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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
1.2 整式
列代数式 代数式的概念 代数式是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、 和开方)把 或表示数的字母连接起来的式子. 【注意】代数式的书写规则 (1)字母与字母相乘，数字与字母相乘(数字应写在字母前)，乘号通常写作“·”或者省略不写.当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写；当“-1”乘字母时，只要在那个字母前加上“-”号即可. (2)在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写. (3)带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数. (4)在同一问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示.
分类
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和 的式子表示出来，这就是列代数式.
代数数式求值 (1)代数式求值：一般地，用数值代替代数式里的 ，按照代数式中的运算关系计算得出结果，叫做代数式求值. (2)代数式求值的方法：① ；②整体代入法.
整式的相关概念及运算 整式的相关概念 (1)单项式与多项式 名称概念系数次数单 项 式由数或字母的 组成的代数式叫做单项式，单独 或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母指数的 叫做这个单项式的次数.多 项 式几个单项式的 叫做多项式；多项式中的 叫做多项式的项，不含字母的项叫做 .多项式里， 项的次数叫做这个多项式的次数.
【提示】确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率π是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. (2)整式：单项式和多项式统称为整式.
整式的加减 (1)同类项：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项.几个 也是同类项. (2)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数 作为新的系数 (3)去括号法则：去括号时，如果括号前面是“+”，把括号去掉，括号里各项的符号 ，如a+(b+c)=a+b+c;如果括号前面是“-”，把括号去掉，括号里各项的符号与原来的符号 ，如a-(b+c)=a-b-c. 【注意】判断同类项抓住两相同一是字母相同，二是相同字母的指数相同，与系数的大小和字母的顺序无关.
幂的运算法则 文字语言数学语言同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数 . (m,n都是正整数)同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数 . m,n都是正整数，并且m>n)幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数 . (m,n都是正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂相乘. (n为正整数)
因式分解 定义 把一个多项式化成 的形式，叫做这个多项式的因式分解.因式分解与整式乘法是方向 的变形.
因式分解的方 法 ①提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c). ②公式法：逆用平方差公式： 逆用完全平方公式：a ± 【知识拓展】 ①十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋p q＝(x＋p)(x＋q). ②分组分解法：a2＋b2－c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2－c2＝(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c). 【注意】因式分解的一般步骤： (1)如果多项式的各项含有公因式，那么先提取公因式. (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解. (3)分解因式必须分解到不能再分解为止.每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式，则需写成幂的形式.
■考点一　代数式
◇典例1：下列各式中，不是代数式的是（　　）
A．-3 B． C． D．
◆变式训练
1.李老师用长为 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为 ，则其邻边长为（　　）
A． B． C． D．
2.某市出租车收费标准是：起步价8元，当路程超过2km时，每1km收费1.8元，如果某出租车行驶x（x＞2km），则司机应收费（单位：元）（　　）
A．8+1.8（x﹣2） B．8+1.8x
C．8﹣1.8x D．8﹣1.8（x﹣2）
■考点二 代数式求值
◇典例2：若x2+3x﹣5的值为7，则3x2+9x﹣2的值为（　　）
A．44 B．34 C．24 D．14
◆变式训练
1.如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（　　）
A．　　 B．　　 C．　　 D．
2.已知与互为相反数，互为倒数，，求的值是（　　）
A． B．21 C．或21 D．20或
■考点三 整式的相关概念
◇典例3：关于整式的概念，下列说法正确的是（　　）
A．的系数是 B．3x3y的次数是3
C．6是单项式 D．是5 次三项式
◆变式训练
1.若单项式 与的和仍是单项式，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2.单项式的系数是　 　；多项式的次数是　 　．
3.多项式合并同类项后不含xy项，则k的值是　 　.
■考点四 整式的运算
◇典例1：下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.已知多项式是一个关于的完全平方式，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．3或-3 D．6或-6
2.已知．求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
3.已知多项式（x2+mxy+3）﹣（3x﹣2y+1﹣nx2）．
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，先化简多项式（3m2+mn+n2）﹣3（m2﹣mn﹣n2），再求它的值．
■考点五 整式的化简求值
◇典例1：先化简，再求值： 其中x=1，y=-2.
◆变式训练
1.先化简，再求值，，其中，．
2.先化简，再求值：，其中满足．
3.先化简，再求值：已知，求的值．
■考点六 因式分解
◇典例1：下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.把多项式分解因式等于（　　）
A． B．
C． D．
2.若，，则代数式的值为　 　．
3.分解因式
（1）
（2）
（3） 4+12(x-y)+9(x-y)2；
（4）
■考点七 因式分解的应用
◇典例1：已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
◆变式训练
1.有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 请利用分组分解法解决下列问题：
（1）分解因式： 　 　.
（2）已知a，b，c分别是 的三边长，若 试判断 的形状，并说明理由.
2.从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）
A． B． C．
（2）若，求的值；
（3）计算：．
1．（2025·叙州模拟）整式 的系数是（　　）
A．-3 B．3 C． D．
2．（2025·四会模拟）多项式的次数是（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
3．（2025·永州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳一模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·天河模拟）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（　　）
A．19 B．17 C．15 D．13
6．（2025·深圳模拟）计算的结果等于　 　 ．
7．（2025·江油模拟）因式分解：x3-9x=　 　.
8．（2024·广州） 若，则　 　．
9．（2025·蓬江模拟）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第6个图形需要　 　根小木棒．
10．（2025·河源模拟）先化简，再求值：，其中，．
11．（2025·广河模拟）先化简，再求值：，其中，．
1．（2025·东莞模拟）单项式的系数、次数分别为（　　）
A．5和3 B．5和5 C．﹣5和3 D．﹣5和5
单项式的系数是﹣5，次数是5.
2．（2025·深圳模拟）下列幂的运算，其中结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025·惠城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·潮南模拟）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025·潮南模拟）把分解因式，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）多项式的次数是　 　．
7．（2025·兴宁模拟）已知代数式与是同类项，则 　 　．
8．（2025·黄埔模拟）若，则的值是　 　．
9．（2025·荔湾模拟）因式分解：　 　．
10．（2025·江安模拟）分解因式：　 　．
11．（2025·雷州模拟）如图，圆的直径是，按图中各图规律画下去，第（）个图的周长（外围）是　 　（结果保留）
12．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：，其中，．
13．（2025·南海模拟）先化简，再求值：，其中．
14．（2025·金湾模拟）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
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模块一 数与式
1.2 整式
列代数式 代数式的概念 代数式是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子. 【注意】代数式的书写规则 (1)字母与字母相乘，数字与字母相乘(数字应写在字母前)，乘号通常写作“·”或者省略不写.当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写；当“-1”乘字母时，只要在那个字母前加上“-”号即可. (2)在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写. (3)带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数. (4)在同一问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示.
分类
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.
代数数式求值 (1)代数式求值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出结果，叫做代数式求值. (2)代数式求值的方法：①直接代入法；②整体代入法.
整式的相关概念及运算 整式的相关概念 (1)单项式与多项式 名称概念系数次数单 项 式由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.多 项 式几个单项式的和叫做多项式；多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.多项式里，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.
【提示】确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率π是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. (2)整式：单项式和多项式统称为整式.
整式的加减 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项. (2)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加作为新的系数 (3)去括号法则：去括号时，如果括号前面是“+”，把括号去掉，括号里各项的符号不变，如a+(b+c)=a+b+c;如果括号前面是“-”，把括号去掉，括号里各项的符号与原来的符号相反，如a-(b+c)=a-b-c. 【注意】判断同类项抓住两相同一是字母相同，二是相同字母的指数相同，与系数的大小和字母的顺序无关.
幂的运算法则 文字语言数学语言同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (m,n都是正整数)同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减. m,n都是正整数，并且m>n)幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘. (m,n都是正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (n为正整数)
因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解.因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
因式分解的方 法 ①提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c). ②公式法：逆用平方差公式： 逆用完全平方公式：a ± 【知识拓展】 ①十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋p q＝(x＋p)(x＋q). ②分组分解法：a2＋b2－c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2－c2＝(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c). 【注意】因式分解的一般步骤： (1)如果多项式的各项含有公因式，那么先提取公因式. (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解. (3)分解因式必须分解到不能再分解为止.每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式，则需写成幂的形式.
■考点一　代数式
◇典例1：下列各式中，不是代数式的是（　　）
A．-3 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵-3是代数式，∴A不符合题意；
B、∵是代数式，∴B不符合题意；
C、∵是方程，不是代数式，∴C符合题意；
D、∵是代数式，∴D不符合题意；
故选答案为：C.
【分析】利用代数式的定义及表示方法和书写格式逐项分析判断即可.
◆变式训练
1.李老师用长为 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为 ，则其邻边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵邻边之和为： ，
∴邻边长为： ；
故答案为：C.
【分析】求出邻边之和，即可解决问题；
2.某市出租车收费标准是：起步价8元，当路程超过2km时，每1km收费1.8元，如果某出租车行驶x（x＞2km），则司机应收费（单位：元）（　　）
A．8+1.8（x﹣2） B．8+1.8x
C．8﹣1.8x D．8﹣1.8（x﹣2）
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意知，司机应收费8+1.8（x-2）元，
故答案为：A．
【分析】利用“总费用=起步价+超过的费用”列出代数式即可.
■考点二 代数式求值
◇典例2：若x2+3x﹣5的值为7，则3x2+9x﹣2的值为（　　）
A．44 B．34 C．24 D．14
【答案】B．
【解析】【解答】解：∵x2+3x﹣5＝7，
∴x2+3x＝12，
则原式＝3（x2+3x）﹣2
＝3×12﹣2
＝36﹣2
＝34，
故选：B．
【分析】先由x2+3x﹣5＝7得x2+3x＝12，再整体代入到原式＝3（x2+3x）﹣2，计算可得．
◆变式训练
1.如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（　　）
A．　　 B．　　 C．　　 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
[(-1)2-(-2)]×(-3)+4=-5
故答案为：B
【分析】根据程序框图代值计算，结合有理数的混合运算即可求出答案.
2.已知与互为相反数，互为倒数，，求的值是（　　）
A． B．21 C．或21 D．20或
【答案】C
【解析】【解答】解：与互为相反数，互为倒数，，
，
当时，；
当时，；
故选：C．
【分析】根据相反数，倒数的定义可得，再整体代入代数式，结合有理数加减，乘方即可求出答案.
■考点三 整式的相关概念
◇典例3：关于整式的概念，下列说法正确的是（　　）
A．的系数是 B．3x3y的次数是3
C．6是单项式 D．是5 次三项式
【答案】C
【解析】【解答】解：对A选项的系数是 ，故A错误；
对B选项， 3x3y的次数是4，故B错误；
对C选项， 6是单项式 ，故C正确；
对D选项，是三次三项式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据整式的相关概念，依次判断各选项即可得结果.
◆变式训练
1.若单项式 与的和仍是单项式，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：单项式 与的和仍是单项式
与是同类项，
，，
故答案为：D ．
【分析】 根据同类项的定义：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，列方程计算求出，代入计算即可解答．
2.单项式的系数是　 　；多项式的次数是　 　．
【答案】；6
【解析】【解答】解：的系数是；
多项式中最高次项是，次数是6．
故答案为：，6．
【分析】表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，所以多项式中的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是多项式的次数，据此解答即可.
3.多项式合并同类项后不含xy项，则k的值是　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：x2 2kxy 5y2＋2xy 6
＝x2＋（2 2k）xy 5y2 6，
∵多项式x2 2kxy 5y2＋2xy 6合并同类项后不含xy项，
∴2 2k＝0，
∴2k＝2，
∴k＝1，
故答案为：1．
【分析】先将代数式变形为x2＋（2 2k）xy 5y2 6，再结合“多项式x2 2kxy 5y2＋2xy 6合并同类项后不含xy项”可得2 2k＝0，最后求出k的值即可.
■考点四 整式的运算
◇典例1：下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵（ab2）3=a3b6，∴选项A错误；
B、∵（3cd）3=27c3d3，∴选项B错误；
C、∵（-2a3b）2=4a6b2，∴选项C正确；
D、∵（-3a3）2=9a6，∴选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方的法则和幂的乘方的法则分别计算出各选项，即可得到正确答案.
◆变式训练
1.已知多项式是一个关于的完全平方式，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．3或-3 D．6或-6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2+mx+9是关于x的完全平方式，
∴x2+mx+9= x2±2×3×x+9= x2±6x+9，
∴m=±6.
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式的结构特征，即可求出m的值．
2.已知．求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
【答案】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解： .
【解析】【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解；
（2）根据幂的乘方的逆运算，即可求解；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算计算，即可求解．
3.已知多项式（x2+mxy+3）﹣（3x﹣2y+1﹣nx2）．
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，先化简多项式（3m2+mn+n2）﹣3（m2﹣mn﹣n2），再求它的值．
【答案】解：（1）原式＝x2+mxy+3﹣3x+2y﹣1+nx2
＝（n+1）x2+（m﹣3）xy+2，
由多项式的值与字母x的取值无关，得到n+1＝0，m﹣3＝0，
解得：m＝3，n＝﹣1；
（2）原式＝3m2+mn+n2﹣3m2+3mn+3n2
＝4mn+4n2，
当m＝3，n＝﹣1时，原式＝﹣12+4＝﹣8．
【解析】【分析】（1）原式去括号合并后，根据多项式的值与字母x取值无关，确定出m与n的值即可；
（2）原式去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．
■考点五 整式的化简求值
◇典例1：先化简，再求值： 其中x=1，y=-2.
【答案】解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy ，
当x=1，y=-2时，=2×12+(-2)2=6.
【解析】【分析】根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”及整式的乘法进行化简求值.
◆变式训练
1.先化简，再求值，，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式
．
【解析】【分析】去括号，合并同类项化简，再将a，b值代入即可求出答案.
2.先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：
；
∵，
∴，，
解得，，
∴原式．
【解析】【分析】去括号，合并同类项化简，根据绝对值，偶次方的非负性可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
3.先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】解：
；
代入，
得原式．
【解析】【分析】先将所给代数式根据完全平方公式和乘法的分配律展开，然后合并同类项，最后根据已知条件整体代入即可求解。
■考点六 因式分解
◇典例1：下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A：x2+4x-4=(x+2)(x-2)+4x，右边为(x+2)(x-2)（即x2-4）加上4x，整体为x2-4+4x=x2+4x-4，但变形后仍为多项式相加，未形成纯乘积形式，不符合因式分解定义，故A不符合题意；
B：(x+3)(x-3)=x2-9，左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法运算，而非因式分解，故B不符合题意；
C：(x-y)2=x2-2xy+y2，左边为平方形式，右边为展开后的多项式，属于完全平方公式的展开，不符合因式分解定义，故C不符合题意；
D：x3-x2+x=x(x2-x+1)，左边x3-x2+x提取公因式x后，分解为x与x2-x+1的乘积。符合因式分解的定义，故D符合题意；
故选：D
【分析】根据因式分解是将多项式转化为整式乘积的形式，逐一分析各选项即可得出答案。
◆变式训练
1.把多项式分解因式等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：C．
【分析】观察多项式中的每一项，发现（2-a）和（a-2）是相反数关系，可以通过符号变化将它们统一为相同的形式，然后确定出各项的公因式m(a-2)，并逆用乘法分配律提取出各项的公因式，并把剩下的商式写在一起作为另一个因式即可.
2.若，，则代数式的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
3.分解因式
（1）
（2）
（3） 4+12(x-y)+9(x-y)2；
（4）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式= ( x2 10 x y + 25 y2 ) =
（3）解：原式=
（4）解：原式= [ ( m + n )2 4 ( m + n ) + 4 ] =
【解析】【分析】
（1）、 观察发现首项 a2 ，末项 4 b2 = ( 2 b )2 ，中间项 4 a b 否符合完全平方公式，应用完全平方公式分解即可解答；
（2）、 先提取负号得 ( x2 10 x y + 25 y2 ) ，观察括号内部因 25 y2 = ( 5 y )2 ，中间项为 2 · x · 5 y = 10 x y ，否符合完全平方公式，应用完全平方公式分解即可解答；
（3） 、可令 z = x y ，则式子变为9 z2 + 12 z + 4 ，观察发现首项 （3z)2 ，末项 22 中间项 12z 否符合完全平方公式，应用完全平方公式分解即可解答；
（4） 、先提取负号得 [ ( m + n )2 4 ( m + n ) + 4 ] ，观察括号内部( m + n )2 4 ( m + n ) + 4 ，因 4 = 22 ，中间项 4 ( m + n ) 对应 2 · ( m + n ) · 2 否符合完全平方公式，应用完全平方公式分解即可解答；
■考点七 因式分解的应用
◇典例1：已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A．
【解析】【解答】解：a2+2b2+c2＝2ab+2bc，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
a﹣b＝0且b﹣c＝0
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
△ABC为等边三角形，
故选A．
【分析】通过给出的式子进行因式分解，得到两个平方数的和为0，通过平方数的非负性，得到a﹣b＝0且b﹣c＝0，从而推出为等边三角形．
◆变式训练
1.有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 请利用分组分解法解决下列问题：
（1）分解因式： 　 　.
（2）已知a，b，c分别是 的三边长，若 试判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）(2x-y+2)(2x-y-2)
（2）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
即
∴(a-c)(a-c+b)=0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a-c+b>0，
∴a-c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形.
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：(2x-y+2)(2x-y-2)
【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，平方差公式将等号坐标进行因式分解，根据三角形三边关系可得a-c+b>0，则a-c=0，即a=c，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
2.从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）
A． B． C．
（2）若，求的值；
（3）计算：．
【答案】（1）B
（2）解：∵，
∴；
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）图1的阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积，两个图形中阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：B；
【分析】（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），即可得出答案；（2）首先根据平方差公式可得出进而即可得出；
（3）运用平方差公式展开，再运用有理数的乘法运算法则计算即可．
（1）解：图1的阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积，两个图形中阴影部分面积相等，
∴，
故选：B；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：
．
1．（2025·叙州模拟）整式 的系数是（　　）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 的系数为-3.
故答案为：A.
【分析】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此解答.
2．（2025·四会模拟）多项式的次数是（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：由题可得：中的次数最高，是3次，
故答案为：B。
【分析】根据多项式的定义：若干个单项式的和组成的式叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。据此即可求解。
3．（2025·永州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，对选项逐个判断，求解即可．
4．（2025·深圳一模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：，，两者不相等，所以 A 选项错误。
B：根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，所以 B 选项正确。
C：根据合并同类项法则，，所以 C 选项错误。
D：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，所以 D 选项错误。
故选：B
【分析】 本题主要考查完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项以及幂的乘方等运算规则，需要逐一分析每个选项是否正确运用了相应的运算规则
5．（2025·天河模拟）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（　　）
A．19 B．17 C．15 D．13
【答案】C
【解析】【解答】解：由题知，第①个图案中有1个正方形，
第②个图案中有3个正方形，
第③个图案中有5个正方形，
第④个图案中有7个正方形，
…，
第n个图案中有个正方形，
∴第⑧个图案中正方形的个数为，
故答案为：C．
【分析】观察图形的变化规律得出第n个图形中有个正方形即可．
6．（2025·深圳模拟）计算的结果等于　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
【分析】根据积的乘方计算求解即可．
7．（2025·江油模拟）因式分解：x3-9x=　 　.
【答案】x（x+3）（x-3）
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
8．（2024·广州） 若，则　 　．
【答案】11
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
9．（2025·蓬江模拟）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第6个图形需要　 　根小木棒．
【答案】
【解析】【解答】解:·第1个图形中木棒的根数为:9=7+2，
第2个图形中木棒的根数为:16-7×2+2，
第3个图形中木棒的根数为:23﹣7×3+2，
∴第n图形中木棒的根数为:7n+2,
当n=6时，图形中木棒的根数为:7×6+2=44,
故答案为:44.
【分析】通过观察可知:每增加一个苯环,相应的木棒增加7根,据此可求解
10．（2025·河源模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式．
当，时，
原式．
【解析】【分析】
先利用完全平方公式以及平方差公式将原式展开，合并后得到 ，再将与的值代入计算即可解答．
11．（2025·广河模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【解析】【分析】先利用乘法公式展开括号内的各项，合并同类项后进行多项式除以单项式的运算化简，最后代入数值计算结果.
1．（2025·东莞模拟）单项式的系数、次数分别为（　　）
A．5和3 B．5和5 C．﹣5和3 D．﹣5和5
【答案】D
【解析】【解答】单项式的系数是﹣5，次数是5.
故答案为：D.
【分析】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此解答.
2．（2025·深圳模拟）下列幂的运算，其中结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： A、a2.a3=a5，故A该选项错误；
B、 (a2)3= a5，故B该选项错误；
C、 (ab)2 = a2b2，故C该选项正确；
D、a6a3 =a3，故D该选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得a2.a3=a5，可判断A；根据幂的乘方可得 (a2)3= a5，可判断B；根据积的乘方可得 (ab)2 = a2b2，可判断C；根据同底数幂的除法法则可得 a6a3 =a3，可判断D；逐一判断即可解答.
3．（2025·惠城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A，和不是同类项，不能合并，原计算错误，故本项不符合题意；
B，，原计算错误，故本项不符合题意；
C，，原计算错误，故本项不符合题意；
D，，计算正确，故本项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要对合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法进行考查．
4．（2025·潮南模拟）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，
解得，
∴点即为，
关于原点的对称点为，
∴点为在第四象限，
故选：D
【分析】根据同类项的定义可得n，m，再根据关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标特征即可求出答案.
5．（2025·潮南模拟）把分解因式，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】直接提公因式即可．
6．（2025·东莞模拟）多项式的次数是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵的次数是3，的次数是2，
∴多项式的次数是3，
故答案为：3．
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解.
7．（2025·兴宁模拟）已知代数式与是同类项，则 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵代数式与是同类项，
∴，，
∴，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：，
∴．
故答案为：．
【分析】根据同类项定义"同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项"可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入所求代数式计算即可求解．
8．（2025·黄埔模拟）若，则的值是　 　．
【答案】2025
【解析】【解答】解：由，
整理得：．
将变形为，
∴；
故答案为：2025．
【分析】将已知条件移项得：a2-3a=1，再将所求代数式变形为，然后整体代入计算即可求解．
9．（2025·荔湾模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解∶，
故答案为：．
【分析】根据因式分解步骤，首先提公因式，然后再利用乘法公式进行因式分解即可。
10．（2025·江安模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
11．（2025·雷州模拟）如图，圆的直径是，按图中各图规律画下去，第（）个图的周长（外围）是　 　（结果保留）
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
图中图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，周长为，
图1中图形外围部分的线段长总和为；
图2中图形外围部分的线段长总和为；
图3中图形外围部分的线段长总和为；
图4中图形外围部分的线段长总和为；
图中图形外围部分的线段长总和为；
则第个图的周长（外围）是，
故答案为：．
【分析】根据图形得出图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，再找出图形外围部分的线段长总和的规律，即可求出答案.
12．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
把，代入，
得．
【解析】【分析】根据整式的加减化简，再将x=1，y=-1代入解析式即可求出答案.
13．（2025·南海模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，．
【解析】【分析】先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可．
14．（2025·金湾模拟）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】
（）仿照阅读理解中的进行分解即可；
（）仿照阅读理解中的进行分解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
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