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3.3 幂函数
知识点1 幂函数的概念及解析式
1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）（多选）下列函数中，为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由幂函数的定义知，和是幂函数，
和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数，故选：AC.
2．（24-25高一下·云南昭通·月考）若函数是幂函数，则实数的值为 .
【答案】3或0
【解析】因为是幂函数，则，解得或.
3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 .
【答案】
【解析】由幂函数定义可得，则，则.
4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ．
【答案】
【解析】因为函数为幂函数，
所以，得，所以，
因为幂函数的图象过点，
所以，则，得，解得，
所以.
知识点2 求幂函数的定义域与值域
1．（24-25高一上·湖南·月考）已知幂函数的定义域是，则 ．
【答案】
【解析】因为函数为幂函数，则，即，
解得或，
当时，函数的定义域为，合乎题意；
当时，函数的定义域为，舍去.
综上所述，.
2．（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 .
【答案】
【解析】由幂函数性质可知在上单调递增，
又易知为偶函数，
所以当时，可知在上单调递减，可得.
3．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 .
【答案】
【解析】由，
设，因，则，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
则，故函数的值域为.
4．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为，
的定义域和值域均为，故A错误；
对于B，的定义域为，其值域为，
的定义域为，其值域为，故B错误；
对于C，的定义域为，其值域为，
的定义域为，其值域为，故C正确；
对于D，的定义域为，其值域为，
的定义域和值域均为，故D错误，故选：C.
知识点3 幂函数的图象及应用
1．（24-25高一上·贵州·月考）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知函数的定义域为，
且该函数为偶函数，排除D，
由易知在上该函数为单调递减，又排除AB，故选：C
2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（ ）
A．，3， B．，3，
C．，，3 D．，，3
【答案】D
【解析】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足；
：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足；
：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足.故选：D.
3．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】对于幂函数，
有，解得或，
当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点；
当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点；
综上，或.故选：C.
4．（24-25高一上·江苏·月考）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得，因为是幂函数，
所以，解得或.
当时，，如图所示，
图像经过第一、二象限；
当时，，如图所示，
图像分布在 第一、三象限.
故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”，
于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”，
于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件.
故选：C.
知识点4 幂函数的单调性
1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 .
【答案】
【解析】由题意得，则，则，则其增区间为.
2．（24-25高一下·广东湛江·月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为为幂函数，且在定义域内单调递增，
所以，解得.故选：C
3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）幂函数在上为减函数，则实数的值为（ ）
A．2或 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题意可得且，
整理可得且，解得.故选：D.
4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由是幂函数可得，解得或；
当时，在上是减函数，
当时，在上是增函数,不合题意，
即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”；
而“”仅是“或”的一部分，
因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件.
故选：C
知识点5 利用幂函数的单调性比较大小
1．（24-25高一上·河南南阳·月考）下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对A：因为幂函数在上单调递增，且，所以，故A错误；
对B：因为幂函数为奇函数，在单调递减，，
所以，即，故B错误；
对C：因为幂函数为奇函数，在单调递增，，
所以，即，故C正确；
对D：因为幂函数为偶函数，在单调递增，，
所以，即，故D错误.故选：C
2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在R上单调递增，所以，即，
又因为，又且在上单调递增，
所以，，所以.故选：A.
3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，，
因为在上是增函数，且，
所以．故选：C.
4．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（ ）
A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0
【答案】D
【解析】由，解得或.
当时，；当时，.
因为函数的图象与坐标轴有交点，故.
又，所以，
因为为在R上单调递增的奇函数，
所以，即.故选：D
知识点6 幂函数的奇偶性
1．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数是奇函数，则 .
【答案】-1
【解析】因为函数是幂函数，所以，即，解得或，
当时， 是奇函数，满足题意；
当 时，是偶函数，不满足题意；
故.
2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若幂函数是奇函数，则 .
【答案】2
【解析】是幂函数，
则有，解得或，
时，是奇函数；
时，是偶函数，不合题意，舍去，
所以.
3．（24-25高一上·天津·期末）若幂函数是偶函数，则 .
【答案】
【解析】由于是幂函数，所以，解得或，
当时，是奇函数，不符合题意.
当时，是偶函数，符合题意.
4．（24-25高一上·湖南永州·月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为
【答案】1
【解析】因为幂函数y=在上是减函数，
所以，所以，因为，所以或2，
又因为函数图象关于y轴对称，所以是偶数，所以.
知识点7 利用幂函数单调性与奇偶性解不等式
1．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【解析】设，则，解得，
所以，定义域为，且在定义域上单调递减，
故，解得.
故答案为：.
2．（24-25高一上·上海·月考）已知，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减，
所以由，
可得：，且，
对平方可得：，解得：，
又，
所以实数的取值范围是，
3．（24-25高一下·湖北·月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
,在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
两边取平方可得：，
整理的，解得，
的解集为.
4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，
，解得，
，或
当时，，其图象关于y轴对称，不满足题意；
当时，，其图象关于原点对称，满足题意，
不等式可化为
函数是定义域为的减函数，
，解得，
即实数a的取值范围是
1．（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．是偶函数
D．若，则
【答案】AC
【解析】对于A，由于幂函数的图象经过点，
故，解得，故，A正确，
对于B，无意义，故B错误，
对于C，定义域为，关于原点对称，
且，故是偶函数，C正确，
对于D，由于是偶函数，且在单调递减，
故由可得，解得且，故D错误，
故选：AC
2．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为幂函数在上是减函数，
所以，即，
解得.又因为，所以或.
当时，，，为偶函数，
图象关于轴对称，且满足题意.
原不等式为，由于在R上单调递增，
则不等式化为，解得.
当时，，，为奇函数，不满足图象关于轴对称，舍弃.
综上，实数的取值范围为.
3．（24-25高一上·山东日照·月考）已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)设，求的最大值.
【答案】(1)；(2)；(3)2
【解析】（1）由是幂函数，得，解得或，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，在上单调递减，符合题意，
所以．
（2）若，即，
∵函数在上单调递增，
∴，解得．
（3），则，，
∵，
∴，当且仅当取等号，
∴的最大值为2．
4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）依题意，解得或；
当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去；
当时，在区间上单调递增，符合题意，
所以；
（2）当时，可得，
令，因为，所以，
即可得，
当时，，当时，；
所以函数在区间上的值域为
（3）令，因为，所以，
即可得，
因为对任意恒成立，所以对于任意恒成立；
所以.
当时，在上单调递减，可得，符合题意；
当时，图象的对称轴为，
易知恒成立，因此在上的最小值为，符合题意；
当时，若，此时，
可得，此时不等式无解，不符合题意；
当时，，
此时在上的最小值为，解得.
综上可知，实数a的取值范围为.
1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
可得，
，
所以，
即，所以函数的对称中心为，
又因为在直线上，所以，所以，
所以，
因为，所以，，
根据基本不等式有：，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.故选：C
2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ）
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．的值域为
【答案】AC
【解析】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在单调递减；
定义域为，是奇函数，在上单调递增，在单调递增；
对于A，定义域为，
又因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，令，则，,
但，，，故B错误；
对于C，，由图象知，
因为在上单调递增，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即在上单调递减，故C正确；
对于D，令，则，
当接近正无穷大时，函数值接近0，故的值域不能为，故D错误；故选：AC.
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2024 B．2025 C．4048 D．4049
【答案】D
【解析】由题可知：，则，
所以，且，
则
.故选：D
4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数.
(1)求，，，的值，并判断奇偶性；
(2)判断在的单调性；
(3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心.
【答案】(1)，非奇非偶函数；
(2)单调递增，理由见解析；
(3)曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，.
【解析】（1）函数，则，
且，因此函数是非奇非偶函数.
（2）函数在上都单调递增，
所以函数在上单调递增.
（3）曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，
由于，
则，即函数是奇函数，
所以函数的对称中心为.
1中小学教育资源及组卷应用平台
3.3 幂函数
知识点1 幂函数的概念及解析式
1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）（多选）下列函数中，为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·云南昭通·月考）若函数是幂函数，则实数的值为 .
3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 .
4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ．
知识点2 求幂函数的定义域与值域
1．（24-25高一上·湖南·月考）已知幂函数的定义域是，则 ．
2．（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 .
3．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 .
4．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
知识点3 幂函数的图象及应用
1．（24-25高一上·贵州·月考）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（ ）
A．，3， B．，3，
C．，，3 D．，，3
3．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25高一上·江苏·月考）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点4 幂函数的单调性
1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 .
2．（24-25高一下·广东湛江·月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）幂函数在上为减函数，则实数的值为（ ）
A．2或 B．0 C．1 D．2
4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
知识点5 利用幂函数的单调性比较大小
1．（24-25高一上·河南南阳·月考）下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（ ）
A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0
知识点6 幂函数的奇偶性
1．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数是奇函数，则 .
2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若幂函数是奇函数，则 .
3．（24-25高一上·天津·期末）若幂函数是偶函数，则 .
4．（24-25高一上·湖南永州·月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为
知识点7 利用幂函数单调性与奇偶性解不等式
1．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 .
2．（24-25高一上·上海·月考）已知，则实数的取值范围是 .
3．（24-25高一下·湖北·月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ．
4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是 .
1．（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．是偶函数
D．若，则
2．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 .
3．（24-25高一上·山东日照·月考）已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)设，求的最大值.
4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ）
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．的值域为
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2024 B．2025 C．4048 D．4049
4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数.
(1)求，，，的值，并判断奇偶性；
(2)判断在的单调性；
(3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心.
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