资源简介

(共30张PPT)
1.6 菱形
第1章 四边形
1.6.1 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
（难点）
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧.
点击视频
开始播放→
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
有一个角是直角
菱形的性质
1
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
点击视频
开始播放
→
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量
上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中
的图形(如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，
指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD =AD；
(2) AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB = AD，
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，
AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2)∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
在等腰△ABD 中，
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC = ∠BAC.
同理可证∠DCA = ∠BCA，
∠ADB = ∠CDB，∠ABD = ∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：互相平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
例1 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
证明：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE .
例2 如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 点O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB.
A
B
C
D
O
E
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则
△ABD 的周长是 (　　)
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
C
2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC，BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
第1题图
第2题图
6 cm
练一练
思考：菱形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于菱形是平行四边形，因此
O
填空:把图中的菱形ABCD作关于直线DB的轴对称，则
(1) 点 A 的像是______， 点 C 的像是_____，
点 D 的像是_____，点 B 的像是_____，
(2) 边 AD 的像是 ，边 CD 的像是 ，
边 AB 的像边是 ，边 CB 的像是 .
点 C
点 A
边 CD
点 B
点 D
边 AD
边 CB
边 AB
想一想：你能得到什么结论？
菱形是轴对称图形，两条对角
线所在直线都是它的对称轴.
菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高
= BC·AE.
E
2
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm， 3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长.
因此，菱形 ABCD 的周长为 2.5×4＝10 (cm).
典例精析
解：菱形 ABCD 的面积
在 Rt△ABO 中，
由勾股定理得
例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30.
∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120.
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴13h＝120，得 h＝ .
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
归纳总结
3.如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
练一练
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则 △ABD的周长等于 （　　）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
3. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长
是 ______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝
_______.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是_______.
3 cm
30°
A
B
C
O
D
5 cm
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为_ _____.
44 cm
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线长的比为 1∶2 ， 那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8 cm
A
B
C
O
D
4.如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对
角线 BD 的长 为10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2)菱形ABCD的面积
∴AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E． 求证：∠AFD = ∠CBE．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CB = CD， CA 平分∠BCD．
∴∠BCE = ∠DCE．
又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE（边角边）．
∴∠CBE = ∠CDE．
∵在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD = ∠EDC.
∴∠AFD = ∠CBE．
A
D
C
B
F
E
6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E.
(1) 求 OC 的长；
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
在 Rt△OCD 中，
由勾股定理得 OC＝4 cm.
解：(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形 OBEC 为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形 OBEC 为矩形.
∵OB＝OD＝3 cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm2)．
6.如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E.
(2)求四边形 OBEC 的面积．
菱形的性质
菱形的性质
有关
计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线
乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
是中心对称图形和轴对称图形
对称性

展开更多......

收起↑