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2026年中考数学一轮复习专题★★正方形
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形(新增)的概念，以及它们之间的关系．
②正方形既是矩形，又是菱形．(改动)
③理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．(新增)
考点一：正方形的性质与判定
1．正方形的概念及其性质
平行四边形
定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的① 叫做正方形(正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质)
边
两组对边分别平行，四条边相等
角
四个角都是② _
对角线
对角线相等且③ ， 每一条对角线平分一组对角
直角(90°)
互相垂直平分
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形，有④ 条对称轴，两条对称轴是两条对角线所在的直线，另两条对称轴是过对角线交点与边平行的直线
面积
等于边长的平方或对角线之积
(或对角线平方)的一半，即
如图，S＝AB2＝12AC·BD＝12AC2＝12BD2
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形，有④ 条对称轴，两条对称轴是两条对角线所在的直线，另两条对称轴是过对角线交点与边平行的直线
面积
4
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系(含正方形的判定①～⑥)
从边、角的角
度看
?
从对角线的角
度看
考点二：中点四边形
定义
顺次连接任意四边形各边中点所形成的图形
常见
结论
原图形
任意
四边形
对角线相等
的四边形
(如矩形)
对角线垂直
的四边形
(如菱形)
对角线垂直且
相等的四边形
(如正方形)
中点四边形的形状
平行
四边形
⑤____
⑥____
⑦________
中点四边形的周长、面积
周长是原图形对角线之和，面积是原图形面积的一半
【提示】判断一个四边形的中点四边形形状的关键是判断其两条对角线的位置关系和数量关系
菱形
矩形
正方形
1．(人教八下P59练习T2变式)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是对角线AC上一点，连接BE.已知正方形面积为16，BC＝CE.
(1)正方形的边长为 ；
(2)正方形ABCD的周长为 ；
(3)AO的长为 ；
(4)∠DBE的度数为 ；
(5)点E到AB的距离为 .
4
16
22
?
22.5°
4－22
?
2．(人教八下P60练习T3变式)如图，在?ABCD中，连接AC，BD交于点O.
(1)若AB＝AD，请添加一个条件： ，使?ABCD为正方形；
(2)若∠ADC＝90°，请添加一个条件： ，使?ABCD为正方形．
∠ABC＝ 90°(答案不唯一)
AC⊥BD(答案不唯一)
3.(人教八下P67复习题T6变式)如图，矩形ABCD的对角线AC的长为10 cm，顺次连接各边中点E，F，G，H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为 cm.
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重难点：正方形的性质与判定
(1)已知四边形ABCD为平行四边形．
Ⅰ)若∠ABC＝90°，则要使?ABCD为正方形，需添加的条件为__________
__________；
Ⅱ)连接AC，BD，若AC⊥BD，则要使?ABCD为正方形，需添加的条件为
；
(2)如图①，若四边形ABCD为正方形，E是CD上一点，连接BE，交AC于点P，且AB＝4.
Ⅰ)AC的长为 ，∠BAC＝ ；
Ⅱ)若E是CD的中点，则AP的长为 ，S△ABP∶S△CEP＝ ；
AB＝BC(答
案不唯一)
∠ABC＝90°(答案不唯一)
42
?
45°
823
?
4∶1
(3)若四边形ABCD为正方形，连接AC，BD交于点O.
Ⅰ)如图②，点H，K分别是OB，OD上的点，连接AH，CH，CK，AK.若四边形AHCK是菱形，且????????????????＝43，则????????????????＝ ，S正方形ABCD∶S菱形AHCK＝ ；
Ⅱ)如图③，N是OC的中点，M是BC上一点，Q为对角线BD上一点．若AB＝4，BM＝3，则QM＋QN的最小值为 .
?
22
?
22∶1
?
13
?
在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线BC于点F.
(1)如图①，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系，并说明理由；
解：EA＝EF，
理由：过点E作GH⊥BC于点H，交AD于点G.
∵在正方形ABCD中，∠EBH＝45°，
∴AG＝BH＝EH.
∵∠AGE＝∠AEF＝∠EHF＝90°，
∴∠GAE＋∠AEG＝∠HEF＋∠AEG＝90°，
∴∠GAE＝∠HEF，∴△AGE≌△EHF(ASA)，∴EA＝EF.
(亦可过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，构造“旋转型”全等)
【分层分析】
利用全等三角形的性质证明线段相等是常用的方法，本题中容易想到以EA，EF为斜边构造全等的直角三角形，既可作辅助线构造“一线三直角型”全等，也可构造“旋转型”全等．
(2)如图②，若点F在线段CB的延长线上，写出线段BC，BE和BF的数量关系，并说明理由；
解：BC＝BF＋2BE.理由：
解法1：过点E作GH⊥BC于点H，交AD于点G.
同(1)得FH＝EG，BH＝AG＝EH，∴BH＝EH＝22BE，
∴BC＝AB＝GH＝GE＋EH＝FH＋EH＝BF＋BH＋EH＝BF＋2BE.
解法2：连接CE，在BC上截取CP＝BF，连接EP.
由正方形的对称性结合(1)可知CE＝EA＝EF，
∴∠ECP＝∠EFB.易证△ECP≌△EFB，∴PE＝BE.
∵∠EBP＝45°，∴△EBP为等腰直角三角形，
∴PB＝2BE，∴BC＝CP＋PB＝BF＋2BE.
?
【分层分析】
虽然点F在线段CB的延长线上，但根据解题经验可知，辅助线的添法及解题思路应延续第(1)问．
(3)如图③，若点F在线段BC上，过点F作FH⊥BD于点H.求证：BD＝2EH；
证明：证法1：由(1)知△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，
∵∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠AFE＝∠ABD＝45°，∴∠BAF＝∠HEF.
∵FH⊥BD，∴∠EHF＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△EHF，∴????????????????＝????????????????.
∵∠CBD＝45°，FH⊥BD，
∴△BHF为等腰直角三角形，∴????????????????＝2，∴????????????????＝2，即AB＝2EH.
∵在正方形ABCD中，BD＝2AB，∴BD＝2EH.
?
证法2：过点A作AO⊥BD于点O，易知BD＝2BO.
由(1)知EA＝EF，易证Rt△AOE≌Rt△EHF，∴OE＝HF.
易知△BHF为等腰直角三角形，∴BH＝HF，∴OE＝BH，
∴EH＝OH＋OE＝OH＋BH＝BO＝12BD，即BD＝2EH.
?
【分层分析】
思路1：欲证BD＝2EH，注意到BD＝2AB，证AB＝2EH.
思路2：欲证BD＝2EH，取BD中点O，证BO＝EH.
?
(4)如图④，连接AF交BD于点G，BG∶EG＝3∶5.
Ⅰ)试判断以BG，EG，DE三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由；
Ⅱ)若AB＝12，求AG·FG的值．
解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接HG.
Ⅰ)能构成直角三角形．
理由：∵△ADE≌△ABH，
∴AH＝AE，BH＝DE，
∠ABH＝∠ADE，∠BAH＝∠DAE.
∵在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADE＝45°，
∴∠ABH＝45°，∴∠HBG＝∠ABH＋∠ABD＝90°，
∴HG2＝BH2＋BG2＝DE2＋BG2.由(1)知∠EAF＝45°，
∵∠HAG＝∠BAG＋∠BAH＝∠BAG＋∠DAE＝45°.
∴△HAG≌△EAG(SAS)，∴HG＝EG，∴EG2＝DE2＋BG2，
∴以BG，EG，DE三条线段为边能构成直角三角形．
Ⅱ)设BG＝3a，∵BG∶EG＝3∶5，∴HG＝EG＝5a.
由Ⅰ)知EG2＝DE2＋BG2，即(5a)2＝DE2＋(3a)2，
∴DE＝4a，∴BD＝BG＋EG＋DE＝3a＋5a＋4a＝12a.
∵在正方形ABCD中，BD＝2AB＝122，∴a＝2，
易知△AGB∽△EGF，∴????????????????＝????????????????，
∴AG·FG＝BG·EG＝15a2＝30.
?
【分层分析】
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，即可将DE转化为BH，连接HG.
Ⅰ)判断三条线段能否构成直角三角形，需要先将三条线段组合成一个三角形，注意到∠EAF＝45°，证明HG＝EG，即可判断．
Ⅱ)联系Ⅰ)问，知BG∶EG∶DE＝3∶5∶4 ????????＝12 求出BG，EG 注意到求????????·???????? 证明△AGB∽△EGF―→将AG·FG转化为BG·EG.
?
【提分练】在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12.
(1)如图①，若BE＝BF，则AE与CF相等吗？请说明理由；
(2)如图②，若∠FBE＝45°，CF＝4，求EF的长．
解：(1)AE＝CF.理由：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC.
∵BE＝BF，∴OE＝OF，∴AE＝CF.
(2)将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，由旋转的性质知△BCF≌△BAG，∠GBF＝90°，
∴∠GAB＝∠FCB＝45°，BG＝BF，AG＝CF＝4，∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAC＝90°.
∵∠GBF＝90°，∠FBE＝45°，∴∠GBE＝∠GBF－∠FBE＝45°，
∴△GBE≌△FBE(SAS)，∴GE＝EF，
设EF＝GE＝x，则AE＝AC－CF－EF＝8－x.
在Rt△AGE中，∵AG2＋AE2＝GE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴EF的长为5.
命题点：正方形的性质(近6年考查1次)
1．(2021·省卷第14题3分)已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6，则点D到直
线AB的距离为 .
3，322，62－6或6－32
?
简写过程：
Ⅰ)当B为直角顶点时，过点D作DH⊥AB于点H，如图①，由题意可知△ABC是等腰直角三角形，易知DH＝12BC，
若AC＝6，则BC＝32，此时DH＝322；
若AB＝BC＝6，则DH＝12BC＝3；
?
Ⅱ)当B不是直角顶点时，过点D 作DG⊥BC于点G，如图②，易知△CDG是等腰直角三角形，AD＝DG＝CG，易得AB＝BG，若AB＝AC＝6，
则BC＝62，DG＝CG＝BC－BG＝62－6；
若BC＝6，则AB＝BG＝32，
∴DG＝CG＝BC－BG＝6－32.
故答案为3，322，62－6或6－32.
?
2．(2025·陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为( )
A．10
B．8
C．5
D．4
C
3．(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足
为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为 .
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