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1.5 矩形
第1章 四边形
1.5.2 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握
矩形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
学习目标
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
有三个角是直角的四边形是矩形
类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
1
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：由于∠A＝∠B＝∠C＝90°，
所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°.
因此AD∥BC，AB∥CD.
从而四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠A＝90°，
A
B
C
D
证一证
由矩形的定义得，
四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理：
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 如图， □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB + ∠ABC = 180°.
∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线，
F
A
B
D
C
H
E
G
∴四边形 EFGH 是矩形．
同理可证∠AED = ∠EHG = 90°.
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°.
例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°.
证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°.
∴四边形 ADCE 为矩形．
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
练一练
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
2
证明：由于 OA = OC，OB = OD，
所以四边形 ABCD 是平行四边形，
从而 AB = DC，AB∥DC.
又 AC = BD，BC = CB，
所以△ABC≌△DCB (边边边)，从而∠ABC =∠DCB.
又由 AB∥DC 得，∠ABC +∠DCB = 180°，
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
于是 ∠ABC = ×180° = 90°.
因此，平行四边形 ABCD 是矩形.
O
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，
∵AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
知识要点
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
　 例3 如图，在 　ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC = AC，
OB=OD= BD.
又∵OA = OD，
∴AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
例3 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.
(1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？
　
A　
B　
C　
D　
O
解：(1)因为□ABCD 是矩形，
所以 AC 与 DB 相等且互相平分，
于是 OB = DB = AC = OC，
所以△OBC 是等腰三角形.
(2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？
解：(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC，
所以 AC = 2OC = 2OB = BD.
因此，□ABCD 是矩形.
　
A　
B　
C　
D　
O
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC＝BD (矩形的对角线相等)，
AO＝BO＝CO＝DO (矩形的对角线互相平分).
∵ AE＝BF＝CG＝DH，
∴ OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∵EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH，
∴四边形 EFGH 是矩形.
3. 如图 ， ABCD中， ∠1 = ∠2 中. 此时四边形 ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形 ABCD 是矩形.
理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，DO = BO.
又∵∠1 = ∠2，
∴ AO = BO.∴ AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
练一练
1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF，MN 于 A，C 两点，AB，CB，CD，AD 分别是∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ）
A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠ADC = 90°.
又∵△ABC 中，AB = 5，BC = 12，AC = 13，
满足 132 = 52 +122，即
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 OA 到 点N，使 ON ＝ OB，再延长 OC 至 点M，使 CM ＝ AN .求证：四边形 NDMB 为矩形．
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB.
∴四边形 NDMB 为平行四边形，MN＝BD.
∴平行四边形 NDMB 为矩形．
5. 如图，△ABC 中，AB ＝ AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE 是∠BAC 的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB ＝ ∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC.
∴AE∥CD. 又∵DE∥AB.
∴四边形 AEDB 是平行四边形.
∴AE 平行且等于 BD.
又∵BD ＝ DC，
∴AE 平行且等于 DC，
故四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠ADC ＝ 90°，
∴平行四边形 ADCE 是矩形．
6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动．点 P，Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1) 经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？
解：设经过 x s，四边形 PQCD 为平行四边形，
即 PD＝CQ，所以 24－x＝3x，
解得 x＝6.
即经过 6 s，四边形 PQCD 是平行四边形.
能力提升：
(2) 经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？
解：设经过 y s，四边形 PQBA 为矩形，
即 AP＝BQ.
∴ y＝26－3y，
解得 y＝6.5.
即经过 6.5 s，
四边形 PQBA 是矩形．
P
Q
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理

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