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(共29张PPT)
1.4 三角形的中位线
第1章 四边形
1.理解中位线的概念和性质；（重点）
2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点)
学习目标
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个同学，要求两人所分的大小相同，请
设计合理的解决方案；若平均分给四
个同学，要求他们所分的大小都相
同，请设计合理的解决方案.
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个同学，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
三角形的中位线及其性质
问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
问题2：连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形？
四个全等的三角形
1
D
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
A
B
C
E
两层含义:
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D，E 分别为 AB，AC 的 .
① 如果 D，E 分别为 AB，AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ；
中位线
中点
知识要点
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
有三条.
如图，△ABC 的中位线是 DE，DF，EF.
·
·
·
F
问题2 三角形的中位线与中线一样吗？
A
B
C
D
E
·
·
A
B
C
D
·
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
中位线
中线
都是与中点有关的线段.
相同点：
不同点：
探究：如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 以点 E 为中心，顺时针旋转 180°，使点 A 和点 C 重合，得到△CFE. 四边形 DBCF 是平行四边形吗？此时DE 与 BC 具有怎样的位置关系和数量关系？
E
A
B
C
D
F
猜一猜：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
DE 和边 BC 的关系
数量关系：
位置关系：
平行
DE 是 BC 的一半
能说出理由吗
E
A
B
C
D
F
请同学们测量：
(1) ∠ADE， ∠ABC 度数；
(2) DE，BC 长度.
测量法
已知：如图，在△ABC 中，DE 是 △ABC 的中位线. 求证：
DE∥BC，
DE = BC.
E
A
B
C
D
F
证明：如图，DE 是 △ABC 的中位线.
延长 DE 至 F，使 EF = DE. 连接 CF.
因为 AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = EF，
所以 △ADE≌△CFE.
于是AD = CF，∠A = ∠ECF.
从而 AB∥FC.
证明法
E
A
B
C
D
F
所以 DE∥BC，
又 BD = AD = CF，
因此四边形 DBCF 是平行四边形.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
D
A
B
C
E
∵DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE∥BC，
归纳总结
【定理的理解】
(1) 从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2) 从结论看，它既可以得到线段的位置关系(平行)，又可以得到线段的数量关系(倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
1. 如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC = 61°，则∠AMN = °，若 MN = 12 ，则 BC = .
A
M
B
C
N
61
24
A
D
B
C
E
2. 如右图，△ABC 中，D ，E 分别为 AB，AC 的中点，当 BC = 10 cm时，则 DE = cm.
5
练一练
A
B
C
E
F
D
1. 图中有几个全等三角形，你是怎
么知道的？你能证明吗？
2. 图中有几个平行四边形？你能证明吗？
深入探究
3. 如图，已知△ABC 中，AB = 3 cm，BC = 3.4 cm，AC = 4 cm 且 D，E，F 分别为 AC，AB，BC 边的中点，则△DEF 的周长是 cm.
A
B
C
D
E
F
5.2
练一练
4. 如下图：在Rt△ABC 中，∠A = 90°，D，E，F 分别是各边中点，AB = 6 cm，AC = 8 cm，则△DEF 的周长 =______cm ．
12
E
F
B
A
C
D
例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中， E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：连接 AC.
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴EF∥AC，
HG∥AC，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
不变化
你觉得四边形 EFGH 的形状和什么有关？
变式：若平行四边形 ABCD 变成任意的四边形，其他条件不变，则四边形 EFGH 的形状会变化吗？为什么？
议一议
在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半的线段是三角形的中位线吗？与同学交流你的理由.
E
A
B
C
D
F
如图，已知DE 平行于 BC 且等于 .
求证：△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 两边中点.
∵DF∥BC，∴四边形 BCFD 是平行四边形.
∴BD∥CF，BD＝CF.
∴∠ADE＝∠F.
又∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE(角边角).
∴AD＝CF，AE＝CE.
∴AD＝BD.
∴D，E 分别是 AB，AC 两边中点.
E
A
B
C
D
F
∵
解：延长 DE 到点 F，使 DE＝EF，连 CF.
∴ DF＝BC.
1. 如图，EF 是△ABC 的中位线，BC = 20，则 EF =________；
10
2. 在△ABC 中，中线 CE，BF 相交于点 O，M，N 分别是 OB，OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_______________.
平行且相等
3. A，B 两村相隔一座大山，你能想办法测出 A，B 两村的直线距离 AB 的大小吗？若 MN = 360 m，则 AB = m.
A
B
C
测出 MN 的长，就可知 A，B 两点的距离.
M
N
解析：在 AB 外选一点 C，使 C
能直接到达 A 和 B，
连接 AC 和 BC，并分别找出 AC
和BC 的中点 M，N.
720
如果，M，N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
两次利用中位线，分别取 CM 和 CN 的中点.
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， D 是斜边 AB 的中点，E 是 BC 的中点.
（2）若 AB = 10，DE = 4， 求△ABC 的面积.
（1）DE⊥BC 吗？为什么？
A
B
C
D
E
∴DE∥BC.
解：∵DE = 4，∴AC = 8.
∵AB = 10，AC = 8，∴BC = 6.
解：∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，
∵∠C = 90°，∴∠DEC = 90°. ∴DE⊥BC.
三角形中位线
定 义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线微课
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