正方形的对称
中心 O 为原点，分别以过点O 且垂直两组对边的两条对称轴为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系.
此时，点 A，B，C，D 的坐标分别为 A(-3，3)，B(-3，-3)，C(3，-3)，D(3，3).
O
B
A
C
D
A(-6，0)， B(-6，-6)，C(0，-6)， D(0，0).
A
B
C
D
A(0，0)，B(0，-6)，
C(6，-6)， D(6，0).
y
x
O
想一想：还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点 A，B，C，D 的坐标吗？
A(-6，6)，B(-6，0)，C(0，0)，D(0，6).
追问　由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？
【总结】平面直角坐标系的构建不同，则点的坐标也不同，在建立平面直角坐标系时，应使点的坐标简明.
例1 如图，矩形 ABCD 的长和宽分别为 8 和 6，
试建立适当的平面直角坐标系，写出矩形 ABCD
各顶点的坐标，并作出矩形 ABCD.
典例精析
因为 BC = 8，AB = 6，
于是，点 A，C，D 的坐标分别为 A(0，6)，C(8，0)，
D(8，6).
依次连接 A，B，C，D，则图中的四边形 ABCD 就是所求作的矩形.
●
A
C
●
D
●
解：如图，以点 B 为原点，分别以 BC，AB 所在直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系. 规定 1 个单位长度为 1，则点 B 的坐标为(0，0).
变式: 长方形的两条边长分别为 4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(-2，-3)．请你写出另外三个顶点的坐标．
解：如图建立直角坐标系，则
长方形的一个顶点 A 的坐标为
(-2，-3)，
另外三个顶点的坐标分别为
B(2，-3)，C(2，3)，D(-2，3)．
还有其他方法吗？
在用坐标描述简单几何图形时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同．在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点（例如顶点）的坐标，可以确定这个简单几何图形.
在规则的几何图形中一般优先考虑通过顶点和边来建立直角坐标系.
方法总结
【练一练】下图是一个围棋棋盘(局部)，把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋 ① 的坐标是(－2，－1)，白棋 ③ 的坐标是(－1，－3)，则黑棋 的坐标是___________．
解析：由已知白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的坐标是(－1，－3)，可知 y 轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x 轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋 的坐标是(1，－2)．
(1，－2)
y
O
例2 下图是一个机器零件的尺寸规格示意图，试建立适当的平面直角坐标系，写出其各顶点的坐标，并作出这个示意图.
解：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为点 O，以点 O 为原点， 分别以 AB，DO 所在直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如上右图所示.
规定 1 个单位长度为 100 mm，则四边形 ABCD 的顶点坐标分别为：A(-1，0)，B(4，0)，C(3，2)，
D(0，2). 依次连接 A，B，C，D ，
则图中的四边形ABCD
即为所求作的图形.
画一画：你能在直角坐标系里描出点 A (-4，-5)，B (-2，0)，C (4，0) 吗？并连线．
O
-5-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
A
B
C
●
●
●
坐标平面内图形面积的计算
2
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.
∵ A (-4，-5)，∴ D (-4，0).
则有 AD = 5，BC = 6，
∴ S△ABC = BC·AD
= ×6×5 = 15.
O
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
A
B
C
●
●
问题：你能求出△ABC 的面积吗？
D
●
例3 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图形，并计算他们的面积.
(1) A(5，1)，
B(2，1)，
C(2，-3)
(2) A(-1，2)，
B(-2，-1)，
C(2，-1)，D(3，2)
3
2
1
-2
-1
-3
4
x
y
A
D
A
C
-1
-2
O
O
1
2
3
4
5
x
y
2
2
4
-2
-2
B
C
B
(1) 得到一个直角三角形，
如图所示.
其面积为 ×3×4 = 6.
(2) 得到一个平行四边形，
如图所示.
其面积为 4×3 = 12.
解析：本题宜用补形法．过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC＝S矩形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA 即可求出△ABC 的面积．
例4 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积．
例4 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积．
解：∵ A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，
∴ BD＝3，CD＝1，CE＝3，AE＝1，
AF＝2，BF＝4.
∴ S△ABC＝S矩形BDEF－S△BDC－S△CEA
－S△BFA
＝ BD·BF－ CD·BD－ CE·AE－ AF·BF
＝ 12－1.5－1.5－4 ＝ 5.
【方法总结】本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积．已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法，求出三角形一边的长及该边上的高，再计算其面积；
方法二：补形法，将三角形转化成若干个特殊的四边形和三角形，求总面积与多余三角形的差；
方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
y
A
B
C
1. 已知A(1，4)，B(-4，0)，C(2，0). △ABC 的面积是＿＿.
2. 若 B(-4，0)，C(2，0)，△ABC 的面积为 6，点 A 的横
坐标为 -1，那么点 A 的坐标为 ．
12
O
(1，4)
(-4，0)
(2，0)
C
y
A
B
(-4，0)
(2，0)
(-1，2) 或 (-1，-2)
O
3. 对于边长为 4 的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
1
2
3
4
1
O
3
2
–2
–1
–1
–2
–3
–4
–3
-4
y
A
B
C
x
解: A(0， )， B(-2，0) ，C(2，0).（答案不唯一）
·
4. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？
（3，-2）
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
y
·
O
x
（3，2）
·
·
（4，4）
解：如图所示.
坐标平面内的图形
坐标平面内图形面积的计算
建立适当的直角坐标系描述图形的位置

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