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1.6 菱形
第1章 四边形
1.6.2 菱形的判定
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
（难点）
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
AB = AD，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
四条边相等的四边形是菱形
1
如图，用 4 支长度相等的铅笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？
为什么
思考
尝试证明一下！
证明：如图，在四边形 ABCD 中，
AB = BC = CD = DA.
因为 AB= D C ， BC = AD.
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
又因为AB = BC，
由菱形的定义得，四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理 1：
四边形 ABCD
A
B
C
D
归纳总结
典例精析
例1 如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD 是菱形.
证明 因为线段 BD 垂直平分 AC，
所以 BA = BC，DA = DC，OA = OC.
在△AOB 和△COD 中，
因为∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA = OC，
所以△AOB≌△COD (角角边)，
从而 AB = CD，
因此 AB = BC = CD = DA.
于是四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
1
2
A
B
C
D
O
1. 下列命题中正确的是 （ ）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 三条边相等的四边形是菱形
C. 四条边相等的四边形是菱形
D. 四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明： ∵ ∠1 = ∠2，
AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (边角边).
同理△ACF≌△AEF(边角边) .
∴CD = ED， CF = EF.
又∵EF = ED，∴CD = ED = CF = EF，
∴四边形 CDEF 是菱形.
2
例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E，F 分别在 AB， AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接 AC，BD.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD.
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴EF = FG = GH = HE.
∴四边形 EFGH 是菱形.
例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
又∵AC=BD，
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形 EFGH 是菱形.
归纳：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接 AC，BD.
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC，BD.
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
四边形 EFGH 是矩形.
同学们自己去解答吧
探究：前面已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2
如图，在四边形ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O，BO≠OD，于是四边形 ABCD 不是平行四边形，
从而四边形 ABCD 不是菱形.
因此，两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
证明：如图，在□ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O，
则 OA = OC，
于是直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，
DA = DC
于是□ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
A
B
C
O
D
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理 2：
归纳总结
例3 如图，在□ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长.
所以 OA = AC = 3，OD = BD = 4.
A
B
C
D
O
解 ：因为四边形 ABCD 为平行四边形，
又因为 AD = 5，满足AD = OA + OD ，
所以△DAO 是直角三角形，∠DOA = 90°，
即 DB⊥AC.
于是□ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
因此 AB = AD = 5.
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边
AD，BC 分别交于点E，F，求证：四边形 AFCE 是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AE∥FC，∴∠1 = ∠2.
∵EF 垂直平分 AC，
∴AO = OC .
又∵∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO.
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
2. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
练一练
例5 如图，在△ABC中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
(1) 证明：∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC 且 2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC.
∴四边形 BCFE 是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形 BCFE 是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
3
(2) 解：∵∠BCF＝120°，
∴∠ECB＝60°.
∴△EBC 是等边三角形.
∴菱形的边长为 4，高为 .
∴菱形的面积为 .
(2) 若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求平行四边形 ABCD 的周长.
解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠BAC = ∠ACD.
∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC = ∠BAC.
∴∠DAC = ∠ACD.
∴AD = DC.
∴四边形 ABCD 为菱形.
∴四边形 ABCD 的周长 = 4×2 = 8．
练一练
2. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别
为 24 cm 和 10 cm，则平行四边形的面积是 .
120 cm2
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：∵将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，
∴AC∥DE，AC = DE.
∴四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，
平行四边形 ACED 是菱形．
故选 B．
A
B
C
D
O
E
4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，
CE∥BD.求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OC = OD.
∴四边形 OCED 是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线，
∴AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵CE∥AB，∴∠DAO = ∠ECO.
∴△ADO≌△CEO(角边角)．
∴AD = CE.
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°，
∴四边形 ADCE 是菱形．
5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交AC于点 O，CE∥AB交 MN 于点 E，连接AE，CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.
（1）证明：由尺规作 ∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE = ∠FAE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE = ∠AEB.
∴∠BAE = ∠AEB. ∴AB = BE.
∴BE = FA. ∴四边形 ABEF 为平行四边形.
∵AB = AF，
∴四边形 ABEF 为菱形.
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，
求 AE 的长．
解：∵四边形 ABEF 为菱形，
∴AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO.
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4.
∴AE = 2AO = 8．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理

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