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1.2.1 平行四边形的性质
第1章 四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
学习目标
1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定
义和对边相等、对角相等的两条性质.（重点）
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.（难点）
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程，发展思维水平.
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平行四边形是常见的几何图形，通过下面的视频，你还能找到类似的例子吗？
从下列照片中分别抽象出一个平行四边形.这些平行四边形的对边分别平行吗
平行四边形的定义
1
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
定义:
A
B
D
C
语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∠A与∠C，∠B 与∠D 分别是两组对角
AD 与 BC，AB 与DC 分别是两组对边
说一说
若一个四边形只有一组对边平行而另一组对边不平行，则它是平行四边形吗
表示：
如图，平行四边形 ABCD
简记作□ABCD ( 要注意字母顺序).
A
B
D
C
它不是平行四边形，而是我们小学认识的梯形.
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
相关概念:
互相平行的两边叫作梯形的底 (通常把较短的底叫作上底，
较长的底叫作下底)，
A
B
C
D
上底
下底
腰
腰
高
知识要点
定义:
如图，四边形 ABCD 是梯形.
不平行的两边叫作梯形的腰.
两底的公垂线段叫作梯形的高.
A
B
C
D
两腰相等的梯形叫作等腰梯形.
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.
想一想：将左边两图中线段 DA 沿 DC 方向平移，使其过点 C，则原梯形可分割成两个什么图形？
A
B
C
D
平行四边形和三角形
BEKH， CHKF， BEFC， CDGH， ABCD.
例1 如图，DC∥GH∥AB，DA∥FE∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
解：∵DC∥GH ∥AB，DA∥FE∥CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定
图中共有 9 个平行四边形，即
AEKG， ABHG， AEFD， GKFD，
K
归纳：用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
典例精析
根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形 ABCD.
D
A
B
C
平行四边形的边、角特征
2
A
B
C
D
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗
测得 AB = DC，AD = BC.
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现 ∠A 与∠C，∠B 与 ∠D 之间的数量关系吗
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
证明：如图，连接 AC.
因为 四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD∥BC，AB∥CD.
从而 ∠1 =∠2，∠3 =∠4.
又 AC = CA
因此 △ABC≌△CDA (角边角).
从而 AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.
又∠1 +∠4 =∠2+∠3，因此∠BAD =∠DCB.
A
B
C
D
1
4
3
2
【证一证】已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC.
思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
∴ ∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
B
C
D
知识要点
动手做一做:如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD 和 BC 的长度相等.
理由如下：由题意知
AB//CD，AD//BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AD = BC.
例2 如图，在 ABCD中.
(1) 若∠A = 32°，求其余三个角的度数.
A
B
C
D
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
解：
且 ∠A = 32°(已知)，
∴∠A =∠C = 32°，∠B =∠D (平行四边形的对角相等).
又∵AD∥BC (平行四边形的对边平行)，
∴ ∠A +∠B = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
∴ ∠B = ∠D = 180°- ∠A = 180°- 32°=148°.
典例精析
(2) 连接 AC，已知 ABCD的周长等于 20 cm，
AC = 7 cm，求△ABC 的周长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形(已知)，
∴AB = CD，BC = AD (平行四边形的对边相等).
又∵AB + BC + CD + AD = 20 cm (已知)，
∴AB + BC = 10 (cm).
∵AC = 7 (cm)，
∴ △ABC的周长为 AB + BC + AC = 17 (cm).
A
B
C
D
【变式题】
(1) 在□ABCD中，∠A :∠B = 2 : 3，求各角的度数.
解：∵∠A，∠B 是平行四边形的两个邻角，
∴∠A+∠B = 180°.
又∵∠A:∠B = 2:3，
设∠A = 2x，∠B = 3x，
∴2x + 3x = 180°，
解得 x = 36°.
∴ ∠A = ∠C = 72°， ∠B = ∠D = 108°.
平行四边形的邻角互补
(2)若□ABCD的周长为 28 cm，AB:BC=3:4，求各边的长度.
解：在平行四边形 ABCD 中，
∵AB = CD，BC = AD，
又∵ AB + BC + CD + AD = 28 cm，
∴ AB + BC = 14 cm.
∵ AB : BC = 3 : 4，设 AB = 3y cm，BC = 4y cm，
∴ 3y + 4y = 14，解得 y = 2.
∴ AB = CD = 6 cm，BC = AD = 8 cm.
归纳:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.
例3 如图，四边形 ABCD 和 BCEF 均为平行四边形，
BF 与 CD 相较于点 G，AD = 2 cm，∠A = 65°，
∠E = 33°，求 EF 和∠BGC.
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD = BC = 2，∠1 =∠A = 65°.
因为 四边形 BCEF 是平行四边形，
所以 EF = BC = 2，∠2 =∠E = 33°.
于是在△BGC 中，
∠BGC = 180°－∠1－∠2 = 82°.
2
1
1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AB ＝ 5 cm，AD ＝ 9 cm，则 EC ＝ cm.
C
4
A
B
D
E
练一练
平行线间的距离
3
例4 如图，直线 l1 与 l2 平行，AB，CD 是 l1 与 l2 之间的任意两条平行线段. 试问：AB 与 CD 是否相等？为什么？
因此 AB = CD.
解 因为 l1∥l2，AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形.
l1
l2
D
A
B
C
a
b
c
d
D
A
B
C
问题2：如图，直线 a∥b，D，C 为直线 a 上任意两点，点 D 到直线 b 的距离和点 C 到直线 b 的距离相等吗？
F
E
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
从上结论可知，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
2. 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若 AB = 4 cm，S△ABC = 12 cm2，求 △ABD 中 AB 边上的高．
解：S△ABC = AB BC，
= ×4 ×BC = 12 cm2，
∴ BC = 6 cm.
∵AB∥CD，
∴点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度.
∴△ABD 中 AB 边上的高为 6 cm．
练一练
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两条平行线间的平行线段相等
两条平行线间的距离
两组对角分别相等，邻角互补
1. 如图，在 □ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，
若∠A = 135°，则∠MCD 的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
A
A
B
C
M
D
2. 判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1) 平行四边形两组对边分别平行且相等. ( )
(2) 平行四边形的四个内角都相等. ( )
(3) 平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. ( )
(4) 如果平行四边形相邻两边长分别是 2 cm和
3 cm，那么周长是10 cm. ( )
(5) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 42°，
那么 ∠B = 48°. ( )
(6) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 35°，
那么 ∠C = 145°. ( )
√
√
√
×
×
×
4. 如图，直线AE∥BD，点C 在BD上，若 AE = 5，
BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .
A
B
C
D
E
10
3. 如图，D， E，F 分别在 △ABC 的边 AB，BC，AC上，且 DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中有___个平行
四边形.
第3题图
第4题图
3
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD = BC.
∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.
又∵DE，BF 分别平分 ∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.
∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.
∴AE = AD， CF = BC.
∴AE = CF.
5. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求证：AE = CF.
A
B
D
C
E
F
6. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？
解：∵AE∥BC，AB∥CF，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴∠D = ∠B = 60°，
AD = BC = 80 cm.
∴ ED = AD - AE = 20 cm.
答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°.
B
D
C
E
F
A
M
证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形，
　 ∴BM = EF，AB//EF.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
∵AB//EF，
∴ ∠BAD = ∠AEF.
∴∠CAD = ∠AEF.
∴ AF = EF.
∴ AF = BM.
7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 M，E，F分别是 AB，AD，AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM.

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