资源简介

(共24张PPT)
1.2.2 平行四边形的判定
第1章 四边形
第1课时 平行四边形的判定定理1,2
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会
类比思想及探究图形判定的一般思路；（重点）
2.掌握平行四边形的判定定理 1 和 2，能根据不同条件
灵活选取适当的判定定理进行推理论证.（难点）
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了
那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？
问题：我们知道，两组对边分别平行的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想 1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想 2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
1
B
A
活动：如图，把线段 AB 沿箭头所示方向平移一定的距离后，得到线段 DC. 连接 AD，BC. 四边形ABCD 是平行四边形吗？
D
C
四边形 ABCD 是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
A
B
C
D
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应角相等
两组对边分别平行
四边形 ABCD 是平行四边形
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝CD，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证一证
A
B
C
D
证明：连接 AC.
又AB＝CD，AC＝CA，
因此△ABC≌△CDA (边角边).
从而∠3＝∠4，
于是 BC∥AD.
由平行四边形的定义得，四边形 ABCD 是平行四边形.
3
2
4
1
由于AB∥CD，
因此∠1＝∠2.
平行四边形的判定定理 1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
归纳总结
例1 如图，点 E，F 在 □ ABCD 的边 BC，AD 上， BE = BC， FD = AD，连接 BF，DE.
求证： 四边形 BEDF 是平行四边形.
证明：因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以 BE = FD.
又因为BE∥FD，
所以四边形 BEDF 是平行四边形.
A
B
D
C
E
F
所以 AD∥BC，且 AD＝BC.
因为 BE = BC，FD = AD，
典例精析
例2 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，AE＝DF，∠A＝∠D，
AB＝DC．求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝BD.
在 △ACE 和 △DBF 中，
AC＝DB ，∠A＝∠D， AE＝DF，
∴△ACE≌△DBF(边角边).
∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
【变式题】如图，点 C 是 AB 的中点，AD＝CE，
CD＝BE．（1）求证：△ACD ≌ △CBE；
（2）连接 DE，求证：四边形 CBED 是平行四边形．
证明：（1）∵点 C 是 AB 的中点，∴AC＝BC.
在 △ADC 与 △CEB 中，
AD＝CE ，CD＝BE ， AC＝BC ，
∴△ADC≌△CEB（边边边）.
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD＝∠CBE. ∴CD∥BE.
又∵CD＝BE，∴四边形 CBED 是平行四边形．
1. 已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法是 （　　）
A．AB∥CD，AB＝CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC＝AD
D．AB＝CD，BC＝AD
C
练一练
猜想 观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起，任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗
点击视频
开始播放
→
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2
【证一证】已知：四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
因为 AB＝CD，BC＝DA，
AC＝CA，
所以△ABC≌△CDA(边边边).
从而∠1＝∠ 2，
于是 AD∥BC.
根据平行四边形的判定1得，
四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC.
2
1
平行四边形的判定定理 2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
归纳总结
证明 因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以∠A = ∠C，AB = CD.
因为 BF = DH，所以 AF = CH.
又 AE = CG，
因此△AFE≌△CHG(边角边)，
从而 EF = GH.
同理，FG = HE.
所以四边形 EFGH 是平行四边形.
例3 如图，E，F，G，H 分别是□ABCD 的边 AD，AB，BC，CD 上的点，且 AE = CG，BF＝DH.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
例4 如图，在 △ABC 中，分别以 AB，AC，BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ABD、等边 △ACE、等边 △BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠FBA＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(边角边).
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD.
∴四边形 DAEF 是平行四边形．
2. 如图， AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中，
∵AC = CA，AB = CD，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(斜边、直角边).
∴BC = DA.
又∵AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
练一练
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
3. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：
四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定
判定定理1
判定定理2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
1. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
2.已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件 .
AD = BC 或 AB∥CD
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
3. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形
ABCD 的边 AD，BC 的中点.
求证：BE = DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC.
∴ED = BF，即 ED BF.
∥
=
∴四边形 EBFD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴BE = DF (平行四边形的对边分别相等).
证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC，
又∵BF = DH，
∴AH = CF.
又∵AE = CG，
∴△AEH≌△CGF（边角边）.
∴EH = GF.
同理得△BEF≌△DGH（边角边）.∴GH = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
4. 如图，已知 E，F，G，H 分别是 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．

展开更多......

收起↑