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2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期末综合复习训练题（附答案）
一、单选题
1．把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．在中，斜边，则的值为（ ）
A．12 B．22 C．32 D．无法计算
3．如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，则的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 ．
9．在中，，，边上的高的长为4，则边的长为 ．
10．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为
11．如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ．
12．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为 ．
13．如图，直线是一条河，、两地到直线l的距离和分别长 、 ，且 ．若在直线上修建一个水泵站，向、两地供水，则铺设的管道最短是 ．
14．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则
三、解答题
15．如图，直角三角形中，，垂足为点，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
16．如图，四边形中，，，求四边形的面积．
17．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米．
(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？
18．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．
(1)试说明：；
(2)求的长．
19．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．

(1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？
20．如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上．
(1)若，求的度数；
(2)若平分交于点，求证：点是的中点；
(3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：∵，∴，，是“勾股数”，∴选项A不符合题意；
∵，∴，，是“勾股数”，∴选项B不符合题意；
∵，∴，，是“勾股数”，∴选项C不符合题意；
∵，∴，，不是“勾股数”，∴选项D符合题意；
故选：D．
2．解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选：C．
3．解：如图，
由题意得，
，
四边形都是正方形，
，，，
正方形A、B的面积分别为25和9，
，，
，
正方形B的面积为16．
故选：D．
4．解：∵
∴，
在中，米，米。
∴，
米 ，
故选：A．
5．解：点的坐标分别为，
，
，
，
，
则的面积为；故选：C．
6．解：由题意及图，得
，，，
∴四边形的边长为整数的边是和．故选B．
7．解：设铅笔长度为，由题意得，
，
解得，，
故铅笔的长为；故选：A．
8．解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴斜边长是，
故答案为∶13．
9．解：当是锐角时，过点作于点，
∵，边上的高的长为4，
∴，
∵，
∴，
∴；
当是钝角时，过点作的延长线于点，
∵，边上的高的长为4，
∴，
∴，
则，
故答案为：5或．
10．解：∵将长方形折叠，使点与点重合，
∴，
设，则：，
在中，由题意，得：，
则：，
解得：，
∴，
∴的面积为；
故答案为：6．
11．解：设，则
在中，
∴
∴
在 中，
∴
故答案为：．
12．解：∵，
∴是直角三角形 ，
∵在中，，，
∴ ，
∵，
∴ ，
红外线感应装置到洗手台面的高度的长为．
故答案为：12．
13．解：如图，作点关于直线的对称点，则 ．连结，过点作，交的延长线于点，则线段的长度即为所求．
由题意，可知 ，
∵，
∴四边形为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴在中， ．
∴铺设的管道最短是 ．
故答案为．
14．解：如图，由题意知，；
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
同理得，，
∴；
故答案为：4．
15．（1）解：
，
，
（2）设，则，
，
，
，
解得：
16．解：如图所示，连接，
∵，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
17．（1）解：由题意得，米，米，，
∴米，
答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米；
（2）解：由题意得，米，米，
∴米，
∴米，
答：底端A在水平方向滑动了米．
18．（1）证明：，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
．
19．（1）解：∵，
∴梯形的面积为或，
∴，
∴，
即；
（2）解：设千米，则千米，
在中，，即，
解得，即，
答：原路长千米．
20．（1）解： ，，
；
（2）证明： 平分，
，
又 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即点是的中点；
（3）结论：，理由如下：
如图2，连接．
，点为的中点．
为的中垂线．
．
在中，．
由勾股定理得．
．

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