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1.3 中心对称和中心对称图形
第1章 四边形
第1课时 中心对称及其性质
1.理解中心对称的定义.
2.探究中心对称的性质.(难点）
3.掌握中心对称的性质及其应用.（重点）
学习目标
从 A 旋转到 B，旋转中心
是什么？旋转角是多少？
O
A
B
C
D
从 A 旋转到 C 呢
从 A 旋转到 D 呢
中心对称的概念及性质
O
A
D
B
C
问题1 观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
旋转角为 180°
O
1
知识要点
在平面内，把一个图形 (Ⅰ) 绕一个点旋转180°，得到另一个图形 (Ⅱ) ，我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称，这个点称为对称中心.
在平面内，如果图形 (Ⅰ) 绕点 O 旋转180°，得到的像与另一个图形 (Ⅱ) 重合，那么称图形 (Ⅰ)的这种变换称为关于这个点中心对称，这个点称为对称中心.
例如，图中的△ABC 与△A'B'C' 关于点 O 成中心对称.
知识要点
(Ⅰ)
(Ⅱ)
A
B
C
A'
B'
C'
O
填一填：
如图，△OCD 与 △OAB 关于点 O 中心对称，则____是对称中心，点 A 与_____是对称点， 点 B 与____是对称点.
O
B
C
A
D
O
C
D
1. 中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是 180°.
2. 中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
归纳总结
问题2 如图，旋转三角尺，
画出 △ABC 关于
点 O 中心对称的
△A′B′C′ .
A′
C
A
B
B′
C′
O
●
探究：成中心对称的两个图形的对应点连线的中点是对称中心吗？
在平面内，设点 A关于点 O 成中心对称，则把点 A 绕点 O 逆时 针 (或顺时针) 旋转 180° 得到点 B，如图所示.
于是点 A，O，B 在一条直线上，且点 O 是线段 AB 的中点.
根据旋转的基本性质和概念可得，
OA＝OB，∠AOB＝180°.
一般地，在平面内，设图形 (Ⅰ) 与图形 (Ⅱ) 关于点 O 成中心对称，则图形 (Ⅰ) 绕点 O 旋转 180° 的像是图形 (Ⅱ) ，且图形 (Ⅰ) 上任一点 P 在该旋转下的对应点 P′ 都在图形 (Ⅱ) 上. 同时，点 P，O，P′ 在一条直线上，且点 O 是线段 PP′ 的中点.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
A
B
C
A'
B'
C'
O
(1) OA = OA′、OB = OB′、 OC = OC′
找一找:
下图中 △A′B′C′ 与 △ABC 关于点 O 是成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系
(2) △ABC≌△A′B′C′
A
B
C
O
C′
B′
A′
1. 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
2. 中心对称的两个图形是全等形.
中心对称的性质
归纳总结
考考你:如图，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 中心对称，找出它们的对称中心 O.
A
B
C
A′
B′
C′
解法1：根据观察，B，B′ 应是对应点，连接 BB′，用刻度尺找出 BB′ 的中点 O，则点 O 即为所求（如图）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
解法 2：根据观察，B，B′ 及 C，C′ 应是两组对应点，连接 BB′，CC′，BB′与CC′ 相交于点 O，则点 O 即为所求（如图）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
注意：如果限制只用直尺作图，我们用解法 2.
O
A
A'
第一步：连接 AO;
第二步：延长 AO 至 A'，使 OA' = OA;
例1 (1) 已知 A 点和 O 点，画出点 A 关于点 O 的对称 点 A'.
则 A' 是所求的点.
典例精析
(2)已知线段 AB 和 O 点，画出线段 AB 关于点 O 的对称线段 A'B' .
B'
A'
A
B
O
简记为：一连接；二延长；三截取等长；四连线.
(2) 由于 D 是线段 AC 的中点，因此在关于点 D 中心对称下，
点 A，C 的对应点分别是点 C，A；
(3) 连接 AB′，CB′，
例2 如图，已知△ABC ，边 AC 的中点为 D. 作出与△ABC 关于点 D 成中心对称的图形.
作法 (1) 连接 BD 并将其延长到 B′，使 DB′ = DB，于是点 B 关于点 D 中心对称下的对应点是点 B′.
则△CB′A 是所求作的与△ABC 关于点 D 成中心对称的图形.
A
C
B
B′
D
变式：如图，选择点 O 为对称中心,画出与△ABC 关于点 O 对称的△A′B′C′.
A′
C′
B′
△A′B′C′ 为所求作的三角形
B
A
C
O
例3 如图，已知四边形 ABCD 和点 O，试画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形 A'B'C'D'.
A
B
C
D
O
分析：要画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形，只要画出 A，B，C，D 四点关于点 O 的对称点，再顺次连接各对应点即可.
A
B
C
D
O
作法：
1.连接AO并延长到 A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
A'
B'
C'
D'
2. 同理，可作出点 B，C，D 的对应点 B'，C'，D'；
3.顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D' 即为所作.
例4 如图，已知△AOB 与△DOC 成中心对称，△AOB 的面积是 12，AB ＝ 3，则△DOC 中 CD 边上的高为________.
解析：设 AB 边上的高为 h，因为△AOB 的面积是 12，AB＝3，易得 h＝8. 又因为△AOB 与△DOC 成中心对称，△DOC≌△AOB，所以△DOC 中 CD 边上的高是 8.
8
轴 对 称
中心对称
1
有一条对称轴
——
直线
有一个对称中心
——
点
2
图形沿轴对折(翻转
180°
)
图形绕中心旋转
180°
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
1
A
B
C
C
1
A
B
1
O
拓展提升
中心对称与轴对称的异同
1. 判断正误：
(1) 轴对称的两个图形一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（ ）
(2) 成中心对称的两个图形一定是全等的.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ）
(3) 全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ）
√
√
×
2. 如下所示的 4 组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有 （ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
C
3. 如图，已知△AOB 与△DOC 成中心对称，
△AOB 的面积是 6，AB＝3，则△DOC 中 CD
边上的高是（　　）
A. 2　　　 B. 4　　　　　　
C. 6　　 D. 8　　
A
B
C
D
O
B
A′
B′
C′
O
A
B
C
4. 如图，已知等边三角形 ABC 和点 O，画△A′B′C′，使△A′B′C′ 和△ABC 关于点 O 成中心对称.
中心对称
概念
在平面内，把一个图形上的每一个点 P 对应到它在绕点 O 旋转 180° 下的像 ，这个变换称为关于点 O 中心对称.
性质
作图
应用1：作中心对称图形；
应用2：找出对称中心.
1. 对称中心与两对称点三点共线；
2. 成中心对称的两个图形是全等形.

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