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(共33张PPT)
1.7 正方形
第1章 四边形
学习目标
1．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
3．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证
和计算 . (难点)
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形的性质
正方形
1
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么
发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
证明：∵四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义).
又∵正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形(矩形的定义)，
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC，BD相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形 ABCD 是矩形，
∴AO = BO = CO = DO.
∵正方形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
归纳总结
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
A
B
C
D
知识要点
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD
相交于点 O.
求证： △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
典例精析
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
B
D
练一练
证明 因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AD = CD，∠A =∠DCF = 90°.
因为 DF⊥DE，
所以∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°.
又因为∠2 +∠3 = 90°，所以∠1 = ∠2.
因此△AED≌△CFD(角边角)，
从而 DE = DF.
例2 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意
一点，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
求证：DE = DF.
1
2
3
例3 如图，在正方形 ABCD 中， △BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ △BEC 是等边三角形，
∴BE = CE = BC，∠EBC = ∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠DCB = 90°.
∴AB = BE = CE = CD，∠ABE=∠DCE=30°.
∴△ABE，△DCE是等腰三角形.
∴∠BAE = ∠BEA = ∠CDE = ∠CED = 75°.
∴∠EAD = ∠EDA = 90° - 75° = 15°.
【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形ABCD 的一边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当等边△ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，
∴∠AEB ＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°.
当等边△ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30°或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE 在正方形的外部或在正方形的内部．
【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足AP = AB，PB = PC，连接 AC，PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC = ∠DCB = 90°．
∵PB = PC，
∴∠PBC = ∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC = ∠DCB -∠PCB，
即∠ABP = ∠DCP．
又∵AB = DC，PB = PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC = ∠DAC = 45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP = DP．
又∵AP = AB = AD，
∴DP = AP = AD．
∴△APD 是等边三角形．
∴∠DAP = 60°．
∴∠PAC = ∠DAP -∠DAC = 15°．
∴∠BAP = ∠BAC -∠PAC = 30°．
∴∠BAP = 2∠PAC．
（2）求证：∠BAP = 2∠PAC．
正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
2
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC ， DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO＝CO＝BO＝DO ，∠ADC＝90°.
∵AC⊥DB，
∴ AD＝AB＝BC＝CD.
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对
角线， AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°.
∴四边形 ABCD 是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角
一组邻边相等
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等且
一内角是直角
归纳总结
3. 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD=∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
C
A
B
C
D
O
练一练
证明 因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB = BC.
又因为 AA′ = BB′，所以 A'B = B'C.
又因为∠B =∠C = 90°，BB′ = CC'，
所以△BB'A'≌△CC'B' (边角边)，
从而 B'A' = C'B'.
同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.
例2 如图，已知点 A'，B'，C'，D' 分别是正方
形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'.
求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形.
1
2
3
同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.
于是 A'D' = D'C' = C'B' = B'A'.
因此四边形 A'B'C'D' 是菱形.
又因为∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，
所以∠2 + ∠3 = 90°，
于是∠D'A'B' = 90°.
因此四边形 A'B'CD' 是正方形.
1
2
3
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC = ∠DFC = 90°.
又∵ ∠C = 90°，
∴四边形 EDFC 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB，垂足为 G.
∵AD 是∠CAB 的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE = DG. 同理得 DG = DF.
∴ED = DF. ∴四边形 EDFC 是正方形.
例5 如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B 的平分线交于点 D. DE⊥AC，DF⊥BC. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
平行四边形
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 (　 )
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是(　 )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB= °，∠DAC= °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5°
第3题图
第4题图
45
5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF.
∴FC＝BE. 在Rt△ABC 中，
∴FC＝AC－AF＝( －1) cm.
∴BE＝( －1) cm．
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结

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