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专题07 共点力平衡和力的合成与分解
▉考点一 合力与分力
1共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
如图3-4-1所示为物体所受共点力的示意图。
2合力与分力
(1)合力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。
(2)分力：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。
3合力与分力的关系
等效性→合力的作用效果与分力的共同作用效果相同→相互等效替代
同体性→各个分力与合力均作用在同一物体上→受力物体相同
瞬时性→某个分力变化了，合力同时也发生变化→瞬时对应关系
例题：诗词与谚语是我国五千年灿烂文化的瑰宝，很多诗句与谚语中含有丰富的物理知识，下列说法中正确的有（　　）
A．诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”，射箭时箭受弹力方向与弓的形变方向相反
B．诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中“青山相对出”是以青山为参考系
C．诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”指的是人随着地球自转一天的位移大小
D．谚语“人心齐，泰山移”形象地揭示了各分力方向一致时合力最大的物理规律
解：A.诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”中，射箭时箭受到的弹力是由弓的形变产生的。根据弹力的性质，弹力的方向总是与施力物体（这里是弓）的形变方向相反。因此，箭受弹力方向与弓的形变方向相反，故A正确；
B.诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中，“青山相对出”描述的是青山相对于某一参考系在运动。但实际上，这里的参考系是船（或船上的人），因为船在行驶，所以青山相对于船来说是在“出”或“动”，故B错误；
C.诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”实际上指的是地球赤道的周长，即人随着地球自转一天所经过的路程（或轨迹长度），而不是位移大小。位移是初位置到末位置的有向线段，而人随着地球自转一天，其初位置和末位置是重合的，所以位移为零，故C错误；
D.谚语“人心齐，泰山移”形象地表达了当各个分力方向一致时，合力最大的物理规律。这是力学中的一个基本原理，即同向力的合力等于各分力之和，且合力方向与分力方向相同，故D正确。
故选：AD。
▉考点二 力的合成和分解
1力的合成
求几个力的合力的过程叫作力的合成。
2力的分解
求一个力的分力的过程叫作力的分解。
3力的合成与分解的区别、联系
力的合成 力的分解
区别 各分力是实际受到的力，它们的合力不是实际受到的力。 合力是实际受到的力，它的各个分力不是实际受到的力。
各分力不一定是同一个施力物体，合力往往没有对应的施力物体。 合力和它的各个分力产生于同一个施力物体。
联系 力的合成与分解互为逆过程。
都是针对同一物体所受的力进行合成与分解。
都是利用等效替代的思想方法。
例题：在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，橡皮条的长度为GE，一端固定于G，另一端挂一轻质小圆环。用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环和改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环时，均使小圆环处于O点。这样操作的目的是（　　）
A．仅为使两次对橡皮条拉力的方向相同
B．仅为使两次对橡皮条拉力的大小相等
C．使两次对橡皮条拉力的大小相等、方向相同
D．仅为使合力和分力的作用点在同一点，便于画图比较
解：先用两个弹簧测力计把橡皮条拉到一定长度并记下结点O的位置，同时还需要记下两个拉力F1和F2的大小和方向，然后改用一个弹簧测力计拉橡皮条，也要把橡皮条的结点拉到同一位置O，这样做的目的是为了使两次拉力产生的效果相同，即使两次对橡皮条的拉力大小相等，方向也相同，故C正确，ABD错误。
故选：C。
▉考点三 实验：探究两个互成角度的力的合成规律
1实验原理与实验过程
探究两个互成角度的力的合成规律：
实验目的：(1)探究两个互成角度的力与其合力间的关系。 (2)学习用等效的思想探究矢量合成的方法。
实验器材：木板、橡皮条、细线、小圆环、弹簧测力计、图钉、白纸、铅笔、刻度尺、三角板。
实验原理：将橡皮条一端固定，另一端挂一轻质小圆环，用两个力F、F 使小圆环到达某一点，再用一个力F作用于小圆环，使其到达同一点，那么F与F 、F 的作用效果相同；记下F 、F 的大小和方向，画出各个力的图示，研究F与F 、F 的关系。
实验过程
实验步骤：
(1)在实验桌上平放一块方木板，然后在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸固定在方木板上。
(2)用图钉把橡皮条的一端固定在板上的G点，在橡皮条的另一端挂一轻质小圆环，如图甲所示。
(3)用手通过两个弹簧测力计，互成角度地共同拉动小圆环，使橡皮条伸长，使小圆环处于0点，如图乙所示。用铅笔记下0点的位置和两弹簧测力计拉线的方向，读出并记录两个弹簧测力计的示数，即两力F、F 的大小和方向。
(4)只用一个弹簧测力计拉动小圆环，仍使其处于0点，如图丙所示，读出并记录弹簧测力计的示数，记下拉线的方向，即记下与F、F 共同作用的效果相同的力F的大小和方向。
(5)选定标度，作出力F 、F 、F的图示。
(6)改变力F 、F 的大小和夹角，重复上述实验。
数据分析：以F 、F 为邻边作平行四边形，并作出对角线F,如图丁所示，比较力F与F”在大小和方向上是否相同。
实验结论：力F与F’在误差允许的范围内重合，说明两个力合成时，用表示这两个力的线段为邻边作 平行四边形，这两个邻边之间的对角线所代表的力与合力的大小和方向是相同的。
2实验注意事项与误差分析
注意事项：
位置不变→在同一次实验中，拉长橡皮条时结点的位置一定要相同。
拉力方向及记录→拉力应沿弹簧测力计的轴线方向，并使弹簧与木板平面平行，避免弹簧与弹簧测力计外壳有摩擦；为了提高实验精度，所选橡皮条应适当长一些，以便更好地确定拉力的方向。
角度合适→用两个弹簧测力计拉橡皮条时，两拉力的夹角不要太大，也不要太小，在60°~120°之间为宜，作力的图示时，标度要适当大些。
拉力合适→在满足拉力不超过弹簧测力计的量程及橡皮条形变不超过弹性限度的条件下，应该使拉力尽量大一些，以减小实验误差。
统一标度→在同一次实验中，画力的图示时选定的标度要相同。
实验误差：
系统误差→弹簧测力计本身的误差。
偶然误差→(1)读数误差；(2)作图误差
例题：在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，操作错误的是（　　）
A．实验前先把实验所用的两个弹簧测力计的挂钩相互钩住平放在桌面上，向相反方向拉动，检查读数是否相同，若不同，则进行调节使之相同
B．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平面平行
C．记录拉力方向时可以用铅笔贴着细线画直线表示
D．用力的图示作出两次拉力，使用同样的单位长度
解：A.为了确保弹簧测力计能够正常使用，根据牛顿第三定律，将两只弹簧测力计的挂钩相互钩住平放在桌面上，向相反方向拉动，读数应相同。实验前这么操作可以确定弹簧测力计是否完好，故A正确；
B．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平面平行，这样可以减小误差，也是实验中必须的操作规范，故B正确；
C．记录拉力方向时不可以用铅笔贴着细线画直线表示，正确的方法是，在细线上离O点适当远处找一点，该点与O点的连续就是拉力的方向，故C错误；
D.用力的图示作出两次拉力，使用同样的单位长度，故D正确；
本题选择错误选项；
故选：C。
▉考点四 矢量和标量
1矢量和标量的定义
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量叫作矢量，如位移、速度、加速度等。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量叫作标量，如质量、路程、温度等。
2矢量和标量的运算法则
(1)标量相加时，只需按算术法则运算就行了。
(2)矢量不能直接相加减，矢量的运算遵循平行四边形定则。
▉考点五 合力与分力的大小关系
1两个共点力的合力范围
如图3-4-9所示，关于两个共点力F 、F 合力的大小F的讨论如下：
最大 F 、F 同向，F合=F +F 。
最小 F 、F 反向，F合=|F -F |。
合力与分力的大小关系 |F -F |≤F合≤F +F 。
合力与两分力夹角θ的关系 θ越大，F合越小。
2二力合成的几种特殊情况
类型 作图 合力的计算
两力垂直
两力等大，夹角为θ
两力等大且夹角为120° 合力与分力等大。
合力与一个分力垂直
3三个共点力的合力范围
设三个共点力大小分别为F 、F 、F ,合力为F。
(1)最大值：当三个力方向相同时，其合力F最大，Fmax=F +F +F 。
(2)最小值：①若三个力中任何一个力在另外两个力的合力的变化范围内，则合力F最小，F=0;
②若三个力中任何一个力都不在另外两个力的合力的变化范围内，设F 是三个力中最大的一个，则当F 与F 方向相同且与F 方向相反时，合力F最小，为Fmn=F -(F +F )。
▉考点六 力的分解中定解条件的讨论
力的分解中的有解或无解，就是判断合力的有向线段与给定代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)。若可以构成则说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。常见的有四种情况。
已知条件 示意图 解的情况
已知合力和两个分力的方向 有唯一解
已知合力和两个分力的大小 有两解、一解(F +F =F时有唯一解)或无解(当IF,-F I>F或F>F,+F,时无解)。
已知合力和一个分力的大小和方向 有唯一解(可由三角形定则确定)。
已知合力和一个分力的大小及另一个分力的方向 (1)F =Fsinθ或F ≥F时，有唯一解，且Fsinθ是F 的最小值。 (2)当F ▉考点七 合力与分力
共点力平衡的条件
1平衡状态
(1)定义：如果一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
(2)运动学特征：处于平衡状态的物体静止或做匀速直线运动，其加速度一定为零，所受合力也为零。
2共点力作用下物体平衡的条件
在共点力作用下物体平衡的条件是所受合力为0。
表达式：F合=0（Fx合，Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力）。
▉考点八 共点力平衡问题的分析
1求解共点力作用下物体平衡问题的一般步骤
明确研究对象：研究对象的选取可以是系统整体，也可以是系统中隔离出的单个物体
分析运动状态：分析研究对象的运动状态，判断它是否处于平衡状态
进行受力分析：对研究对象进行受力分析并画出受力示意图
选择合适解法：分辨题目所属的类型，选择合适的解法
列出方程求解：依据共点力的平衡条件，列出力的平衡方程，求解问题并进行讨论
2求解共点力平衡问题的常用方法
整体法和隔离法 当求系统内部间的相互作用时，一般用隔离法；求系统受到的外力时，一般用整体法。
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，可以据此先求任意两个力的合力。
正交分解法 列出正交的x、y轴上的平衡方程，联立求解：∑F =F .+F +F +…+Fn=0; ∑F,=F y+F ,+F +…+Fny=0。
效果分解法 将某一个力按力的作用效果进行分解，则其分力和其他力在所分解的方向上满足平衡条件。
相似三角形法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，把三个力画在一个三角形中，判断力的三角形与几何三角形相似，根据相似三角形的对应边长成比例列方程求解。
矢量三角形法 物体受三个力的作用，若这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零。利用三角形定则，根据边角关系，求平衡问题。
例题：如图所示，空间中存在竖直向上的匀强电场，与竖直方向成45°角的绝缘天花板上有一带电荷量为q的物块，该物块恰好能沿天花板匀速上升，则下列说法正确的是（　　）
A．物块一定受两个力的作用
B．物块一定受三个力的作用
C．物块可能受三个力的作用
D．物块可能受四个力的作用
解：对物块受力分析可知，若物块所受重力与电场力恰好平衡，则受两个力的作用；若物块所受重力小于电场力，则物块受重力、电场力、支持力、摩擦力四个力，故D正确，ABC错误。
故选：D。
一．合力与分力的定义及关系（共3小题）
1．物体在F1、F2、F3、F4、F5五个共点力的作用下保持平衡。图中线段的长度代表力的大小。现要使物体所受合力最小，应撤去的力是（　　）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
（多选）2．诗词与谚语是我国五千年灿烂文化的瑰宝，很多诗句与谚语中含有丰富的物理知识，下列说法中正确的有（　　）
A．诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”，射箭时箭受弹力方向与弓的形变方向相反
B．诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中“青山相对出”是以青山为参考系
C．诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”指的是人随着地球自转一天的位移大小
D．谚语“人心齐，泰山移”形象地揭示了各分力方向一致时合力最大的物理规律
（多选）3．关于合力与其两个分力的关系，下列说法中正确的是（　　）
A．合力的作用效果与两个分力共同作用的效果相同
B．合力的大小一定等于两个分力的代数和
C．合力可能小于它的任一分力
D．合力大小可能等于某一分力的大小
二．力的平行四边形定则（共2小题）
4．射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为（cos53°＝0.6）（　　）
A．53° B．127° C．143° D．106°
5．几种矢量运算框架图像如下图所示，线段的长短代表矢量的大小，箭头的指向代表矢量的方向，下列说法正确的是（　　）
A．甲图说明物体做加速运动，速度的变化量由初速度的箭头端指向末速度的箭头端
B．由乙图看出物体的合位移为0
C．丙图说明两个变力的合力的大小改变，方向不变
D．丁图说明物体处于三力平衡状态
三．合力的取值范围（共3小题）
6．有两个共点力，大小分别为90N和120N，它们的合力大小不可能等于（　　）
A．30N B．50N C．110N D．220N
7．物体受到三个共点力的作用，这三个力的大小分别为4N、7N、9N，这三个力的合力最大值和最小值为（　　）
A．20N 2N B．2N 20N C．20N 0N D．0N 20N
8．两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。下列说法正确的是（　　）
A．若F1和F2大小不变，θ角越大，合力F就越大
B．合力F总比分力F1、F2中的任何一个力都大
C．合力F的大小范围是|F1﹣F2|＜F＜（F1+F2）
D．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能先减小后增大
四．成特殊角度的两个力的合力的计算（共3小题）
9．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为120°时合力大小为10N；则当它们间夹角为60°时，合力的大小为（　　）
A．20N B． C． D．
10．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为π/2时，合力大小为10N，那么当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为（　　）
A．10N B． C．5N D．
11．有两个大小相等的力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力为F，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为 　 　 ．
五．三角形法则及多边形法则（共2小题）
12．如图所示，一个竖直向下的力F＝3N，把它分解为两个分力F1和F2，已知分力F1水平向右，且F1＝4N，则关于分力F2的大小，下列正确的是（　　）
A．1N B．7N C．2N D．5N
13．如图，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，若将它们平移并首尾相接，三个力矢量组成了一个封闭三角形，则物体所受这三个力的合力大小为（　　）
A．2F1 B．F2 C．2F3 D．0
六．正交分解法（共3小题）
14．如图所示，一物体在12N的拉力作用下沿水平方向前进，该力与水平方向夹角为30°，若将该力分解为水平向右和竖直向上的两个力，则水平方向的分力大小为（　　）
A． B． C． D．6N
15．将一个力F分解为两个力F1和F2，下列说法中错误的是（　　）
A．F是物体实际受到的力
B．物体同时受到F1、F2和F三个力作用
C．F1和F2不是物体实际受到的力
D．F1和F2共同作用的效果与F相同
（多选）16．传统手工榨油利用“油锤”撞击“进桩”挤压油饼出油，如图甲所示。假设“进桩”为等腰三角形木楔，简化模型如图乙所示，木楔的顶角为θ，现在木楔右端施加力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则（　　）
A．若F一定，θ越小N越大 B．若F一定，θ越大N越大
C．若θ一定，F越大N越大 D．若θ一定，F越小N越大
七．按力的效果进行分解（共3小题）
17．椎卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为桦眼的凿削操作，图乙为截面图，凿子尖端夹角为θ，在凿子顶部施加竖直向下的力F时，其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2，不计凿子的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．F1大于F2
B．夹角θ越小，F1越大
C．F大于F2
D．夹角θ越大，凿子越容易凿入木头
（多选）18．图甲为斧头劈开树桩的实例，树桩容易被劈开是因为劈形的斧锋在砍进木桩时，斧刃两侧会对木桩产生很大的侧向压力，将此过程简化成图乙模型，斧头截面为等腰三角形，斧锋夹角为θ，且被施加一个竖直向下的力F，则下列说法正确的是（　　）
A．斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大
B．斧锋夹角越大，斧头对木桩的侧向压力越大
C．施加的力F越小，斧头对木桩的侧向压力越小
D．施加的力F越大，斧头对木桩的侧向压力越小
（多选）19．家里的书桌离墙太近，某同学想将书桌向外移动一点，但她力气太小，推不动。于是，她找来两块相同的木块，搭成一个人字形架，然后往中央一站，书桌真的移动了。下列说法中正确的是（　　）
A．这是因为在人字形架的夹角很大的情况下，该同学的重力沿木块方向的分力很大
B．这是因为在人字形架的夹角很大的情况下，该同学的重力沿木块方向的分力很小
C．人字形架的夹角越大，越容易推动书桌
D．人字形架的夹角越大，越难推动书桌
八．力的分解过程中多解和极值的问题（共2小题）
20．把一个力分解为两个力时，下列说法正确的是（　　）
A．一个分力大小变化，另一个分力大小也一定变化
B．一个分力方向变化，另一个分力方向也一定变化
C．无论如何变化，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力两倍
（多选）21．将一个大小为31N的力分解为两个力，其中一个分力的大小为13N，则另一个分力的大小可能为（　　）
A．45N B．35N C．25N D．15N
九．力的合成与分解的应用（共2小题）
22．榫卯结构是中国传统木建筑、木家具的主要结构方式，我国未来的月球基地将采用月壤烧制的带有榫卯结构的月壤砖建设。在木结构上凿削矩形榫眼用的是如图甲所示木工凿，凿削榫眼时用锤子敲击木工凿柄，将木工凿尖端钉入木头，木工凿尖端钉入木头时的截面如图乙所示，锤子对木工凿施加的力F沿竖直面向下，木工凿对木头的侧面和竖直面的压力大小分别为F1和F2，下列说法正确的是（　　）
A．F1和F2是F的两个分力
B．凿子尖端打磨的夹角不同，F2可能大于F1
C．凿子尖端打磨的夹角不同，F2可能大于F
D．凿子尖端打磨的夹角不同，F1可能小于F
23．在电影《阿凡达》中，潘多拉星球Na′Vi人的坐骑“Banshees”是一种看上去很凶狠的鸟类动物，Na′Vi人通常骑着它去打猎。假设魅影骑士杰克连同他的坐骑总质量为M，以速率v在空中水平面上做半径为r的匀速圆周运动，潘多拉星球表面重力加速度为g，则空气对杰克和他的坐骑的总作用力的大小等于（　　）
A． B．
C． D．Mg
十．判断物体的受力个数（共2小题）
24．近期深圳市高级中学在足球场组织师生足球比赛。比赛热火朝天，同学们通过这次活动锻炼了身体，也增强了师生友谊。下列四种与足球有关的情景，说法正确的是（　　）
A．足球静止在草地上，足球对草地的压力就是足球的重力
B．静止在水平草地上且相互接触的两个足球之间不一定存在相互作用的弹力
C．踩在脚下且静止在水平草地上的足球一定受到3个力的作用
D．运球过程中摩擦力总是对学生的运动起阻碍作用
25．如图所示，两小球A、B通过轻质细杆相连，斜靠在车厢里，两小球及车厢均处于静止状态，则下列说法不正确的是（　　）
A．A球可能受到3个力的作用
B．A球可能受到4个力的作用
C．B球一定受到3个力的作用
D．B球一定受到4个力的作用
十一．对物体进行受力分析（共2小题）
26．如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起匀速转动，则A受力情况是受（　　）
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力和摩擦力
D．重力、支持力、向心力和摩擦力
27．如图，质量为m的物块在与水平面成θ角的恒力F作用下，沿水平面向左做匀加速运动，（1）则F与滑动摩擦力的合力方向为 　 　 （选填“A.竖直向上”、“B.斜向左上”或“C.斜向右上”）；
（2）若要物块不脱离水平面，恒力F需满足的条件为 　 　 。
十二．共点力的平衡问题及求解（共2小题）
28．如图所示，某大剧院的屋顶为半球形，一只小猴在该屋顶向上缓慢爬行，它在向上爬的过程中（　　）
A．屋顶对它的作用力变大
B．屋顶对它的支持力变小
C．屋顶对它的摩擦力变大
D．屋顶对它的作用力不变
29．如图，在两竖直墙壁间一轻质弹簧水平放置，一端固定在O点，另一端将木块1压在墙壁上，保持静止。将木块1换为质量与材质相同、厚度更大的木块2，仍能保持静止。设墙壁与木块1、2间的摩擦力大小分别为f1、f2，最大静摩擦力大小分别为f1max、f2max。则（　　）
A．f1＞f2 B．f1＜f2
C．f1max＞f2max D．f1max＜f2max
十三．利用平衡推论求解受力问题（共2小题）
30．为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新的交通工具，乘客的座椅能随着坡度的变化而自动调整，使座椅始终保持水平，如图所示。当此车减速上坡时，则乘客（仅考虑乘客与水平面之间的作用）（　　）
A．受到的支持力比他对座椅的压力小
B．不受摩擦力的作用
C．受到沿水平向左的的摩擦力
D．所受合力竖直向上
31．如图所示，质量为2kg的物体A静止于竖直的轻弹簧上，将质量为3kg的物体B无初速放在物体A上瞬间，B对A的压力大小为（　　）（g取10m/s2）
A．0 B．8N C．12N D．20N
十四．整体法与隔离法处理物体的平衡问题（共3小题）
32．如图所示，有人把4个相同的网球叠在一起，下方3个网球紧挨着放在水平地面上，其中一个网球记为B，网球A叠放在3个网球中间的正上方，已知每个网球质量均为m，下列说法正确的是（　　）
A．下方3个球对A球的合力大于A球的重力
B．下方3个球与地面之间一定没有摩擦力
C．下方3个球受到地面的支持力大小均为
D．将B球拿走后，剩下3个球仍能保持静止
33．如图所示，细线a通过定滑轮与小球1连接，小球1、2间用细线b连接，两小球光滑，现缓慢拉动细线a，小球1、2沿斜面缓慢上升，斜面始终静止。则该过程中（　　）
A．b中拉力逐渐增大
B．a中拉力逐渐减小
C．地面对斜面的支持力逐渐增大
D．地面对斜面的摩擦力逐渐减小
34．如图所示，斜面为圆弧的斜面体放置在粗糙的水平地面上，在斜面体和竖直墙面之间放置光滑的小球，小球与斜面体均处于静止状态。现用水平向右的力缓慢向右移动斜面体，小球始终未接触地面。在该过程中，下列说法正确的是（　　）
A．墙面对小球的弹力逐渐减小
B．墙面对小球的弹力逐渐增大
C．地面对斜面体的支持力逐渐减小
D．斜面体对小球的支持力逐渐增大
十五．解析法求共点力的平衡（共3小题）
35．如图所示，轻弹簧A一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接轻弹簧B且处于平衡状态，已知定滑轮位于弹簧A固定点的正上方。现缓慢收绳，使滑轮右侧的绳长减小少许，小球仍处于平衡状态，弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为一小段圆弧
B．弹簧B的长度变长
C．弹簧A的长度变长
D．弹簧A的长度变短
36．如图所示，用水平恒力F绕过光滑滑轮拉绳，物块在粗糙水平面上向左运动的过程中，关于物块受力情况，下列说法不正确的是（　　）
A．地面对物块的支持力逐渐减小
B．地面对物块的支持力不变
C．地面对物块的摩擦力变小
D．物块受到的支持力与摩擦力比值恒定
37．野炊时，如图甲所示，三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上。炊具与食物的总质量为m，各杆与竖直方向的夹角均为45°。出于安全考虑，盛取食物时用光滑铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆，如图乙所示。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．烹煮食物时，各杆对地面的作用力大小均为
B．烹煮食物时，各杆受到地面的摩擦力大小均为
C．拉动吊绳过程中，吊绳上的张力大小不变
D．拉动吊绳过程中，铁钩对吊绳的作用力方向不变
十六．图解法解决动态平衡问题（共2小题）
38．一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力F，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。现将F的方向由图示位置逆时针旋转至竖直方向的过程中，小球始终在图中位置保持平衡，则（　　）
A．绳子拉力一直增大 B．F一直减小
C．F的最小值为mgsinθ D．F的最小值为mgtanθ
39．如图所示，质量为M的半圆柱体放在水平面上，质量为m的光滑小球紧靠着半圆柱体放置。现将一水平外力作用在小球上，使小球缓慢地沿半圆柱体的外表面上升，直到最高点，半圆柱体始终静止不动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．地面所受的压力逐渐减小
B．水平外力先增大后减小
C．θ＝30°时，小球对半圆柱体的压力大小为
D．θ＝30°时，水平外力大小为
十七．相似三角形法解决动态平衡问题（共3小题）
40．如图所示，圆心为O、半径为R＝1m的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝5N
B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变
C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小FT＝10N
D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大
41．如图所示，长为L的轻质细绳一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球B，小球B与固定在O点正下方的A球用劲度系数为k1的轻弹簧相连。平衡时，细绳拉力为T1，弹簧弹力为F1；现仅把弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2（k2＞k1）的另一轻弹簧，重新平衡后，细绳拉力为T2，弹簧弹力为F2。下列说法正确的是（　　）
A．T1＜T2 B．T1＞T2 C．F1＜F2 D．F1＞F2
42．如图甲所示是某中学科技馆外部照片，该建筑外形呈球形，表面可视为光滑球面。该球面对应的圆心为O、半径R＝3m。现要在其顶部安装一质量为1kg的球形光滑零件（可视为质点）。如图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5m处。现转动滑轮收缩轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4m，重力加速度大小为g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5N
B．零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10N
C．缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先变小后变大
D．缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小
十八．辅助圆法解决动态平衡问题（共3小题）
43．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态。把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，则在这个过程中（　　）
A．OA绳的拉力逐渐减小
B．OA绳的拉力先增大后减小
C．OB绳的拉力先增大后减小
D．OB绳的拉力先减小后增大
44．如图所示，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（　　）
A．若初始时剪断细线，F保持不变，小球将做平抛运动
B．保持F水平，缓慢增大θ角，则F逐渐减小，FT逐渐增大
C．保持θ角不变，缓慢减小α角过程中α＝2θ时细线拉力FT最小
D．保持θ角不变，缓慢减小α角过程中α＝θ时细线拉力FT最小
（多选）45．如图所示，一个竖直放置的圆环上有三根轻绳连接于圆心O点处，AO、BO相互垂直，另一端连接在圆环上，CO上挂着个重为4N的物体，若绳AO、BO在设计上能承受的最大拉力均为，则为了测试绳子的质量是否达标，应将圆盘旋转多少以达到检验的目的（　　）
A．5° B．10° C．20° D．30°
十九．受力平衡中的临界与极限问题（共3小题）
46．单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（　　）
A．每个手指对球的摩擦力大小为
B．两手指间距L的取值范围为
C．每个手指手对球的压力最小值为
D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍
47．如图所示，三条轻绳结于P点，物块A用绳悬挂在结点P上，PQ绳与竖直墙角度β＝37°，由P点通过定滑轮C连接物块B的绳与水平方向的夹角α＝53°，PC部分水平，整个装置处于静止状态。已知物块A的质量为mA＝4kg，物块B的质量mB＝8kg，物块B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.45，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有绳及光滑滑轮的质量不计。cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，重力加速度大小为g＝10m/s2。求：
（1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小；
（2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小；
（3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，求物块A质量的最大值。
48．我国古代《墨经》一书中记载了利用斜面提升重物的方法，这一方法在现代生活中仍然被广泛应用。如图所示，装载货箱时，常会在卡车尾处斜搭表面均匀的长直木板构成斜面，工人施加一定的推力可将货箱沿斜面推入车厢。
已知斜面倾角θ＝30°，货箱质量为m，货箱与斜面间的动摩擦因数μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若工人对货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，求：人对货箱推力大小的范围。
二十．自锁问题（共2小题）
49．一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾角θ＝30°）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN（FN为正压力）求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。下面说法正确的是（　　）
A．自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向左
B．锁舌D受到锁槽E摩擦力的方向沿侧面向上
C．无论μ多大，暗锁仍然能够保持自锁状态
D．无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，μ存在其最小值
50．如图，两个质量均为m的小物块A、B静止放在粗糙水平面上，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，夹角为α的两根等长轻杆一端通过光滑铰链连接在O处，另一端分别通过光滑铰链连接在A、B上。现在O处施加一个竖直向下的压力，已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，在O处施加的压力大小为F时，求物块A受到地面最大静摩擦力的大小；
（2）若α＝74°且无论在O处施加竖直向下的压力多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件。
二十一．晾衣杆模型（共4小题）
51．抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B分别沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A．沿虚线a向左移动，细线的拉力减小
B．沿虚线b向上移动，细线的拉力减小
C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变
D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大
52．如图所示，一不可伸长的轻绳两端固定在晾衣杆的A、B两点。衣服通过衣架的光滑挂钩挂在轻绳上，同时衣服受到水平向右的恒定风力F，平衡后将结点B缓慢上移，绳子中的拉力将（　　）
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．先变大后变小 D．保持不变
53．抖空竹是一种传统杂技。如图，表演者一只手控制绳A端不动，另一只手控制绳B端沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A．绳长不变，沿虚线a向左移动，细线的拉力变大
B．绳长不变，沿虚线b向上移动，细线的拉力变大
C．绳长不变，沿虚线c斜向上移动，细线的拉力变大
D．绳长不变，沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力变大
（多选）54．晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，A、B两点等高，原来无风状态下衣服保持静止。某时一阵恒定的风吹来，衣服受到水平向右的恒力而发生滑动，并在新的位置保持静止，如图所示。两杆间的距离为d，绳长为1.25d，衣服和衣架的总质量为m，重力加速度为g，（sin37°＝0.6。不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，下列说法正确的是（　　）
A．在有风且风力不变的情况下，绳子右端由A点沿杆略向下移到C点，绳子的拉力变小
B．有风时，挂钩左、右两侧绳子的拉力大小不相等
C．相比无风时，在有风的情况下∠AOB小
D．无风时，轻绳的拉力大小为
二十二．力矩的平衡条件（共4小题）
55．扩张机的原理示意图如图所示，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块E就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，E与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（　　）
A．3000N B．2000N C．1000N D．500N
56．一直梯斜靠在光滑的竖直墙上，下端放在粗糙的水平地面上，人站在直梯上，人和梯都处于静止状态。设地面对直梯的弹力为F1，摩擦力为f，竖直墙面对直梯的弹力为F2。下列说法正确的是（　　）
A．人的位置越高，弹力F1越大
B．人的位置向上移动，弹力F2不变
C．人的位置越高，梯子所受合外力越大
D．人的位置越高，地面对直梯的摩擦力f越大
（多选）57．梯子是生产、生活中常用的登高工具。将梯子靠在光滑的竖直墙壁上，爬梯子的人可视为质点，梯子的重心位于其几何中心，如图所示。梯子与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，某时刻人正好位于梯子的重心处静止不动，梯子与竖直墙壁之间的夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　）
A．地面对梯子的支持力等于人与梯子的重力之和
B．梯子与地面的动摩擦因数μ≥0.375
C．人缓慢向上爬行，梯子与地面可能发生相对滑动
D．人缓慢向下爬行，梯子与地面可能发生相对滑动
58．如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。此时线圈受到的安培力大小为 　 　 。然后使电流反向，大小不变。这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡，此时线圈受到的安培力方向 　 　 （填“向上”或“向下”）。重力加速度g。根据上述条件得磁感应强度为 　 　 。
二十三．探究两个互成角度的力的合成规律（共2小题）
59．在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，如图甲所示，橡皮条的一端固定，另一端系一轻质小圆环，自然长度为GE。图乙中，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环，小圆环在拉力F1、F2的作用下处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。图丙中，改用一个力F单独拉住小圆环，仍然使小圆环处于O点。则图乙所示步骤中不需要记录的是（　　）
A．EO长度 B．O点位置
C．力F1、F2的方向 D．弹簧测力计示数
60．在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，用两个弹簧测力计将橡皮条拉到O点和用一个弹簧测力计将橡皮条拉到O点，测得的数据处理如图所示，其中不是弹簧测力计实际测量的力是（　　）
A．F′ B．F C．F1 D．F2专题07 共点力平衡和力的合成与分解
▉考点一 合力与分力
1共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
如图3-4-1所示为物体所受共点力的示意图。
2合力与分力
(1)合力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。
(2)分力：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。
3合力与分力的关系
等效性→合力的作用效果与分力的共同作用效果相同→相互等效替代
同体性→各个分力与合力均作用在同一物体上→受力物体相同
瞬时性→某个分力变化了，合力同时也发生变化→瞬时对应关系
例题：诗词与谚语是我国五千年灿烂文化的瑰宝，很多诗句与谚语中含有丰富的物理知识，下列说法中正确的有（　　）
A．诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”，射箭时箭受弹力方向与弓的形变方向相反
B．诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中“青山相对出”是以青山为参考系
C．诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”指的是人随着地球自转一天的位移大小
D．谚语“人心齐，泰山移”形象地揭示了各分力方向一致时合力最大的物理规律
解：A.诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”中，射箭时箭受到的弹力是由弓的形变产生的。根据弹力的性质，弹力的方向总是与施力物体（这里是弓）的形变方向相反。因此，箭受弹力方向与弓的形变方向相反，故A正确；
B.诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中，“青山相对出”描述的是青山相对于某一参考系在运动。但实际上，这里的参考系是船（或船上的人），因为船在行驶，所以青山相对于船来说是在“出”或“动”，故B错误；
C.诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”实际上指的是地球赤道的周长，即人随着地球自转一天所经过的路程（或轨迹长度），而不是位移大小。位移是初位置到末位置的有向线段，而人随着地球自转一天，其初位置和末位置是重合的，所以位移为零，故C错误；
D.谚语“人心齐，泰山移”形象地表达了当各个分力方向一致时，合力最大的物理规律。这是力学中的一个基本原理，即同向力的合力等于各分力之和，且合力方向与分力方向相同，故D正确。
故选：AD。
▉考点二 力的合成和分解
1力的合成
求几个力的合力的过程叫作力的合成。
2力的分解
求一个力的分力的过程叫作力的分解。
3力的合成与分解的区别、联系
力的合成 力的分解
区别 各分力是实际受到的力，它们的合力不是实际受到的力。 合力是实际受到的力，它的各个分力不是实际受到的力。
各分力不一定是同一个施力物体，合力往往没有对应的施力物体。 合力和它的各个分力产生于同一个施力物体。
联系 力的合成与分解互为逆过程。
都是针对同一物体所受的力进行合成与分解。
都是利用等效替代的思想方法。
例题：在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，橡皮条的长度为GE，一端固定于G，另一端挂一轻质小圆环。用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环和改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环时，均使小圆环处于O点。这样操作的目的是（　　）
A．仅为使两次对橡皮条拉力的方向相同
B．仅为使两次对橡皮条拉力的大小相等
C．使两次对橡皮条拉力的大小相等、方向相同
D．仅为使合力和分力的作用点在同一点，便于画图比较
解：先用两个弹簧测力计把橡皮条拉到一定长度并记下结点O的位置，同时还需要记下两个拉力F1和F2的大小和方向，然后改用一个弹簧测力计拉橡皮条，也要把橡皮条的结点拉到同一位置O，这样做的目的是为了使两次拉力产生的效果相同，即使两次对橡皮条的拉力大小相等，方向也相同，故C正确，ABD错误。
故选：C。
▉考点三 实验：探究两个互成角度的力的合成规律
1实验原理与实验过程
探究两个互成角度的力的合成规律：
实验目的：(1)探究两个互成角度的力与其合力间的关系。 (2)学习用等效的思想探究矢量合成的方法。
实验器材：木板、橡皮条、细线、小圆环、弹簧测力计、图钉、白纸、铅笔、刻度尺、三角板。
实验原理：将橡皮条一端固定，另一端挂一轻质小圆环，用两个力F、F 使小圆环到达某一点，再用一个力F作用于小圆环，使其到达同一点，那么F与F 、F 的作用效果相同；记下F 、F 的大小和方向，画出各个力的图示，研究F与F 、F 的关系。
实验过程
实验步骤：
(1)在实验桌上平放一块方木板，然后在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸固定在方木板上。
(2)用图钉把橡皮条的一端固定在板上的G点，在橡皮条的另一端挂一轻质小圆环，如图甲所示。
(3)用手通过两个弹簧测力计，互成角度地共同拉动小圆环，使橡皮条伸长，使小圆环处于0点，如图乙所示。用铅笔记下0点的位置和两弹簧测力计拉线的方向，读出并记录两个弹簧测力计的示数，即两力F、F 的大小和方向。
(4)只用一个弹簧测力计拉动小圆环，仍使其处于0点，如图丙所示，读出并记录弹簧测力计的示数，记下拉线的方向，即记下与F、F 共同作用的效果相同的力F的大小和方向。
(5)选定标度，作出力F 、F 、F的图示。
(6)改变力F 、F 的大小和夹角，重复上述实验。
数据分析：以F 、F 为邻边作平行四边形，并作出对角线F,如图丁所示，比较力F与F”在大小和方向上是否相同。
实验结论：力F与F’在误差允许的范围内重合，说明两个力合成时，用表示这两个力的线段为邻边作 平行四边形，这两个邻边之间的对角线所代表的力与合力的大小和方向是相同的。
2实验注意事项与误差分析
注意事项：
位置不变→在同一次实验中，拉长橡皮条时结点的位置一定要相同。
拉力方向及记录→拉力应沿弹簧测力计的轴线方向，并使弹簧与木板平面平行，避免弹簧与弹簧测力计外壳有摩擦；为了提高实验精度，所选橡皮条应适当长一些，以便更好地确定拉力的方向。
角度合适→用两个弹簧测力计拉橡皮条时，两拉力的夹角不要太大，也不要太小，在60°~120°之间为宜，作力的图示时，标度要适当大些。
拉力合适→在满足拉力不超过弹簧测力计的量程及橡皮条形变不超过弹性限度的条件下，应该使拉力尽量大一些，以减小实验误差。
统一标度→在同一次实验中，画力的图示时选定的标度要相同。
实验误差：
系统误差→弹簧测力计本身的误差。
偶然误差→(1)读数误差；(2)作图误差
例题：在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，操作错误的是（　　）
A．实验前先把实验所用的两个弹簧测力计的挂钩相互钩住平放在桌面上，向相反方向拉动，检查读数是否相同，若不同，则进行调节使之相同
B．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平面平行
C．记录拉力方向时可以用铅笔贴着细线画直线表示
D．用力的图示作出两次拉力，使用同样的单位长度
解：A.为了确保弹簧测力计能够正常使用，根据牛顿第三定律，将两只弹簧测力计的挂钩相互钩住平放在桌面上，向相反方向拉动，读数应相同。实验前这么操作可以确定弹簧测力计是否完好，故A正确；
B．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平面平行，这样可以减小误差，也是实验中必须的操作规范，故B正确；
C．记录拉力方向时不可以用铅笔贴着细线画直线表示，正确的方法是，在细线上离O点适当远处找一点，该点与O点的连续就是拉力的方向，故C错误；
D.用力的图示作出两次拉力，使用同样的单位长度，故D正确；
本题选择错误选项；
故选：C。
▉考点四 矢量和标量
1矢量和标量的定义
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量叫作矢量，如位移、速度、加速度等。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量叫作标量，如质量、路程、温度等。
2矢量和标量的运算法则
(1)标量相加时，只需按算术法则运算就行了。
(2)矢量不能直接相加减，矢量的运算遵循平行四边形定则。
▉考点五 合力与分力的大小关系
1两个共点力的合力范围
如图3-4-9所示，关于两个共点力F 、F 合力的大小F的讨论如下：
最大 F 、F 同向，F合=F +F 。
最小 F 、F 反向，F合=|F -F |。
合力与分力的大小关系 |F -F |≤F合≤F +F 。
合力与两分力夹角θ的关系 θ越大，F合越小。
2二力合成的几种特殊情况
类型 作图 合力的计算
两力垂直
两力等大，夹角为θ
两力等大且夹角为120° 合力与分力等大。
合力与一个分力垂直
3三个共点力的合力范围
设三个共点力大小分别为F 、F 、F ,合力为F。
(1)最大值：当三个力方向相同时，其合力F最大，Fmax=F +F +F 。
(2)最小值：①若三个力中任何一个力在另外两个力的合力的变化范围内，则合力F最小，F=0;
②若三个力中任何一个力都不在另外两个力的合力的变化范围内，设F 是三个力中最大的一个，则当F 与F 方向相同且与F 方向相反时，合力F最小，为Fmn=F -(F +F )。
▉考点六 力的分解中定解条件的讨论
力的分解中的有解或无解，就是判断合力的有向线段与给定代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)。若可以构成则说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。常见的有四种情况。
已知条件 示意图 解的情况
已知合力和两个分力的方向 有唯一解
已知合力和两个分力的大小 有两解、一解(F +F =F时有唯一解)或无解(当IF,-F I>F或F>F,+F,时无解)。
已知合力和一个分力的大小和方向 有唯一解(可由三角形定则确定)。
已知合力和一个分力的大小及另一个分力的方向 (1)F =Fsinθ或F ≥F时，有唯一解，且Fsinθ是F 的最小值。 (2)当F ▉考点七 合力与分力
共点力平衡的条件
1平衡状态
(1)定义：如果一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
(2)运动学特征：处于平衡状态的物体静止或做匀速直线运动，其加速度一定为零，所受合力也为零。
2共点力作用下物体平衡的条件
在共点力作用下物体平衡的条件是所受合力为0。
表达式：F合=0（Fx合，Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力）。
▉考点八 共点力平衡问题的分析
1求解共点力作用下物体平衡问题的一般步骤
明确研究对象：研究对象的选取可以是系统整体，也可以是系统中隔离出的单个物体
分析运动状态：分析研究对象的运动状态，判断它是否处于平衡状态
进行受力分析：对研究对象进行受力分析并画出受力示意图
选择合适解法：分辨题目所属的类型，选择合适的解法
列出方程求解：依据共点力的平衡条件，列出力的平衡方程，求解问题并进行讨论
2求解共点力平衡问题的常用方法
整体法和隔离法 当求系统内部间的相互作用时，一般用隔离法；求系统受到的外力时，一般用整体法。
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，可以据此先求任意两个力的合力。
正交分解法 列出正交的x、y轴上的平衡方程，联立求解：∑F =F .+F +F +…+Fn=0; ∑F,=F y+F ,+F +…+Fny=0。
效果分解法 将某一个力按力的作用效果进行分解，则其分力和其他力在所分解的方向上满足平衡条件。
相似三角形法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，把三个力画在一个三角形中，判断力的三角形与几何三角形相似，根据相似三角形的对应边长成比例列方程求解。
矢量三角形法 物体受三个力的作用，若这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零。利用三角形定则，根据边角关系，求平衡问题。
例题：如图所示，空间中存在竖直向上的匀强电场，与竖直方向成45°角的绝缘天花板上有一带电荷量为q的物块，该物块恰好能沿天花板匀速上升，则下列说法正确的是（　　）
A．物块一定受两个力的作用
B．物块一定受三个力的作用
C．物块可能受三个力的作用
D．物块可能受四个力的作用
解：对物块受力分析可知，若物块所受重力与电场力恰好平衡，则受两个力的作用；若物块所受重力小于电场力，则物块受重力、电场力、支持力、摩擦力四个力，故D正确，ABC错误。
故选：D。
一．合力与分力的定义及关系（共3小题）
1．物体在F1、F2、F3、F4、F5五个共点力的作用下保持平衡。图中线段的长度代表力的大小。现要使物体所受合力最小，应撤去的力是（　　）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】C
【解答】解：物体在F1、F2、F3、F4、F5五个共点力的作用下保持平衡，则这5个力的合力为零，其中任何4个力的合力都与另外一个力等大反向，因这5个力中F3最小，故撤去的力F3后其它4个力的合力最小，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）2．诗词与谚语是我国五千年灿烂文化的瑰宝，很多诗句与谚语中含有丰富的物理知识，下列说法中正确的有（　　）
A．诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”，射箭时箭受弹力方向与弓的形变方向相反
B．诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中“青山相对出”是以青山为参考系
C．诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”指的是人随着地球自转一天的位移大小
D．谚语“人心齐，泰山移”形象地揭示了各分力方向一致时合力最大的物理规律
【答案】AD
【解答】解：A.诗句“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”中，射箭时箭受到的弹力是由弓的形变产生的。根据弹力的性质，弹力的方向总是与施力物体（这里是弓）的形变方向相反。因此，箭受弹力方向与弓的形变方向相反，故A正确；
B.诗句“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”中，“青山相对出”描述的是青山相对于某一参考系在运动。但实际上，这里的参考系是船（或船上的人），因为船在行驶，所以青山相对于船来说是在“出”或“动”，故B错误；
C.诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”实际上指的是地球赤道的周长，即人随着地球自转一天所经过的路程（或轨迹长度），而不是位移大小。位移是初位置到末位置的有向线段，而人随着地球自转一天，其初位置和末位置是重合的，所以位移为零，故C错误；
D.谚语“人心齐，泰山移”形象地表达了当各个分力方向一致时，合力最大的物理规律。这是力学中的一个基本原理，即同向力的合力等于各分力之和，且合力方向与分力方向相同，故D正确。
故选：AD。
（多选）3．关于合力与其两个分力的关系，下列说法中正确的是（　　）
A．合力的作用效果与两个分力共同作用的效果相同
B．合力的大小一定等于两个分力的代数和
C．合力可能小于它的任一分力
D．合力大小可能等于某一分力的大小
【答案】ACD
【解答】解：合力的作用效果，与其两个分力共同作用的效果一定相同，故A正确。
B、合力与分力的计算遵守的是平行四边形定则，不是两个分力的代数和，故B错误。
CD、物体受到两个共点力F1，F2的作用，合力F大小的范围是≤F≤F1+F2。
例如大小分别是6N和4N．其合力F大小的范围是2N≤F≤10N．合力的大小可能小于它的任一分力，也可能等于某一分力的大小，故CD正确。
故选：ACD。
二．力的平行四边形定则（共2小题）
4．射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示。弓弦的夹角应为（cos53°＝0.6）（　　）
A．53° B．127° C．143° D．106°
【答案】D
【解答】解：以箭与弓弦交点作为受力对象，根据图乙可知F1＝F2，
由力的合成法则，得：F1cos +F2cos ＝F
则：＝0.6；
解得：α＝106°，故ABC错误，D正确。
故选：D。
5．几种矢量运算框架图像如下图所示，线段的长短代表矢量的大小，箭头的指向代表矢量的方向，下列说法正确的是（　　）
A．甲图说明物体做加速运动，速度的变化量由初速度的箭头端指向末速度的箭头端
B．由乙图看出物体的合位移为0
C．丙图说明两个变力的合力的大小改变，方向不变
D．丁图说明物体处于三力平衡状态
【答案】C
【解答】解：A．甲图物体的初速度大于末速度，说明物体做减速运动，速度的变化量由初速度的箭头端指向末速度的箭头端，故A错误；
B．乙图s1、s2的合位移与分位移s3相同，物体的合位移为2s3，故B错误；
C．丙图的两个变力矢量线段首尾相连，其合力由一个分力的箭尾端指向另一个分力的箭头端，合力的方向向右，都在同一条虚线上，即合力的大小改变，方向不变，故C正确；
D．丁图物体受到的F1、F3的合力与第三个分力F2相同，则物体的合力为2F2，物体不能处于平衡状态，故D错误。
故选：C。
三．合力的取值范围（共3小题）
6．有两个共点力，大小分别为90N和120N，它们的合力大小不可能等于（　　）
A．30N B．50N C．110N D．220N
【答案】D
【解答】解：两个力的合力最大为Fmax＝90N+120N＝210N，最小为Fmin＝120N﹣90N＝30N，故ABC可能，D不可能。
本题选不可能的，故选：D。
7．物体受到三个共点力的作用，这三个力的大小分别为4N、7N、9N，这三个力的合力最大值和最小值为（　　）
A．20N 2N B．2N 20N C．20N 0N D．0N 20N
【答案】C
【解答】解：这三个力的大小关系满足二力之和大于第三个力，二力之差小于第三个力，所以这三个力可以组成一个矢量三角形，则这三个力的合力最小值为0。当这三个力的方向相同时合力最大，则合力的最大值为F合＝4N+7N+9N＝20N，故C正确，ABD错误。
故选：C。
8．两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。下列说法正确的是（　　）
A．若F1和F2大小不变，θ角越大，合力F就越大
B．合力F总比分力F1、F2中的任何一个力都大
C．合力F的大小范围是|F1﹣F2|＜F＜（F1+F2）
D．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能先减小后增大
【答案】D
【解答】解：A、根据力的合成法则可知，若F1和F2大小不变，θ角越大，合力F就越大，故A正确；
C、合力F的大小范围是|F1﹣F2≤F≤（F1+F2），故C错误；
B、根据上面C的分析可知，合力可能比分力大，也可能比分力小，也有可能等于分力，故B错误；
D、如果夹角不变，F1大小不变，只要增大F2，合力F可以减小，也可以增加，如图所示，故D正确。
故选：D。
四．成特殊角度的两个力的合力的计算（共3小题）
9．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为120°时合力大小为10N；则当它们间夹角为60°时，合力的大小为（　　）
A．20N B． C． D．
【答案】D
【解答】解：两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为120°时合力大小为10N；由平行四边形相关知识可知
F1＝F2＝10N
当它们间夹角为60°时，合力的大小为
，故ABC错误，D正确。
故选：D。
10．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为π/2时，合力大小为10N，那么当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为（　　）
A．10N B． C．5N D．
【答案】D
【解答】解：当两个力之间的夹角为90°时合力大小为10N，根据平行四边形定则，知F1＝F2＝5N。
当两个力夹角为120°时，根据平行四边形定则知，F合＝5N。故D正确，ABC错误。
故选：D。
11．有两个大小相等的力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力为F，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为 　F　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：两个大小相等的力F1和F2，当它们的夹角为90°时，
F＝，
所以的大小为F1＝F2＝F，
当它们的夹角为120°时，
根据平行四边形定则可得，合力与分力的大小相等，
即此时合力的大小为F合＝F．
故答案为：F．
五．三角形法则及多边形法则（共2小题）
12．如图所示，一个竖直向下的力F＝3N，把它分解为两个分力F1和F2，已知分力F1水平向右，且F1＝4N，则关于分力F2的大小，下列正确的是（　　）
A．1N B．7N C．2N D．5N
【答案】D
【解答】解：一个竖直向下的力F＝3N，F1＝4N，根据三角形定则可得
可知
代入题中数据解得F2＝5N，故D正确，ABC错误。
故选：D。
13．如图，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，若将它们平移并首尾相接，三个力矢量组成了一个封闭三角形，则物体所受这三个力的合力大小为（　　）
A．2F1 B．F2 C．2F3 D．0
【答案】D
【解答】解：根据三角形定则，F1与F2的合力等于从F1的起点到F2的终点的有向线段，正好与F3大小相等，方向相反，故合力等于0．
故选：D。
六．正交分解法（共3小题）
14．如图所示，一物体在12N的拉力作用下沿水平方向前进，该力与水平方向夹角为30°，若将该力分解为水平向右和竖直向上的两个力，则水平方向的分力大小为（　　）
A． B． C． D．6N
【答案】B
【解答】解：该力水平方向的分力大小为
故B正确，ACD错误。
故选：B。
15．将一个力F分解为两个力F1和F2，下列说法中错误的是（　　）
A．F是物体实际受到的力
B．物体同时受到F1、F2和F三个力作用
C．F1和F2不是物体实际受到的力
D．F1和F2共同作用的效果与F相同
【答案】B
【解答】解：A、F是物体实际受到的力。故A正确；
B、C、一个力F分解为两个分力F1 和F2，分力不是物体所受到的力，F1、F2是两个分力。故B错误，C正确；
D、分力的共同作用效果与合力的作用效果相同。故D正确。
本题选择错误的，故选：B。
（多选）16．传统手工榨油利用“油锤”撞击“进桩”挤压油饼出油，如图甲所示。假设“进桩”为等腰三角形木楔，简化模型如图乙所示，木楔的顶角为θ，现在木楔右端施加力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则（　　）
A．若F一定，θ越小N越大 B．若F一定，θ越大N越大
C．若θ一定，F越大N越大 D．若θ一定，F越小N越大
【答案】AC
【解答】解：木楔受到的力有水平向左的F和两侧给它的与木楔斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给它的与木楔斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的分力是大小相等的，将力F的分解如图
根据题意有F1＝F2，所以
可得
由公式可知，当F一定时，θ越小N越大；当θ一定时，F越大N越大。故AC正确，BD错误。
故选：AC。
七．按力的效果进行分解（共3小题）
17．椎卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为桦眼的凿削操作，图乙为截面图，凿子尖端夹角为θ，在凿子顶部施加竖直向下的力F时，其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2，不计凿子的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．F1大于F2
B．夹角θ越小，F1越大
C．F大于F2
D．夹角θ越大，凿子越容易凿入木头
【答案】B
【解答】解：A.作出力F与F1和F2的关系图，如图所示
由图可知F2＞F1，F2＞F，根据几何关系有，，故A错误；
BC.由以上分析可知，力F一定时，夹角θ越大，F1和F2均变小，故B正确，C错误；
D.根据几何关系则有，，夹角θ越大，F1和F2均变小，所以夹角θ越大，凿子越不容易凿入木头，故D错误。
故选：B。
（多选）18．图甲为斧头劈开树桩的实例，树桩容易被劈开是因为劈形的斧锋在砍进木桩时，斧刃两侧会对木桩产生很大的侧向压力，将此过程简化成图乙模型，斧头截面为等腰三角形，斧锋夹角为θ，且被施加一个竖直向下的力F，则下列说法正确的是（　　）
A．斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大
B．斧锋夹角越大，斧头对木桩的侧向压力越大
C．施加的力F越小，斧头对木桩的侧向压力越小
D．施加的力F越大，斧头对木桩的侧向压力越小
【答案】AC
【解答】解：根据题意可知，将力F分解为垂直截面的两个分力，则
即
根据以上关系式分析有，则斧锋夹角θ越小，斧头对木桩的侧向压力越大；施加的力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大，故AC正确，BD错误；
故选：AC。
（多选）19．家里的书桌离墙太近，某同学想将书桌向外移动一点，但她力气太小，推不动。于是，她找来两块相同的木块，搭成一个人字形架，然后往中央一站，书桌真的移动了。下列说法中正确的是（　　）
A．这是因为在人字形架的夹角很大的情况下，该同学的重力沿木块方向的分力很大
B．这是因为在人字形架的夹角很大的情况下，该同学的重力沿木块方向的分力很小
C．人字形架的夹角越大，越容易推动书桌
D．人字形架的夹角越大，越难推动书桌
【答案】AC
【解答】解：重力的大小和方向始终不变，分解到两木板方向时，设人字形架的夹角为θ，
由平衡条件
可得该同学的重力沿木块方向的分力为
可知，人字形架的夹角越大，该同学的重力沿两木板方向的作用力越大，越容易推动书桌。
故AC正确，BD错误。
故选：AC。
八．力的分解过程中多解和极值的问题（共2小题）
20．把一个力分解为两个力时，下列说法正确的是（　　）
A．一个分力大小变化，另一个分力大小也一定变化
B．一个分力方向变化，另一个分力方向也一定变化
C．无论如何变化，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力两倍
【答案】C
【解答】解：AB．根据三角形定则，如图所示
由图可知，分力F1大小变化，另一个分力F2大小可以不变；分力F2方向变化，另一个分力F1方向可以不变；故AB错误；
C．无论如何变化，两个分力不能同时小于这个力的一半，因为若两个分力同时小于这个力的一半，当这两个分力方向相同时，合力最大，则有，故C正确；
D．当两个分力之间夹角接近180°时，两个分力可以同时都很大，同时大于这个力两倍，故D错误。
故选：C。
（多选）21．将一个大小为31N的力分解为两个力，其中一个分力的大小为13N，则另一个分力的大小可能为（　　）
A．45N B．35N C．25N D．15N
【答案】BC
【解答】解：根据两个力的合成法则，可知两个分力的合力范围为：|F1﹣F2|≤F≤F1+F2，当两个分力共线时，取得等号；
若这两个分力方向相同时，则另一个力为31N﹣18N＝18N；若这两个分力方向相反时，则另一个力为31N+13N＝44N；
所以另一个分力的大小范围为18N 44N，故AD错误，BC正确。
故选：BC。
九．力的合成与分解的应用（共2小题）
22．榫卯结构是中国传统木建筑、木家具的主要结构方式，我国未来的月球基地将采用月壤烧制的带有榫卯结构的月壤砖建设。在木结构上凿削矩形榫眼用的是如图甲所示木工凿，凿削榫眼时用锤子敲击木工凿柄，将木工凿尖端钉入木头，木工凿尖端钉入木头时的截面如图乙所示，锤子对木工凿施加的力F沿竖直面向下，木工凿对木头的侧面和竖直面的压力大小分别为F1和F2，下列说法正确的是（　　）
A．F1和F2是F的两个分力
B．凿子尖端打磨的夹角不同，F2可能大于F1
C．凿子尖端打磨的夹角不同，F2可能大于F
D．凿子尖端打磨的夹角不同，F1可能小于F
【答案】C
【解答】解：A．木工凿对木头的侧面和竖直面的压力大小分别为F1和F2，F1和F2是凿子对木头的弹力，其大小等于F在垂直两接触面方向上的分力大小，不能说F1和F2是F的两个分力，故A错误；
BCD．将F沿垂直两接触面分解，如图所示
分力大小分别等于F1和F2，则由数学知识可知F1一定大于F和F2；
当θ＜45°时，F2＞F
当θ＞45°时，F2＜F
当θ＝45°时，F2＝F
故C正确，BD错误。
故选：C。
23．在电影《阿凡达》中，潘多拉星球Na′Vi人的坐骑“Banshees”是一种看上去很凶狠的鸟类动物，Na′Vi人通常骑着它去打猎。假设魅影骑士杰克连同他的坐骑总质量为M，以速率v在空中水平面上做半径为r的匀速圆周运动，潘多拉星球表面重力加速度为g，则空气对杰克和他的坐骑的总作用力的大小等于（　　）
A． B．
C． D．Mg
【答案】A
【解答】解：空气对整体水平分力提供向心力：Fx＝M
竖直分力平衡重力Fy＝Mg
根据力的合成，空气的总作用力的大小等于
故BCD错误，A正确。
故选：A。
十．判断物体的受力个数（共2小题）
24．近期深圳市高级中学在足球场组织师生足球比赛。比赛热火朝天，同学们通过这次活动锻炼了身体，也增强了师生友谊。下列四种与足球有关的情景，说法正确的是（　　）
A．足球静止在草地上，足球对草地的压力就是足球的重力
B．静止在水平草地上且相互接触的两个足球之间不一定存在相互作用的弹力
C．踩在脚下且静止在水平草地上的足球一定受到3个力的作用
D．运球过程中摩擦力总是对学生的运动起阻碍作用
【答案】B
【解答】解：A、静止在草地上的足球对草地的压力，大小等于重力，但不是重力，故A错误；
B、静止在光滑水平地面上的两个足球虽然相互直接接触，但若没有发生弹性形变，则两个足球间没有相互作用的弹力，即每个足球一定受到重力和支持力2个力的作用，故B正确；
C、踩在脚下且静止在水平草地上的足球，脚对球不一定有压力，所以足球可能受到3个力的作用，也可能受到2个力的作用，故C错误；
D、摩擦力对学生的运动有时起阻碍作用，有时是动力，对学生的运动有帮助作用，故D错误。
故选：B。
25．如图所示，两小球A、B通过轻质细杆相连，斜靠在车厢里，两小球及车厢均处于静止状态，则下列说法不正确的是（　　）
A．A球可能受到3个力的作用
B．A球可能受到4个力的作用
C．B球一定受到3个力的作用
D．B球一定受到4个力的作用
【答案】C
【解答】解：AB.A球受重力、杆的支持力、车厢的支持力的作用，而车厢的摩擦力可能有，也可能没有，所以A球既可能受到3个力的作用，也可能受到4个力的作用，故A、B正确；
CD.B球一定受到重力、车厢的支持力、轻杆的弹力、车厢的摩擦力这4个力的作用，故C错误，D正确。
本题选不正确的，故选：C。
十一．对物体进行受力分析（共2小题）
26．如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起匀速转动，则A受力情况是受（　　）
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力和摩擦力
D．重力、支持力、向心力和摩擦力
【答案】C
【解答】解：物体在水平面上，一定受到重力和支持力的作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的静摩擦力，且静摩擦力提供向心力，故ABD错误、C正确。
故选：C。
27．如图，质量为m的物块在与水平面成θ角的恒力F作用下，沿水平面向左做匀加速运动，（1）则F与滑动摩擦力的合力方向为 　B.斜向左上　 （选填“A.竖直向上”、“B.斜向左上”或“C.斜向右上”）；
（2）若要物块不脱离水平面，恒力F需满足的条件为 　F　 。
【答案】（1）B.斜向左上；（2）F
【解答】解：（1）对物体受力分析，如图所示：
因为物体向左做匀加速运动，其合力水平向左，其中重力mg和支持力N的合力竖直向下，则F与滑动摩擦力的合力方向斜向左上方，故答案为：B.斜向左上
（2）物体不脱离水平面，在竖直方向上，则有Fsinθ≤mg，解得：F
故答案为：（1）B.斜向左上；（2）F
十二．共点力的平衡问题及求解（共2小题）
28．如图所示，某大剧院的屋顶为半球形，一只小猴在该屋顶向上缓慢爬行，它在向上爬的过程中（　　）
A．屋顶对它的作用力变大
B．屋顶对它的支持力变小
C．屋顶对它的摩擦力变大
D．屋顶对它的作用力不变
【答案】D
【解答】解：AD、小猴在该屋顶向上缓慢爬行，合力保持为零，则屋顶对它的作用力与重力大小相等，方向相反，所以屋顶对它的作用力不变，故A错误，D正确；
BC、对小猴在某点受力分析，如图所示。
将F支、Ff进行力的合成，由三角函数关系可得
F支＝Gcosθ，Ff＝Gsinθ
当缓慢向上爬行时，θ渐渐变小，则F支变大，Ff变小，故BC错误。
故选：D。
29．如图，在两竖直墙壁间一轻质弹簧水平放置，一端固定在O点，另一端将木块1压在墙壁上，保持静止。将木块1换为质量与材质相同、厚度更大的木块2，仍能保持静止。设墙壁与木块1、2间的摩擦力大小分别为f1、f2，最大静摩擦力大小分别为f1max、f2max。则（　　）
A．f1＞f2 B．f1＜f2
C．f1max＞f2max D．f1max＜f2max
【答案】D
【解答】解：AB、设木块的重力为G。根据竖直方向受力平衡可得，f1＝G，f2＝G，则f1＝f2，故AB错误；
CD、木块2的厚度更大，弹簧的压缩量更大，弹簧对木块的压力更大，则木块对竖直墙壁的压力更大，根据最大静摩擦力公式fmax＝μF压可知，f1max＜f2max，故C错误，D正确。
故选：D。
十三．利用平衡推论求解受力问题（共2小题）
30．为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新的交通工具，乘客的座椅能随着坡度的变化而自动调整，使座椅始终保持水平，如图所示。当此车减速上坡时，则乘客（仅考虑乘客与水平面之间的作用）（　　）
A．受到的支持力比他对座椅的压力小
B．不受摩擦力的作用
C．受到沿水平向左的的摩擦力
D．所受合力竖直向上
【答案】C
【解答】解：A.由牛顿第三定律可知，乘客受到的支持力和他对座椅的压力大小相等，故A错误；
D.乘客随车沿斜面向上做减速运动，由牛顿第二定律可知，乘客所受合力沿斜面向下，故D错误；
BC.合力沿斜面向下，将合力正交分解，可知乘客水平方向受向左的力，竖直方向合力向下，对乘客受力分析如图所示：
所以水平方向乘客受到向左的摩擦力，故C正确，B错误。
故选：C。
31．如图所示，质量为2kg的物体A静止于竖直的轻弹簧上，将质量为3kg的物体B无初速放在物体A上瞬间，B对A的压力大小为（　　）（g取10m/s2）
A．0 B．8N C．12N D．20N
【答案】C
【解答】解：物体A静止于竖直的轻弹簧上时，根据平衡条件有m1g＝kx
物体B无初速放在物体A上瞬间，对A、B整体，根据牛顿第二定律有
（m1+m2）g﹣kx＝（m1+m2）a
对A进行分析，根据牛顿第二定律有
N+m1g﹣kx＝m1a
解得B对A的压力大小为N＝12N，故ABD错误，C正确。
故选：C。
十四．整体法与隔离法处理物体的平衡问题（共3小题）
32．如图所示，有人把4个相同的网球叠在一起，下方3个网球紧挨着放在水平地面上，其中一个网球记为B，网球A叠放在3个网球中间的正上方，已知每个网球质量均为m，下列说法正确的是（　　）
A．下方3个球对A球的合力大于A球的重力
B．下方3个球与地面之间一定没有摩擦力
C．下方3个球受到地面的支持力大小均为
D．将B球拿走后，剩下3个球仍能保持静止
【答案】C
【解答】解：A．由平衡条件可知，下方3个球对A球的合力等于A球的重力，故A错误；
B．上面的一个球A对下面三个球的压力有水平分量，由平衡可知，下方3个球与地面之间一定有摩擦力，故B错误；
C．对4个球的整体分析可知3FN＝4mg
可得下方3个球受到地面的支持力大小均为
故C正确；
D．将B球拿走后，剩下3个球明显不能保持静止，故D错误。
故选：C。
33．如图所示，细线a通过定滑轮与小球1连接，小球1、2间用细线b连接，两小球光滑，现缓慢拉动细线a，小球1、2沿斜面缓慢上升，斜面始终静止。则该过程中（　　）
A．b中拉力逐渐增大
B．a中拉力逐渐减小
C．地面对斜面的支持力逐渐增大
D．地面对斜面的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【解答】解：A、对球2分析，因缓慢上升，小球处于平衡状态，重力和斜面对球2的支持力的大小和方向都不变，由平衡条件可知，b中的拉力不变，故A错误；
BD、对球1和球2整体分析，设绳a与斜面倾角为α，斜面的倾角为θ，整体质量为M，斜面体给球1和球2整体支持力为N，由平衡条件：
沿斜面方向：Tacosα＝Mgsinθ，Tasinα+N＝Mgcosθ，拉动细线a时，α增大，cosα减小，Ta增大，sinα增大，故N减小，隔离斜面体，球1和球2整体给斜面体的压力大小等于N，N减小，地面对斜面的摩擦力等于Nsinθ，逐渐减小，故B错误，D正确；
C、对斜面体和球1和球2整体分析，设绳a与水平方向的夹角为β，整体的质量为M1，由平衡条件：
竖直方向：FN+Tasinβ＝M1g，其中Ta增大，β增大，sinβ增大，FN减小，故C错误。
故选：D。
34．如图所示，斜面为圆弧的斜面体放置在粗糙的水平地面上，在斜面体和竖直墙面之间放置光滑的小球，小球与斜面体均处于静止状态。现用水平向右的力缓慢向右移动斜面体，小球始终未接触地面。在该过程中，下列说法正确的是（　　）
A．墙面对小球的弹力逐渐减小
B．墙面对小球的弹力逐渐增大
C．地面对斜面体的支持力逐渐减小
D．斜面体对小球的支持力逐渐增大
【答案】A
【解答】解：对小球受力分析如图
缓慢向右移动斜面体，斜面体对小球的支持力逐渐减小，墙面对小球的弹力逐渐减小；对小球和斜面体的整体分析可知，地面对斜面体的支持力等于整体的重力，则大小不变，故A正确，BCD错误。
故选：A。
十五．解析法求共点力的平衡（共3小题）
35．如图所示，轻弹簧A一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接轻弹簧B且处于平衡状态，已知定滑轮位于弹簧A固定点的正上方。现缓慢收绳，使滑轮右侧的绳长减小少许，小球仍处于平衡状态，弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为一小段圆弧
B．弹簧B的长度变长
C．弹簧A的长度变长
D．弹簧A的长度变短
【答案】A
【解答】解：小球受力如图所示，
设弹簧原长为x0，实际长度x，滑轮右侧绳长为l，则根据相似三角形可知：
根据胡克定律，有：F1＝k（x0﹣x）
解得：
所以：
B、由上式可以看出，由于重力G和高度L不变，所以当l减小，则轻绳拉力F2减小，所以弹簧B长度减小，故B错误；
CD、由于F1的大小不变，即弹簧A的弹力大小不发生变化，所以长度x不变，故CD错误；
A、由于收绳后弹簧的实际长度x不发生变化，轨迹为圆弧，故A正确。
故选：A。
36．如图所示，用水平恒力F绕过光滑滑轮拉绳，物块在粗糙水平面上向左运动的过程中，关于物块受力情况，下列说法不正确的是（　　）
A．地面对物块的支持力逐渐减小
B．地面对物块的支持力不变
C．地面对物块的摩擦力变小
D．物块受到的支持力与摩擦力比值恒定
【答案】B
【解答】解：ABC、分析物块的受力情况，如图所示。
竖直方向根据平衡条件可得
Fsinα+N＝G
可得N＝G﹣Fsinα
物块在水平面上向左运动的过程中，α增大，则N减小，由f＝μN知，地面对物块的摩擦力变小，故AC正确，B错误；
D、由f＝μN得＝，可知物块受到的支持力与摩擦力比值恒定，故D正确。
本题选不正确的，故选：B。
37．野炊时，如图甲所示，三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上。炊具与食物的总质量为m，各杆与竖直方向的夹角均为45°。出于安全考虑，盛取食物时用光滑铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆，如图乙所示。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．烹煮食物时，各杆对地面的作用力大小均为
B．烹煮食物时，各杆受到地面的摩擦力大小均为
C．拉动吊绳过程中，吊绳上的张力大小不变
D．拉动吊绳过程中，铁钩对吊绳的作用力方向不变
【答案】C
【解答】解：A、根据共点力平衡有，在竖直方向上满足3Fcos45°＝mg，解得：
由此可知烹煮食物时，各杆对地面的压力大小均为，故A错误；
B、烹煮食物时，各杆受到地面的摩擦力大小，根据水平方向上受力关系满足f＝Fsin45°＝＝，故B错误；
C．拉动吊绳过程中，炊具与食物受力平衡，故绳子的拉力等于炊具与食物的重力，故大小不变，故C错误；
D．拉动吊绳过程中，节点受到竖直向下的绳子拉力、斜向上的绳子拉力，以及铁钩对吊绳的作用力，在拉动吊绳过程中，斜向上的绳子拉力的方向改变，根据共点力平衡可知铁钩对吊绳的作用力方向改变，故D错误。
故选：C。
十六．图解法解决动态平衡问题（共2小题）
38．一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力F，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。现将F的方向由图示位置逆时针旋转至竖直方向的过程中，小球始终在图中位置保持平衡，则（　　）
A．绳子拉力一直增大 B．F一直减小
C．F的最小值为mgsinθ D．F的最小值为mgtanθ
【答案】C
【解答】解：对小球受力分析，作出矢量三角形如下图所示
将F由图示位置逆时针缓慢转至竖直的过程中，在力的平行四边形中，可以看到F先变小后变大，绳子的拉力一直减小。且当F与T垂直时，F取得最小值，此时
F＝mgsinθ
故ABD错误，C正确；
故选：C。
39．如图所示，质量为M的半圆柱体放在水平面上，质量为m的光滑小球紧靠着半圆柱体放置。现将一水平外力作用在小球上，使小球缓慢地沿半圆柱体的外表面上升，直到最高点，半圆柱体始终静止不动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．地面所受的压力逐渐减小
B．水平外力先增大后减小
C．θ＝30°时，小球对半圆柱体的压力大小为
D．θ＝30°时，水平外力大小为
【答案】D
【解答】解：A．由平衡条件可知，对M、m整体，竖直方向，M受到的地面给的支持力大小始终等于（m+M）g，根据牛顿第三定律可知，地面所受的压力始终为（m+M）g，故A错误；
B．小球受到支持力N、拉力F、重力mg而平衡，如图
随着θ增大，N、F均减小，故B错误；
C．θ＝30°时，由三角形定则可知
根据牛顿第三定律可知，小球对半圆柱体的压力大小为N′＝N＝2mg
故C错误；
D．θ＝30°时，由三角形定则可知
故D正确。
故选：D。
十七．相似三角形法解决动态平衡问题（共3小题）
40．如图所示，圆心为O、半径为R＝1m的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝5N
B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变
C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小FT＝10N
D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大
【答案】B
【解答】解：对小球受力分析，可知其受重力mg、支持力FN、拉力FT，由平衡条件可知，这三个力可构成闭合的矢量三角形，由几何关系可知，该矢量三角与三角形AOC相似，如下图：
如图，记AC＝L，AO＝BO＝R，CB＝h，
则有：，
可得：，，
解得：FN＝4N，FT＝8N，
缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B的过程，其中mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小，故B正确，ACD错误；
故选：B。
41．如图所示，长为L的轻质细绳一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球B，小球B与固定在O点正下方的A球用劲度系数为k1的轻弹簧相连。平衡时，细绳拉力为T1，弹簧弹力为F1；现仅把弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2（k2＞k1）的另一轻弹簧，重新平衡后，细绳拉力为T2，弹簧弹力为F2。下列说法正确的是（　　）
A．T1＜T2 B．T1＞T2 C．F1＜F2 D．F1＞F2
【答案】C
【解答】解：对B球受力分析并合成矢量三角形
根据图中结合关系可知：
可知绳子长度不变，绳子拉力不变，所以T1＝T2，故AB错误
根据可知
当换用另一个劲度系数较大的弹簧k2时，弹簧的压缩量减小，因此AB长度应该变大，则F也应该变大，则F1＜F2，故D错误，C正确。
故选：C。
42．如图甲所示是某中学科技馆外部照片，该建筑外形呈球形，表面可视为光滑球面。该球面对应的圆心为O、半径R＝3m。现要在其顶部安装一质量为1kg的球形光滑零件（可视为质点）。如图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5m处。现转动滑轮收缩轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4m，重力加速度大小为g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5N
B．零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10N
C．缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先变小后变大
D．缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小
【答案】D
【解答】解：AB、根据题意，对零件受力分析，零件受力如图所示
由平衡条件作图，可知力的矢量三角形与几何三角形AOO′相似，则有
代入数据解得FN＝6N，FT＝8N，故AB错误；
CD、缓慢地拉轻绳使零件由A运动到B，其中mg、h、R均不变，L逐渐减小，根据，可知，FN不变，FT变小。故C错误，D正确。
故选：D。
十八．辅助圆法解决动态平衡问题（共3小题）
43．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态。把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，则在这个过程中（　　）
A．OA绳的拉力逐渐减小
B．OA绳的拉力先增大后减小
C．OB绳的拉力先增大后减小
D．OB绳的拉力先减小后增大
【答案】B
【解答】解：以重物为研究对象，重物受到重力mg、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2三个力而平衡，三个力的合力始终为0，矢量三角形如图所示：
在转动的过程中，OA绳的拉力F1先增大，转过直径后开始减小，OB绳的拉力F2开始处于直径上，转动后一直减小，故B正确，ACD错误。
故选：B。
44．如图所示，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（　　）
A．若初始时剪断细线，F保持不变，小球将做平抛运动
B．保持F水平，缓慢增大θ角，则F逐渐减小，FT逐渐增大
C．保持θ角不变，缓慢减小α角过程中α＝2θ时细线拉力FT最小
D．保持θ角不变，缓慢减小α角过程中α＝θ时细线拉力FT最小
【答案】D
【解答】解：A.若初始时剪断细线，F保持不变，小球受F与重力作用，小球不会做平抛运动，故A错误；
BCD.对小球受力分析，结合题意可得下图：
保持F水平，由前面分析，结合几何知识可知：FTcosθ＝G，F＝Gtanθ
逐渐缓慢增大θ角，则cosθ逐渐减小，tanθ逐渐增大，则FT、F都逐渐增大
小球受重力G、外力F和细线拉力FT作用，保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角时，细线拉力FT逐渐减小，α＝θ时细线拉力FT最小，此时细线拉力FT＝0，
故BC错误，D正确；
故选：D。
（多选）45．如图所示，一个竖直放置的圆环上有三根轻绳连接于圆心O点处，AO、BO相互垂直，另一端连接在圆环上，CO上挂着个重为4N的物体，若绳AO、BO在设计上能承受的最大拉力均为，则为了测试绳子的质量是否达标，应将圆盘旋转多少以达到检验的目的（　　）
A．5° B．10° C．20° D．30°
【答案】BC
【解答】解：对圆环上物体进行受力分析，重力大小方向不变，AO、BO 绳拉力方向变化，CO 绳拉力方向始终竖直向上。设 AO 与竖直方向夹角为α，BO 与竖直方向夹角为β，由于 AO、BO 相互垂直，α+β＝ 90°。当圆盘旋转时，两绳拉力大小会改变，当其中一根绳子拉力达到设计的最大拉力2N时达到检测目的。已知物体重力G ＝ 4N，则根据几何关系可得TAO＝Gcosα，TBO＝Gsinα，绳AO、BO在设计上能承受的最大拉力均为，故α＝30°或者60°，所以圆盘顺时针旋转10°或者逆时针旋转20°即可，故BC正确，AD错误。
故选：BC。
十九．受力平衡中的临界与极限问题（共3小题）
46．单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（　　）
A．每个手指对球的摩擦力大小为
B．两手指间距L的取值范围为
C．每个手指手对球的压力最小值为
D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍
【答案】B
【解答】解：A．对篮球受力分析，如图
竖直方向由平衡条件：
可得：
所以每个手指对球的摩擦力大小满足：，故A错误；
C．因为：f≤μN
可得：
即：
故每个手指手对球的压力最小值为，故C错误；
B．由：
可得：Nsinθ＜μNcosθ
可得：μ＞tanθ
根据几何关系得：
由图中几何关系可得：
可得：
故两手指间距L的取值范围为：，故B正确；
D．当篮球受到手的静摩擦力时，f≠μN，手对球的压力增大2倍时，重力不变，摩擦力的方向不变，摩擦力的大小不变，故D错误。
故选：B。
47．如图所示，三条轻绳结于P点，物块A用绳悬挂在结点P上，PQ绳与竖直墙角度β＝37°，由P点通过定滑轮C连接物块B的绳与水平方向的夹角α＝53°，PC部分水平，整个装置处于静止状态。已知物块A的质量为mA＝4kg，物块B的质量mB＝8kg，物块B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.45，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有绳及光滑滑轮的质量不计。cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，重力加速度大小为g＝10m/s2。求：
（1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小；
（2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小；
（3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，求物块A质量的最大值。
【答案】（1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小分别为50N、30N；
（2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小分别为56N、18N；
（3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，物块A质量的最大值为5kg。
【解答】解：（1）设PQ绳的拉力为F1，PC的拉力为F2，根据题意，对结点P受力分析，可得下图：
由平衡条件可得：
F1sinβ＝F2，
F1cosβ＝mAg，
联立可得：
F1＝50N，即PQ绳的拉力大小为50N，
F2＝30N，即PC绳的拉力大小为30N；
（2）设地面对物块B的支持力大小为FN，地面对物块B的摩擦力大小为Ff，根据题意，对B受力分析，可得下图：
由平衡条件可得：
F2sinα+FN＝mBg，
Ff＝F2cosα，
联立可得：
FN＝56N，
Ff＝18N；
（3）设物块A质量为最大值mAm时，BC绳的拉力大小为F3，物块B受到的最大静摩擦力为Ffm，地面对物块B的支持力大小为F'N，
同（2）思路，由平衡条件可得：
F3sinα+F′N＝mBg，
Ffm＝F3cosα，
由最大静摩擦力等于滑动摩擦力可得：
Ffm＝μF′N，
由（1）可得：
F3＝mAmgtanβ，
联立可得：
mAm＝5kg；
答：（1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小分别为50N、30N；
（2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小分别为56N、18N；
（3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，物块A质量的最大值为5kg。
48．我国古代《墨经》一书中记载了利用斜面提升重物的方法，这一方法在现代生活中仍然被广泛应用。如图所示，装载货箱时，常会在卡车尾处斜搭表面均匀的长直木板构成斜面，工人施加一定的推力可将货箱沿斜面推入车厢。
已知斜面倾角θ＝30°，货箱质量为m，货箱与斜面间的动摩擦因数μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若工人对货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，求：人对货箱推力大小的范围。
【答案】人对货箱推力大小的范围为
【解答】解：最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知斜面倾角θ＝30°，所以
所以货箱不能自由静止在斜面上，当货箱所受摩擦力沿斜面向上取到最大时水平推力最小，设为Fmin，货箱受力如图甲所示
由平衡条件得：
Ff+Fmin＝mgsinθ，FN＝mgcosθ
又
Ff＝μFN
联立解得
当货箱所受静摩擦力沿斜面向下取到最大时，水平推力最大，设为Fmax，货箱受力如图乙所示
由平衡条件得
Fmax＝mgsinθ+Ff，FN＝mgcosθ
又
Ff＝μFN
联立解得
则人对货箱推力大小的范围为
答：人对货箱推力大小的范围为。
二十．自锁问题（共2小题）
49．一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾角θ＝30°）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN（FN为正压力）求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。下面说法正确的是（　　）
A．自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向左
B．锁舌D受到锁槽E摩擦力的方向沿侧面向上
C．无论μ多大，暗锁仍然能够保持自锁状态
D．无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，μ存在其最小值
【答案】D
【解答】解：AB．如图所示：
锁舌D在水平面内受底部的摩擦力f1、弹簧的弹力2个力的作用，锁舌D的下表面所受到的最大静摩擦力为f1，其方向向右，锁舌D受到锁槽E摩擦力f2的方向沿侧面向下，故AB错误；
CD．设锁舌D受到锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，由平衡条件kx+f1+f2cosθ﹣Nsinθ＝0
F﹣Ncosθ﹣f2sinθ＝0
又f2＝μN
f1＝μF
联立上述方程得
令N趋向于无穷大，则有
解得
则μ最小值为，故D正确，C错误。
故选：D。
50．如图，两个质量均为m的小物块A、B静止放在粗糙水平面上，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，夹角为α的两根等长轻杆一端通过光滑铰链连接在O处，另一端分别通过光滑铰链连接在A、B上。现在O处施加一个竖直向下的压力，已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，在O处施加的压力大小为F时，求物块A受到地面最大静摩擦力的大小；
（2）若α＝74°且无论在O处施加竖直向下的压力多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件。
【答案】（1）物块A受到地面最大静摩擦力的大小；
（2）物块与水平面间的动摩擦因数应满足μ≥0.75。
【解答】解：（1）根据滑动摩擦力公式
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所以
（2）由题意分析可知，轻杆对物块沿水平方向的分力不大于最大静摩擦力，竖直方向
水平方向上
解得
当F远远大于2mg时，上式整理为
μ≥0.75
答：（1）物块A受到地面最大静摩擦力的大小；
（2）物块与水平面间的动摩擦因数应满足μ≥0.75。
二十一．晾衣杆模型（共4小题）
51．抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B分别沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A．沿虚线a向左移动，细线的拉力减小
B．沿虚线b向上移动，细线的拉力减小
C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变
D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大
【答案】A
【解答】解：A、设绳子长度为L，绳子与竖直方向的夹角为θ，AB两点水平间距为d，如图所示：
由几何关系可得：
根据平衡条件可得：2Fcosθ＝mgA．沿虚线a向左移动，d减小、θ减小、cosθ增大，则细线的拉力减小，故A正确；
B．沿虚线b向上移动，d不变、θ不变、cosθ不变，细线的拉力不变，故B错误；
C．沿虚线c斜向上移动，d增大、θ增大、cosθ减小，细线的拉力增大，故C错误；
D．沿虚线d向右移动，空竹受力平衡，根据平衡条件可知，细线对空竹的合力与重力等大反向，所以细线对空竹的合力不变，故D错误。
故选：A。
52．如图所示，一不可伸长的轻绳两端固定在晾衣杆的A、B两点。衣服通过衣架的光滑挂钩挂在轻绳上，同时衣服受到水平向右的恒定风力F，平衡后将结点B缓慢上移，绳子中的拉力将（　　）
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．先变大后变小 D．保持不变
【答案】B
【解答】解：对挂钩受力分析，如图所示，将重力G与风力F合成为等效重力G′，两段绳的拉力T等大，其合力与等效重力G′等大反向。
′′
过A、B分别做平行于G′的直线a、b（直线a、b为等效的晾衣杆），直线a、b之间的距离为c，设绳子与直线a、b的夹角为θ。
由几何关系和平衡条件可得：2Tcosθ＝G′
平衡后将结点B缓慢上移，即直线a、b之间的距离变大（等效的晾衣杆距离变大，如图虚线所示），绳子总长度一定，由几何关系可知，θ较变大，cosθ变小，则T增大。故B正确，ACD错误。
故选：B。
53．抖空竹是一种传统杂技。如图，表演者一只手控制绳A端不动，另一只手控制绳B端沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A．绳长不变，沿虚线a向左移动，细线的拉力变大
B．绳长不变，沿虚线b向上移动，细线的拉力变大
C．绳长不变，沿虚线c斜向上移动，细线的拉力变大
D．绳长不变，沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力变大
【答案】C
【解答】解：A.设细线中拉力大小为F，空竹两侧细线与水平方向夹角为θ，细线长度为L，A、B间水平方向距离为d，
对空竹受力分析，如图：
根据平衡条件可得：2Fsinθ＝ mg，
由几何关系可得：，
沿虚线a向左移动时，d减小，则θ增大，细线的拉力减小，故A错误；
B.结合前面分析可知，沿虚线b向上移动，d不变，则θ不变，细线的拉力不变，故B错误；
C.结合前面分析可知，沿虚线c斜向上移动，d增大，则θ减小，细线的拉力增大，故C正确；
D.结合前面分析可知，沿虚线d向右移动，d增大，则θ减小，细线的拉力增大，但细线对空竹的合力不变，等于空竹的重力，故D错误；
故选：C。
（多选）54．晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，A、B两点等高，原来无风状态下衣服保持静止。某时一阵恒定的风吹来，衣服受到水平向右的恒力而发生滑动，并在新的位置保持静止，如图所示。两杆间的距离为d，绳长为1.25d，衣服和衣架的总质量为m，重力加速度为g，（sin37°＝0.6。不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，下列说法正确的是（　　）
A．在有风且风力不变的情况下，绳子右端由A点沿杆略向下移到C点，绳子的拉力变小
B．有风时，挂钩左、右两侧绳子的拉力大小不相等
C．相比无风时，在有风的情况下∠AOB小
D．无风时，轻绳的拉力大小为
【答案】AC
【解答】解：A．重力、风力的合力为恒力与两细绳拉力的合力等大反向，如图所示
当在有风的情况下，将A点沿杆稍下移到C点，两端绳子之间的夹角变小，则拉力F变小，故A正确；
B．不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，挂钩相当于动滑轮，两端绳子的拉力总是相等，故B错误；
C．设无风时绳子夹角的一半为θ1，绳长为L，有风时绳子夹角的一半为θ2，有风时如图
根据几何关系可得：
L1+L2＝Lsinθ2
d＝Lsinθ1
又因为
d＞L1+L2
所以θ1＞θ2
故C正确；
D．无风时，衣服受到重力和两边绳子的拉力处于平衡状态，如图所示，同一条绳子拉力相等，则挂钩左右两侧绳子与竖直方向的夹角相等。由几何关系可得
解得：θ＝53°
根据平衡条件可
mg＝2Fcosθ
解得
故D错误。
故选：AC。
二十二．力矩的平衡条件（共4小题）
55．扩张机的原理示意图如图所示，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块E就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，E与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（　　）
A．3000N B．2000N C．1000N D．500N
【答案】B
【解答】解：将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示：
则有：2F1cosα＝F，
得：F1＝F2＝；
再将F1按作用效果分解为FN和FN'，作出力的分解图如图乙所示：
则有：FN＝F1sinα，联立得到：FN＝；
根据几何知识可知：tanα＝＝10。
得到：FN＝5F＝2000N，故B正确，ACD错误。
故选：B。
56．一直梯斜靠在光滑的竖直墙上，下端放在粗糙的水平地面上，人站在直梯上，人和梯都处于静止状态。设地面对直梯的弹力为F1，摩擦力为f，竖直墙面对直梯的弹力为F2。下列说法正确的是（　　）
A．人的位置越高，弹力F1越大
B．人的位置向上移动，弹力F2不变
C．人的位置越高，梯子所受合外力越大
D．人的位置越高，地面对直梯的摩擦力f越大
【答案】D
【解答】解：AC、把人与梯子当成一个整体，人的位置升高，但人和梯子仍处于静止状态，故梯子所受合力为零，地面对直梯的弹力为F1与他们的重力大小相等，方向相反，故AC错误；
BD、对人和梯子整体受力分析如图所示：
整体受重力G、竖直墙壁的支持力F2、地面的支持力F1和地面的摩擦力f，图中F为F1与f的合力，根据共点力平衡条件可知，F、G和F2三力平衡，三个力的延长线交于一点O，人站在梯子上，缓慢爬到梯子的顶端的过程中，梯子和人整体的重心大致向左上移动，则三里交汇点O水平向左平移，则可知F与竖直方向的夹角增大，设该夹角为θ，而F在竖直方向的分量始终与重力G平衡，即始终有Fcosθ＝F1＝G
显然，夹角增大，力F必然增大，而力F的水平分量f＝Fsinθ
则可知地面对直梯的摩擦力增大，而水平方向始终有f＝F2
由此可知，人站的位置越高，直梯受到地面的摩擦力越大，竖直墙壁对直梯的作用力越大，故D正确，B错误。
故选：D。
（多选）57．梯子是生产、生活中常用的登高工具。将梯子靠在光滑的竖直墙壁上，爬梯子的人可视为质点，梯子的重心位于其几何中心，如图所示。梯子与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，某时刻人正好位于梯子的重心处静止不动，梯子与竖直墙壁之间的夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　）
A．地面对梯子的支持力等于人与梯子的重力之和
B．梯子与地面的动摩擦因数μ≥0.375
C．人缓慢向上爬行，梯子与地面可能发生相对滑动
D．人缓慢向下爬行，梯子与地面可能发生相对滑动
【答案】ABC
【解答】解：A、对人和梯子整体分析，作出受力分析图如下所示。
根据平衡条件可知，地面对梯子的支持力F1等于人与梯子的重力之和mg，墙壁向左的弹力F2等于地面对梯子的摩擦力f，故A正确；
B、选取A点为支点，根据杠杆的平衡条件有
mg×ABsin37°＝F2×ACcos37°
其中B为AC的中点，即AC＝2AB，解得
f＝F2＝mg
则μ≥＝＝0.375，故B正确；
CD、人缓慢向上爬行，则重心上移，①式中AB变大，则F2变大，若F2大于地面的最大静摩擦力，梯子与地面会发生相对滑动，故C正确，D错误。
故选：ABC。
58．如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。此时线圈受到的安培力大小为 　nBIl　 。然后使电流反向，大小不变。这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡，此时线圈受到的安培力方向 　向下　 （填“向上”或“向下”）。重力加速度g。根据上述条件得磁感应强度为 　　 。
【答案】nBIl，向下，
【解答】解：根据安培力公式可得线圈所受安培力为F＝nBIl；
电流方向改变大小不变，则安培力大小不变，根据左手定则可判断此时的安培力方向向下；
电流反向，大小不变，则安培力变化了2nBIl，根据左手定则，此时安培力的方向向下，根据平衡关系得2nBIl＝mg
解得：
故答案为：nBIl，向下，
二十三．探究两个互成角度的力的合成规律（共2小题）
59．在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，如图甲所示，橡皮条的一端固定，另一端系一轻质小圆环，自然长度为GE。图乙中，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环，小圆环在拉力F1、F2的作用下处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。图丙中，改用一个力F单独拉住小圆环，仍然使小圆环处于O点。则图乙所示步骤中不需要记录的是（　　）
A．EO长度 B．O点位置
C．力F1、F2的方向 D．弹簧测力计示数
【答案】A
【解答】解：CD．实验中需要确定力的大小与力的方向，即需要记录力F1、F2的方向与弹簧测力计示数，故CD错误；
B．为了使用两根弹簧测力计拉橡皮条的效果与用一根弹簧测力计拉橡皮条的效果相同，实验中需要记录O点位置，故B错误；
A．结合上述可知，为了作出平行四边形，需要记录力F1、F2的方向、弹簧测力计示数与O点位置，不需要记录EO长度，故A正确。
故选：A。
60．在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，用两个弹簧测力计将橡皮条拉到O点和用一个弹簧测力计将橡皮条拉到O点，测得的数据处理如图所示，其中不是弹簧测力计实际测量的力是（　　）
A．F′ B．F C．F1 D．F2
【答案】A
【解答】解：在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验，在用两个弹簧测力计测拉力时，根据平行四边形定则作出的合力是合力的理论值，由于误差的存在，不一定沿橡皮筋方向；用一个弹簧测力计测出的拉力是合力的实际值，一定沿橡皮筋方向；图中F′为合力的理论值，F为合力的实际值，F1、F2为两个分力，故A正确，BCD错误。
故选：A。

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