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2.3 轴对称和平移的坐标表示
第2章 图形与坐标
第3课时 二次平移的坐标表示
学习目标
1. 掌握图形平移与坐标变化的关系.
2. 能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标的变化来判定图形的移动过程.(重点)
3. 经历图形中各个点坐标变化与图形平移的关系的过程，发展数形结合意识.(难点)
问题：你会下象棋吗 如果下一步想“馬走日”“象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？
1．一般地，在平面直角坐标系中，将点 (a，b) 向右(或向左)平移 k (k＞0)个单位，其像的坐标为____________(或__________)；当一个平面图形所有的点的横坐标都加上(或减去)同一个正数 k，纵坐标不变时，图形则会_____________________________.
(a＋k，b)
(a－k，b)
向右(或向左)平移 k 个单位
2．一般地，在平面直角坐标系中，将点 (a，b) 向上(或向下)平移 k (k＞0)个单位，其像的坐标为__________(或__________)；当一个平面图形所有的点的纵坐标都加上(或减去)同一个正数 k，横坐标不变时，图形则会__________________________．
(a，b＋k)
(a，b－k)
向上(或向下)平移 k 个单位
1
二次平移的坐标表示
问题1：如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(－4，－1)，
B(－5，－3)，C(－2，－4).
将△ABC 向右平移 7 个单位，
它的像是△A1B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
1.画出△A1B1C1.
2. 写出△A1B1C1各点的坐标，并与△ABC 的顶点坐标作比较，对应点的坐标有怎样的变化？
A
B
C
A1
B1
C1
A(-4，-1)，B(-5，-3)，C(-2，-4)，
平移后的对应点的横坐标增加了 7，纵坐标不变.
向右平移 7 个单位长度，
其像的顶点坐标为
A1(3，-1)，B1(2，-3)，
C1(5，-4)；
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
3. 如果将△A1B1C1 向上平移 5 个单位，得到△A2B2C2，写出△ A2B2C2 各点的坐标，它们有怎样的变化
A2(3，4)，B2(2，2)，
C2(5，1)；
平移后的对应点的横坐标不变，纵坐标增加了 5.
A1(3，-1)，B1(2，-3)，C1(5，-4)；
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
（2）将△ABC 作沿射线 AA2 的方向的平移，移动的距离等于线段 AA2 的长度，则△ABC 的像是△A2B2C2 吗？
解：在这个平移下，
点 A(－4，－1) 的像是点
A2(3，4).
点 A2 的横坐标是
3＝(－4)＋7，
点A2的纵坐标是
4＝(－1)＋5.
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
x′ = x + 7
y′ = y + 5
因此在这个平移下，平面内任一点 P(x，y) 与其像点 P′(x′，y′) 的坐标有如下关系：
按照这个关系，点B(-5，-3) 的像点的坐标为(2，2)，从而点B的像点是B2；点C(-2，-4) 的像点的坐标为 (5，1)，从而点 C 的像点是C2. 因此△ABC 的像是△A2B2C2，如图.
图形平移转化：
图形平移的方向与距离
图形上点的平移的方向与距离
转化
归纳总结
图形上点的坐标变化
转化
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
（x + a，y + b）
（x + a，y - b）
（x - a，y + b）
（x - a，y - b）
【交流讨论】一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？
例1 如图，四边形 ABCD 四个顶点坐标分别为A(1，2)，
B(3，1)，C(5，2)，D(3，4). 将四边形 ABCD 先向下平移 5 个单位长度，再向左平移 6 个单位长度，它的像是四边形A′B′C′D′.
典例精析
A
B
C
D
(1) 写出四边形 A'B'C'D' 的顶点坐标，并作出该四边形.
解：四边形 ABCD 先向下平移 5 个单位长度，再向左平移 6 个单位长度，在这两个平移下，平面内任一点 P(x，y) 与其像点
P′(x′，y′) 的坐标有如下关系：
x′＝x－6，
y′＝y－5，
A
B
C
D
按照这个关系，由点 A，B，C，D 的坐标可知，像点的坐标分别是
A′(－5，－3)，
B′(－3，－4)，
C′(－1，－3)，
D′(－3，－1). 依次连接点 A′，B′，C′，D′，即得四边形 A′B′C′D′， 如图所示.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
(2) 将四边形 ABCD 沿射线 AA' 的方向平移线段 AA' 的长度，则可得四边形 A'B'C'D'.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
解：将四边形 ABCD 沿射线 AA' 的方向平移线段 AA' 的长度，则可得四边形 A'B'C'D'.
例2 如图,在平面直角坐标系中，P(a,b)是△ABC的边 AC 上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6，b＋2).
(1) 请画出上述平移后的△A1B1C1，
并写出点A，C，A1，C1的坐标；
1
y
O
1
x
A
B
C
A1
B1
C1
解：△A1B1C1 如图所示，各点的坐标分别为
A(－3，2)、C(－2，0)、
A1(3，4)、C1(4，2).
P
P1
1
y
O
1
x
A
B
C
A1
B1
C1
(2) 求出以 A，C，C1 ，A1为顶点的四边形的面积.
解：连接 AA1，CC1.
P
P1
1. 将点 A(3，2) 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到 A1，则 A1 的坐标为________.
(5，-2)
2. 在平面直角坐标系中，将点 A(1，﹣2) 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′ 的坐标是(　　)
A. (﹣1，1) B. (﹣1，﹣2)
C. (﹣1，2) D. (1，2)
A
3. 如图，A，B 的坐标为 (2，0)，(0，1)，若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a + b 的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
B
C
-4
-5
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-3
o
x
y
(-3，2)
(-2，-1)
(3，0)
4. 如图，△ABC 上任意一点 P(x0，y0)经平移后得到的对应点为P1(x0 + 2，y0 + 3)，将△ABC 作同样的平移得到△A1B1C1. 求A1，B1，C1的坐标.
P
(x0，y0)
P1(x0+2，y0+3)
B
C
O
A1
C1
B1
A
解：A( -3，2 ) 经平移后得到 (-3 + 2，2 + 3)，
即 A1( -1，5 )；
B( -2，-1 ) 经平移后得到 (-2 + 2，-1 + 3)，
即 B1(0，2)；
C(3，0) 经平移后得到 (3 + 2，0 + 3)，即
C1(5，3).
5. 在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位称为 1 次变换. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别是（-1，-1），（-3，-1），把正方形 ABCD 经过连续 7 次这样的变换得到正方形 A′B′C′D′，求点 B 的对应点 B′ 的坐标.
拓展提升
解：∵正方形ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)，
∴根据题意，得第 1 次变换后的点 B 的对应点的坐标为(-3 + 2，1)，即 (-1，1)；
第 2 次变换后的点 B 的对应点的坐标为(-1 + 2，-1)，即(1，-1)；
第 3 次变换后的点 B 的对应点的坐标为(1 + 2，1)，即
(3，1)；
……
第 n 次变换后的点 B 的对应点的坐标：
当 n 为奇数时为 (2n - 3，1)，
当 n 为偶数时为 (2n - 3，-1).
∴ 把正方形 ABCD 经过连续 7 次这样的变换得到正方形 A′B′C′D′，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是(11，1)．
图形平移转化：
图形平移的方向与距离
图形上点的平移的方向与距离
转化
图形上点的坐标变化
转化

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