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1.5 矩形
第1章 四边形
1.5.1 矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与
联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点）
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
矩形
矩形的性质
活动 1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
1
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
也称为长方形.
平行四边形不一定是矩形.
归纳总结
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动 2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明：根据矩形的定义可知，四边形 ABCD 是平行四边形，
于是 AD∥BC，且 AB∥DC.
因此∠B = ∠D = 180°－∠A = 90°，
∠C =∠A = 90°.
如图，四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°.
求证：∠A = ∠B =∠C = ∠D = 90°.
证一证
A
B
C
D
由此得到矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角.
证明：如图，四边形 ABCD 是矩形，于是 AB = DC，
根据矩形性质定理1得，
∠ABC = ∠DCB = 90°.
又 BC = CB，
所以△ABC≌△DCB.
从而 AC = DB.
A
B
C
D
O
如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
由此得到矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O.
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
归纳总结
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 4 cm，∠AOB = 60°，求 BC 的长.
解：因为四边形 ABCD 是矩形.
所以 OA = OB = AC.
又∠AOB = 60°，
所以△OAB 是等边三角形.
于是 AB = OA = 2 cm.
因为∠ABC = 90°，
所以在Rt △ABC 中，
A
B
C
D
O
典例精析
例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE = AD，
DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED = ∠ADE.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE = ∠DEC.
∴∠DEC = ∠AED.
又∵DF⊥AE，
∴DF = DC.
例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在点 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2 ＝ BE2，
∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2， 解得 x＝5，即 DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考：矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此：
O
做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
练一练
2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于 点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点E，∠DAE∶
∠BAE＝3∶1，求 ∠BAE 和 ∠EAO 的度数．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝90°， AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
∴∠OAB＝∠ABE.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
A
C
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AO，AD 的中点，若
AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
A
B
C
D
O
E
F
4. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
(1) 求证：BD = BE；
(2) 若∠DBC = 30° ， BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD，AB∥CD.
又∵BE∥AC，
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
∴AC = BE.
∴BD = BE.
(2)解：∵在矩形 ABCD 中，BO = 4，
∴BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°，
∴CD= BD= ×8 = 4.
∴AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
在Rt△BCD 中，
BC =
∴四边形 ABED 的面积= ×(4 + 8)× = .
A
B
C
D
O
E
5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于 F，求 PE + PF 的值.
∴ PE + PF = .
∴ AO·PE + DO·PF = 12，
∴S△AOD = S△DOC = S△AOB = S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8 = 12.
能力提升：
解：连接 OP.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB = 90°，OA = OD = OC = OB.
在Rt△BAD 中，由勾股定理得 BD = 10，
∴AO = OD = 5，
∵S△APO + S△DPO = S△AOD.
即 5PE + 5PF = 24.
D
A
B
C
O
E
P
F
矩形的相关概念及性质
四个内角都是直角，对边相等
两条对角线互相平分且相等.
轴对称图形
有两条对称轴
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

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