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1.1 多边形
第1章 四边形
第2课时 多边形的外角与外角和
1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.运用多边形的外角和解决问题.（重点）
学习目标
小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
【知识要点】多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
多边形的外角和
1
如图，∠EDF 是五边形 ABCDE 的一个外角.
思考：我们已经知道三角形的外角和为 360°，那么四边形的外角和为多少度呢？
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
A
B
C
D
1
2
3
4
问题2：四个外角加上它们分别相邻的四个内角和是多少？
4×180° = 720°
问题3：这四个平角和与四边形的内角和、外角和有什么关系？
如图，分别在四边形 ABCD 的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180° - 360° = 360°.
因为∠1 +∠DAB = 180°，
∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°，
因此四边形的外角和为 360°.
A
B
C
D
1
2
3
4
又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°，
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
= 360°
= 5个平角和
－五边形内角和
= 5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
思考：五边形的外角和是多少呢？
n 边形外角和
n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2) × 180°
= 360°
= n 个平角和－ n 边形内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n 边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
想一想：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：(1) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这
是正____边形.
(2) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是正____边形.
六
八
例1 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，它是几边形？
解：设多边形的边数为 n，
则它的内角和等于 (n - 2)·180°.
由题意得 (n - 2)·180° = 360°×5，
解得 n = 12.
因此，这个多边形是十二边形.
典例精析
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都
是 7∶2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为 7x°,外角为 2x°,
根据题意得
7x + 2x = 180，
解得 x = 20.
即每个内角是 140°，每个外角是 40°.
360°÷40° = 9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
解得 n = 9.
答：这个多边形是九边形.
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是三条．
例3 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数．
解：由题意得
AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°，
所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°.
四边形的不稳定性
2
观察：用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，可以得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？
可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性.
想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用， 你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗 有哪些是需要克服四边形不稳定性的例子呢
在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图 (a)，(b) 中的电动伸缩门.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图 (c) 中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，使之稳定.
(a)
(b)
(c)
多边形的外角与外角和
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关.
四边形
具有不稳定性
外角的定义
1. 判断．
(1) 当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2) 当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3) 三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2. 一个正多边形的内角 135°，则这个正多边形的边数为______．
8
3. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是________米．
150
4.一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形
的边数.
解： 设多边形的边数为 n.
∵它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于 360°，
∴ (n－2) 180° = 5×360°.
解得 n = 12.
∴这个多边形的边数为 12.
5.举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.
答：有种衣架是根据平行四边形的不稳定性，用同样长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都有一个挂钩，不仅美观，而且实用，如下图：
液晶电视的双臂旋转伸缩可悬挂支架也用到了四边形
的不稳定性，调节幅度大，可上下左右及前后多方向
调节满足客户观看需要，如上图：
能力提升： 一个多边形所有内角与一个外角的和
是 2380°，则这个多边形的边数为___.
15
解析：设这个多边形的边数为 n ( n 为正整数)，则这个
多边形的内角和为 (n - 2)×180°，
由题意可得，2380 - 180＜(n - 2)×180＜2380，
解得：14.22＜n＜15.22
因为 n 为正整数，所以 n = 15，
即这个多边形的边数为 15.

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