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小结与复习
第1章 四边形
一、多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于(n - 2) ×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
二、平行四边形的性质
对角线互
相平分
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
A
B
C
D
O
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD=BC ，AB=DC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AB=DC，AB∥DC.
三、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OC，OB = OD.
两组对边分别平行(定义)
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD∥BC ，AB∥DC.
平行线之间的距离处处相等
A
B
C
D
O
1．中心对称
在平面内，把一个图形上的每一个点 P 对应到它绕点 O 旋转 °下的像 P′,这个变化称为关于点 O 中心对称.
180
四、中心对称
2．中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中心________．
3.中心对称图形
把一个图形绕着一个点 O 旋转 °，所得的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心．
对称中心
平分
180
1.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
五、三角形的中位线
用符号语言表示
∵DE 是△ABC 的中位线
∴DE∥BC，
项目 四边形 对边 角 对角线
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
六、矩形、菱形、正方形的性质
项目 四边形 条件
① 定义：有一个角是直角的平行四边形
② 三个角是直角的四边形
③ 对角线相等的平行四边形
① 定义：一组邻边相等的平行四边形
② 四条边都相等的四边形
③ 对角线互相垂直的平行四边形
① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
② 有一组邻边相等的矩形
③ 有一个角是直角的菱形
七、矩形、菱形、正方形的判定方法
考点一 多边形的内角和与外角和
例1 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解：设此多边形的外角的度数为 x，
则内角的度数为 4x，
则 x + 4x = 180°，解得 x = 36°.
∴边数 n = 360°÷36° = 10.
【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
【针对训练】1.一个正多边形的每一个内角都等于 120°，则其边数是 .
6
【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6.
考点二 平行四边形的性质
例2 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1 = ∠2 B．∠BAD = ∠BCD
C．AB = CD D．AC = BC
【解析】A.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1 = ∠2，故 A 正确；B.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BAD = ∠BCD，故 B 正确；C.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = CD，故 C 正确.
D
主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等.
归纳总结
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B =∠D，AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD，
∴∠EAB = ∠FCD.
2. 如图，已知 ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交 BC，AD于点 E，F．求证：AF = EC．
针对训练
在△ABE 和△CDF 中
∠B＝∠D ，
AB＝CD ，
∠EAB＝∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE = DF．
∵AD = BC，
∴AF = EC．
例3 如图，在 ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC = 10 cm，BD = 6 cm
∴OA = OC = AC = 5 cm，
OB = OD = BD = 3 cm.
∵∠ODA = 90°，
∴AD= = 4 cm．
A
主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
归纳总结
【解析】∵在 ABCD中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，
∴AO = CO = 12 cm，BO = 19 cm，AD = BC = 28 cm.
∴△BOC 的周长是BO+CO+BC = 12+19+28 = 59(cm)．
3. 如图，在 ABCD 中，对角线AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，
AD = 28 cm，则△BOC 的周长是（　　）
A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm
B
考点三 平行四边形的判定
例4 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　）
A．OA = OC，OB = OD
B．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD = BC
D．AB = CD，AO = CO
D
平行四边形的判定方法：
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
归纳总结
4. 如图，点 D，C 在 BF 上，AC∥DE，∠A = ∠E，BD = CF，
(1) 求证：AB = EF；
(1) 证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD = ∠EDF.
∵BD = CF，∴BD+DC = CF+DC，
即 BC = DF.
又∵∠A = ∠E，∴△ABC≌△EFD（角角边）.
∴AB = EF.
针对训练
(2) 连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并
说明理由．
(2)解：猜想：四边形 ABEF 为平行四边形，
理由如下：由(1)知△ABC≌△EFD，
∴∠B =∠F. ∴AB∥EF.
又∵AB = EF，
四边形 ABEF 为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
考点四 中心对称及中心对称图形
例5 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称
图形的是 (　　)
　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　 　D
D
【解析】图 A 、图 B 都是轴对称图形，图 C 是中心对称图形，图 D 既是中心对称图形也是轴对称图形.
5.下列说法不正确的是（ ）
A. 任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形
B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对 称图形
D. 正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条
B
针对训练
考点五 三角形的中位线
例6 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点.求证：
证明：过点 D 作DH∥BF，交 AC 于点 H.
∵AD 是△ABC 的中线.
∴D 是 BC 的中点.
∴CH＝HF＝ CF.
∵E 是 AD 的中点，EF∥DH.
∴AF＝FH. ∴AF＝ FC.
A
B
C
D
E
F
H
6. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ，三角形的周长为 60 cm，那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿；
解析：设三角形的三条中位线之长分别为 6x，5x，4x，
则三角形的三条边长分别为 12x，10x，8x，
依题意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最长边 12x＝24 (cm).
24 cm
针对训练
例7 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，
∠AOD = 120°，AB = 2.5 ，求矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD (矩形的对角线相等).
OA = OC= AC，OB = OD = BD ，
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
A
B
C
D
O
考点六 矩形的性质和判定
A
B
C
D
O
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA = ∠OAD = (180°- 120°) = 30°.
又∵∠DAB = 90° ，
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
7. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
针对训练
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形,
∴OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).
∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角) .
在Rt△ABC 中，由勾股定理，得
AB2 + BC2 = AC2 ，
∴BC =
∴S□ABCD = AB·BC = 4× =
A
B
C
D
O
8. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形 CEBO 是矩形.
理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形.
∴AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°.
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 CEBO 是平行四边形.
∴四边形 CEBO 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
例8 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)，
OB = OD = BD = ×6 = 3
(菱形的对角线互相平分).
A
B
C
O
D
考点七 菱形的性质和判定
在等腰三角形 ABC 中，
∵∠BAD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
∴在Rt△AOB 中，AO
∴AC = 2AO =
A
B
C
O
D
证明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA = 2，OB = 1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
9. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形.
A
B
C
O
D
针对训练
10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由.
A
B
C
D
E
F
解：四边形 ABCD 是菱形.
过点 C 作 AB 边的垂线，交点为 E，作 AD边上的垂线，交点为 F.
S 四边形ABCD = AD · CF = AB ·CE .
由题意可知 CE = CF 且
四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形.
例9 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形 BECF 是正方形.
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF 为平行四边形；再由一组邻边相等可得菱形；最后由一个直角，得出是正方形.
45°
45°
考点八 正方形的性质和判定
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
∵BE 平分∠ABC， CE 平分∠ DCB，
∴∠EBC = 45°，∠ECB = 45°.
∴ ∠EBC =∠ ECB .
∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形 .
在△EBC 中，
∵ ∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 90°.
∴菱形 BECF 是正方形.
（有一个角是直角的菱形是正方形）
F
A
B
E
C
D
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
多边形的内角和与外角和
内角和计算公式
(n-2) × 180°（n≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关
正多
边形
内角= ，外角=
平 行 四 边 形
性质
① 对边平行且相等
② 对角相等，邻角互补
③ 对角线互相平分
判定
① 两组对边分别平行的
② 两组对边分别相等的
③ 一组对边平行且相等的
④ 对角线互相平分的
四 边 形
平行四边形
有一对邻边相等
(或对角线互相垂直)
四边形的分类及转化
有一个角是 90°
(或对角线相等)
有一对邻边相等
(或对角线互相垂直)
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直且相等）
有一个角是90°
(或对角线相等)

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