资源简介

(共30张PPT)
1.1 多边形
第1章 四边形
第1课时 多边形的内角
1.了解并掌握多边形及有关概念；
2.对角线条数与多边形的边数的关系；（重点）
3.理解正多边形及其有关概念；（重点）
4.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）
学习目标
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
我们可以发现，这些多边形都在一个平面内，且均由几条 (不少于三条) 线段首尾顺次相接而成.
问题1：从这些由线段围成的图形里有什么特点？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
多边形的定义及相关概念
1
本书所介绍的多边形都是指凸多边形，
即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁.
思考：为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
(4) 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____.
(3) 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______.
(2) 相邻两条边的公共端点叫作多边形的_____.
问题2：根据图形，各组成部分的名称有哪些？
A
B
C
D
E
(1) 组成多边形的各条线段叫作多边形的____.
边
边
顶点
顶点
对角线
对角线
内角
角
内角
如: 线段AB
如: 点E
如: 线段BD
如: ∠A
(5) 多边形根据边数可以分为_______，_______，
______······
三角形
四边形
五边形
A
B
C
D
E
A
B
C
D
A
B
C
表示: 三角形ABC
四边形ABCD
五边形ABCDE
(6) 定义：像正方形这样，各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
注意
例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，∴新多边形的边数有 7，5，6 三种情况，
如图所示.
总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
典例精析
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形的内角和是多少度？
三角形内角和是 180°.
都是 360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
多边形的内角和
2
猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°.
问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
方法1：如图，连接 AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×2 = 360°.
A
B
C
D
猜想与证明
方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
A
B
C
D
E
结论： 四边形的内角和为360°.
总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解
180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED)
= 180°×3 - 180°
= 360°.
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法
求五边形和六边形内角和吗
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
内角和为 180°×3 = 540°.
内角和为 180°×4 = 720°.
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出的三角形个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
( n -2 )·180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
···
···
由特殊到一般
证一证
如图，n 边形 A1A2···An 有 n 个顶点 A1，A2，A3，···，An. 由于与任一顶点 (如点 A1 ) 不相邻的顶点均有 (n－3) 个，
于是 n 边形 A1A2···An 被分成了 (n－2) 个三角形，
A1
A2
A3
A4
A5
An
因而从某一顶点出发有 (n－3) 条对角线，
因此， n 边形的内角和等于这 (n－2) 个三角形的内角和，即 (n－2)·180°.
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n≥3) 边形共有对角线 条.
归纳总结
n 边形的内角和等于 (n - 2) ×180°.
多边形的内角和公式：
想一想：还可以用其他方法求 n 边形的内角和吗？
如图，在 n 边 A1A2···An 内任取一点 O，连接 OA1，OA2，···，OAn，则 n 边形 A1A2···An 被分成了 n 个三角形.
因此，n 边形的内角和为 n×180°－360°＝(n－2)×180°.
O
360°
A1
A2
A3
A4
A5
An
A6
A7
由于 n 个三角形的内角和为n·180°，且这 n 个三角形有一个共同顶点 O，以 O 为顶点的内角构成了一个周角.
正多边 形边数 内角
3
4
5
6
8
n
60°
90°
120°
完成下面的表格：
108°
135°
练一练
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°.
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
因为
∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C )
= 360° - 180° = 180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC +∠ADC = 180°．
∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠CDF +∠EBF = 90°．
∵BE∥DF，∴∠EBF = ∠CFD，
∴∠CDF +∠CFD = 90°．
故△DCF 为直角三角形．
运用了整体思想
例3 (1) 十边形的内角和是多少度？
(2) 一个多边形的内角和等于 1 980°，它是几边形？
解：(1) 十边形的内角和是
(10－2)×180°＝1440°.
(2) 设这个多边形的边数为 n，则
(n－2)×180°＝1980°，
解得 n＝13.
所以这是一个十三边形.
例4 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
分析：根据五边形的内角和等
于 540°，由∠C，∠D，∠E
的度数可求出∠EAB +∠ABC
的度数，再根据角平分线的定
义可得∠PAB 与∠PBA 的角度和，进而求得∠P 的度数．
可运用整体思想求解
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E = 540°，
∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，
∴∠EAB+∠ABC = 540°-100°-75°-135° = 230°.
∵AP 平分∠EAB，
∴∠PAB ＝ ∠EAB.
同理可得∠ABP ＝ ∠ABC.
∵∠P+∠PAB+∠PBA = 180°，
∴∠P = 180°-∠PAB-∠PBA
= 180° (∠EAB+∠ABC) = 180° ×230° = 65°．
多边形的内角
定义
前提条件是在一个平面内
正多
边形
定义既是判定也是性质
内角和计算公式
(n-2)×180°(n≥3)
1. 九边形的对角线有（ ）
A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
C
2. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
十三
3. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.
六
4. 一个多边形的内角和不可能是 ( )
A.1800° B.540° C.720° D.810°
D
5. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180 ＝ 10，
∴原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
∴新多边形的边数可能是 11，12，13.
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝ 五边形的内角和 ＝ 540°.
8
9

展开更多......

收起↑