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2026年中考数学一轮复习专题★★
　矩形中的折叠问题
如图，与折叠有关的计算常用性质：
(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；
①线段相等：ED′＝ ，EG＝ ，FD′＝ ；
②角度相等：∠D′＝ ，∠D′EG＝ ，∠D′FG＝ ；
③全等关系：四边形FD′EG≌ ；
AD
AG
FD
∠D
∠DAG
∠DFG
四边形FDAG
(2)折痕可看作垂直平分线：GF⊥ (折痕垂直平分连接两个对应点的连线)；
(3)折痕可看作角平分线，∠EGF＝ (对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)；
(4)折叠遇平行线等腰必出现(平行线＋角平分线等腰必出现)：△AGE，△FEG为 三角形；
(5)在折叠问题中，常用到的解题方法有：①勾股定理；②相似；③等面积法；④锐角三角函数．
AE
∠AGF
等腰
类型一：折痕过矩形的对称轴
(1)如图①，矩形ABCD中，E，I分别是边AB，DC的中点，G为AD边上一点，将△CDG沿CG翻折，点D落在EI上点F处，若CG＝4，则AB＝ ；
6
(2)折纸活动中含有大量数学知识，如图②，已知四边形ABCD是一张正方形彩纸，在一次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开(二分之一)折痕EI和四开(四分之一)折痕KJ，然后将A，D分别沿EF，EG折叠到点H，并使H刚好落在KJ上，∠EHK＝ ，已知BF＝4－6，则FG的长度为 .
30°
8
类型二：折痕过顶点
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.
(1)如图③，沿矩形的对角线BD翻折，得到△BC′D，BC′交AD于点E，则AE的长为 ；
(2)如图④，E是BC上一点，将△DCE沿DE折叠得到△DC′E，当A，C′，E三点共线时，CE＝ ；
(3)如图⑤，当C′落在对角线BD上时，CE＝ ；
(4)如图⑥，当点E在AB边上时，将△AED沿DE折叠，得到△A′ED，A′正
好落在BC边上，则 BE＝ .
1.75
8－2
3
方法点拨：在图①中，FK＝CK＝GK，由FI∥BC得∠KFC＝∠KCF＝∠FCB＝∠DCG＝30°.
方法点拨：在图②中，AF＝FH，GH＝DG，DE＝AE＝EH，在Rt△EKH中，EK＝ED＝EH，设DG＝m，ED＝EH＝AE＝m，AF＝3m.
方法点拨：在图③中，BE＝ED，设AE＝x，则BE＝8－x，由勾股定理得(8－x)2＝x2＋62.
方法点拨：在图④中，C′D＝CD＝6，AC′＝2，设CE＝x，则BE＝8－x，C′E＝x.由勾股定理得62＋(8－x)2＝(2＋x)2.
类型三：折痕过邻边上两点
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是BC边上的一点，P是CD上的一点，连接BD，将△PCE沿PE折叠得到△PC′E.
(1)如图⑦，连接AC，若P为CD的中点，点C′恰好落在对角线AC上，则CE的长为 ；
(2)如图⑧，连接CC′，若点C′恰好落在边AD上，PE∥BD，则CP的长为 ；
(3)如图⑨，若点C′落在矩形ABCD的外部，PE∥BD，EC′，PC′分别交AD于F，G两点，且DP＝FC′，则CP的长为 .
1
2.5
3
方法点拨：在图⑦中，△PEC∽△BDC，DP＝PC＝2；在图⑧中，易知tan∠C′CD＝tan∠DBC＝，从而C′D＝2，在Rt△C′PD中，设C′P＝CP＝x，则x2＝(4－x)2＋22.
在图⑨中，C′P＝FD，C′F＝DP＝4－x，EF＝2x－C′F＝3x－4，则x2＋42＝(3x－4)2.(如图)
类型四：折痕过对边上两点
(一题多角度)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点C，D分别落在点C′，D′处．
(1)如图⑩，若C′E与AD交于点G，且∠BEG＝76°，则∠CEP＝ ；
(2)如图 ，若AP＝3PD，点C恰好落在AD边上的点C′处，则cos ∠PC′E
的值为 ；
(3)如图 ，若顶点C恰好落在顶点A处，则折痕PE的长为 .
52°
【解析】连接PC，则△PCD≌△PC′D′，∠PC′E＝∠CPD.
【解析】作PF⊥BC，EC＝AE＝AP＝8－D′P，根据勾股定理求解即得．
2
基本折法：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A′B′FE，点B′恰好落在AD边上．

特殊结论：连接BE，△ABE≌△A′B′E.
如图，当点B′与点D重合时，过点E作EG⊥BC，则△EFG∽△BB′C；四边形BEB′F为菱形．

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