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1.2.2 平行四边形的判定
第1章 四边形
第2课时 平行四边形的判定定理3
学习目标
1.利用对角线互相平分判定平行四边形；（重点）
2.平行四边形对角线互相平分的相关运用；（难点）
3.利用两组对角相等判定平行四边形.（重点）
问题1 除了两组对边分别平行或相等外，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的两组对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
角：
对角线：
思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧.
问题2 上面的两条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图，将两根细木条 AC，BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形
猜想：四边形 ABCD 一直是一个平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
1
根据平行四边形的判定定理1 得，
四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
已知：在四边形ABCD中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD，
又因为∠AOB = ∠COD ，
所以△OAB≌△OCD(边角边) ，
从而 AB = CD，∠OAB =∠OCD.
∴ AB∥CD.
证一证
平行四边形的判定定理 3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
归纳总结
典例精析
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且 OE = OF.
求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明 因为 四边形 ABCD 为平行四边形，
于是 OA = OC.
又因为 OE = OF，
所以四边形 AECF 是平行四边形.
解：四边形 BMDN 是平行四边形．
理由：连接 BD 交 AC 于 点O．
∵ BM⊥AC 于点M，DN⊥AC于点N，
∴∠AND = ∠CMB = 90°．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OB = OD，AO = CO，
AD = BC，AD∥BC，∴∠DAN = ∠BCM.
∴△ADN≌△CBM. ∴ AN = CM. ∴OA -AN = OC-CM，
即 ON = OM. ∴四边形 BMDN 是平行四边形．
O
【变式题】如图，AC 是平行四边形 ABCD 的一条对角线，BM⊥AC 于点M，DN⊥AC 于点N，四边形 BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由．
1.根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O.
如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm，
那么当 AO =____cm，BO =___cm 时，
四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
C
4
5
练一练
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
观看下面视频，对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么
平行四边形
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→
2
例2 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C， ∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明 因为∠A =∠C，∠B =∠D，
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
所以 ∠A +∠B = = 180°.
所以 AD∥BC，
同理，AB∥DC.
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
D
C
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
归纳总结
例3 如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B ＝ 55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1) 求 ∠D 的度数；
(2) 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
(1) 解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°.
(2) 证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝ 55°，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
1. 判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
2. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：
∠A∶∠B ∶∠C∶∠D 的值为 (　　)
A. 1∶2∶3∶4
B. 1∶4∶2∶3
C. 1∶2∶2∶1
D. 3∶2∶3∶2
D
练一练
(1) 两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？ 如果是，说明理由；
如果不是，试举出反例.
不一定是平行四边形.
(2) 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？如果是，说明理由；如果不是，试举出反例.
不一定是平行四边形.
议一议
【阅读思考】
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7 cm
4 cm
3 cm
3 cm
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 两组边相等的四边形也不一定是平行四边形.
3 cm
4 cm
4 cm
7 cm
想一想：判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)
1. 判断对错:
(1) 有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2) 有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( )
(3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4) 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( )
(5) 有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
√
×
×
×
√
2. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是(　　)
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
3. 如图，五边形 ABCDE 是正五边形，连接 BD，CE，交于点 P． 求证：四边形 ABPE 是平行四边形．
证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB = BC = CD = DE = AE.
∴∠DEC = ∠DCE = ×(180°-108°) = 36°.
同理∠CBD =∠CDB = 36°.
∴∠ABP =∠AEP = 108° - 36°= 72°.
∴∠BPE = 360° - 108° - 72° - 72° = 108° = ∠A.
∴四边形 ABPE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
4. 如图，AB，CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E，F 分别是 OC，OD 的中点．求证：
(1) △AOC≌△BOD；
(2) 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(角角边).
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴四边形 AFBE 是平行四边形．
5. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∴DE = AF.
又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.
∴DF = CF.
∴DE + DF = AF + FC = AC = 10．
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD = 12 cm，BC = 15 cm，点 P 自点 A 向 D 以 1 cm/s 的速度运动，到 D 点即停止．点 Q 自点 C 向 B 以 2 cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t(s).
(1) 用含 t 的代数式表示：
AP = cm； DP = cm；
BQ = cm；CQ =____cm；
t
(12 - t)
(15 - 2t)
2t
能力提升：
（2）当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形？
解：根据题意有 AP = t cm，CQ = 2t cm，
PD = (12 - t) cm，BQ = (15 - 2t) cm．
∵AD∥BC，
∴当 AP = BQ 时，四边形 APQB 是平行四边形．
∴ t = 15 - 2t，
解得 t = 5．
∴ t = 5 s 时四边形 APQB 是平行四边形．
解：∵AP = t cm，CQ = 2t cm，
AD = 12 cm，
∴PD = AD -AP = (12 - t) cm.
∵AD∥BC，
∴当 PD = QC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形，
即 12 - t = 2t，解得 t = 4，
∴当 t = 4 s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形．
（3）当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形？
平行四边形的判定方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
从角考虑
从对角线考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)

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