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1.2.1 平行四边形的性质
第1章 四边形
第2课时 平行四边形的对角线的性质
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透
转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.（难点）
视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么
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平行四边形的对角线的性质
我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
猜一猜
OA = OC，OB = OD.
怎样证明这个猜想呢？
A
B
C
D
O
1
已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD = BC.
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴ △AOD≌△COB(角边角).
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
知识要点
例1 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长.
解 因为 AC，BD为平行四边形 ABCD 的对角线，
又因为 CD = 4.8，
于是， △COD 的周长为
3 + 5 + 4.8 = 12.8.
典例精析
A
C
D
B
O
所以
例2 已知 ABCD 的周长为 60 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，△AOB 的周长比 △DOA 的周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB ＝ OD，AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5 cm，
∴ AB－AD ＝ 5 cm.
又∵ ABCD 的周长为 60 cm，∴ AB＋AD＝30 cm，
则 AB ＝ CD ＝ 17.5 cm，AD ＝ BC ＝ 12.5 cm.
归纳：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
例3 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 MN 分别交 AD，BC 于点M，N.
求证：点 O 是线段 MN 的中点.
证明 因为 AC，BD为□ABCD 的对角线，且相交于点 O，所以 OA = OC .
因为 AD∥BC，所以 ∠MAO =∠NCO.
又∠AOM =∠CON，
所以 △AOM≌△CON (角边角).
于是 OM = ON.
所以点 O 是线段 MN 的中点.
A
B
C
D
N
M
O
思考 改变直线 MN 的位置，OM = ON 还成立吗
A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
N
请判断下列图中，OM = ON 还成立么？
同例 3 易证明 OM= ON 还成立.
归纳: 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
议一议
1. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若 AD = 16，AC = 24，BD = 12，则△OBC 的周长为 (　)
A. 26 B. 34 C. 40 D. 52
B
2. 如图，在 ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，则对角线 AC，BD 的长度的和是 (　)
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
B
第1题图
第2题图
练一练
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
根据勾股定理得
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∴△ABC 是直角三角形.
又∵OA = OC，
例4 如图，在　ABCD 中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及　ABCD的面积．
∵AC ⊥ BC，
平行四边形的面积
2
解：设 AB = x，则 BC = 24 - x.
根据平行四边形的面积公式可得
5x = 10 ( 24 - x )，
解得 x = 16．
则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80．
例5 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于 点F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积.
归纳: 已知平行四边形的高 DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO 与△ODC 等底同高，
∴S△ADO＝S△ODC.
同理可得 S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB.
还可结合全等来证哟.
总结：平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等.
∵AD∥BC，
M
N
A
B
C
D
O
F
E
例6 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线 EF分别交 AD，BC 于点 N，M.
又∵AO＝CO，
∴△NAO≌△MCO.
∴S四边形ANMB＝S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
＝S△AOB+S△COB＝ .
同理可得S四边形CMND＝ .
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
∴∠NAO＝∠MCO，∠ANO＝∠CMO.
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
同例5 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
1. 如图，把一个平行四边形分成 3 个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是 9 cm2 和 12 cm2，求平行四边形的面积．
解：(9 + 12)×2
= 21×2
= 42 (cm2)
答：平行四边形的面积是 42 cm2．
练一练
2. 如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
B
M
C
D
A
●
O
解：如图所示．
1. 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
且 AC + BD = 16，CD = 6，则△ABO 的周长是( )
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( 　 )
A．∠ABO = ∠CDO B．∠BAD = ∠BCD
C．AO = CO D．AC⊥BD
D
B
C
D
A
O
第 1 题图
第 2 题图
3. 如图，在□ABCD中，AC = 24，BD = 38，AB = m，则 m 的取值范围是 ( )
A. 24＜m＜39 B. 14＜m＜62
C. 7＜m＜31 D. 7＜m＜12
B
C
D
A
O
C
4. 如图， ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O，EF 过点 O 与 AD，BC 分别相交于点E，F，若 AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，则四边形 EFCD 的周长为（　　）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
A
D
C
B
F
E
O
C
5. 如图，平行四边形 ABCD 的面积为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 AE = DF，则图中阴影部分的面积为_______．
5
6. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，则 BD 的长是 .
A
B
C
D
O
7. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且AB ≠ AD，过 O 作 OE⊥BD，交 BC 于点 E. 若△CDE 的周长为 10，则平行四边形 ABCD 的周长是多少？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，BC = AD，OB = OD.
∵ OE⊥BD，
∴ BE = DE.
∵△CDE 的周长为 10，
∴ DE + CE + CD = BE + CE + CD = BC + CD = 10，
∴平行四边形 ABCD 的周长为 2×(BC+CD) = 20．
8. 如图，已知 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，AC = 24，BD = 18，AB = 16，求△OCD 的周长及 AD 边的取值范围．
解：由题意得 OA ＝ OC ＝ 12，
OB ＝ OD ＝ 9，CD = AB = 16，
∴△OCD 的周长为 12 + 9 + 16 = 37.
在△ACD 中，24 - 16＜AD＜24 + 16，∴8＜AD＜40；
在△ABD 中，18 - 16＜AD＜18 + 16，∴2＜AD＜34；
在△AOD 中，12 - 9＜AD＜12 + 9，∴3＜AD＜21．
综上所述，AD 的取值范围应是 8＜AD＜21．
与三角形三边关系结合
能力提升：
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分，且与对角线围成的三角形相对的两个全等

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