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培优02 函数解析式的常见求法
题型1 直接代入法求解析式
直接代入法是已知函数的解析式，求的解析式常用的方法。 【注意】代入时，要注意变量的取值范围。
1（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用的解析式，将替换为即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
2（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件代入直接求解解析式即可.
【详解】因为，所以，，，.
故选：A
3（2025高三·全国·专题练习）已知，设，，，（ ，且），令集合，则集合为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
【答案】A
【分析】根据表达式求出，，，，，发现规律，进而得出，即可求出.
【详解】由题意得，，
，，
所以函数是以，，，重复出现的，
因为，所以，
得，，即，
故选：A．
4（24-25高一上·浙江金华·期末）已知对任意正实数，，且时，，则当时，（ ）
A．，使得的为12和18
B．，使得的为18
C．，使得的为12和18
D．，使得的为12
【答案】C
【解析】由时，，求出，，，，时的解析式，即可画出时的函数图像，根据图像可得结果.
【详解】因为，当时，有；
当时，有；
当时，有；
当时，有，
则当时图像，如图所示，
，
要，则或，
则或，
解得：为12和18，
故选：C.
【点睛】本题考查函数解析式的求解，数形结合研究函数性质的问题，关键是要把函数图像画出来，是中档题.
5（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，且，则 ．
【答案】．
【分析】根据题意，由，推得，再求得，结合，即可求得的表达式，得到答案.
【详解】由函数，则函数为单调函数，
即是一对一的函数，则对于每一个，均为一对一的函数，
因为，可得，则，
计算，所以，
解得．
故答案为：.
题型2 待定系数法求解析式
1 若已知函数的类型，比如一次函数、反比例函数、二次函数等，可根据已知条件求函数解析式； 2 基本步骤是：根据函数类型设出其解析式的一般形式，再根据条件得到关于系数的方程，求出系数便可得到最终函数的解析式. 【注意】若遇到类似的等式，意味着左右两边函数相等，则，.
1（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】设，由题设有，
解得，所以．
故选：B．
2（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】设，利用待定系数法法求解.
【详解】设，则由，得，
即，则,得，
则，所以．
故选：B
3（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【详解】设（），由，则，
由，则，
整理可得，则，解得，
所以.
故选：B.
4（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可.
【详解】设，
则 ，
因为，即，
则，解得，所以.
故选：C.
5（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数和的根为和，然后按的符号分4种情况讨论，求出的解析式即可.
【详解】由可知函数的分段点为和，
而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和，
假设的根为，的根为，
分4种情况讨论：
（1）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（2）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（3）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（4）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
综上可得
故选：B
题型3 换元法求解析式
1 换元法主要用于解决已知的解析式求的解析式的问题； 2 基本的步骤：先设，再用表示，再代入原函数解析式得到关于的解析式后化简，最后把变量再换回。 【注意】换元法要注意新变量的取值范围。
1（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，得，表示出即可得到的解析式.
【详解】令，则，，
∴，
∴.
故选：B.
2（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
【答案】C
【分析】令（），采用换元法求函数的解析式.
【详解】设（），则，
，
所以（），
故选：C.
3（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，利用换元法求出函数 ，从而直接代入即可求出的解析式.
【详解】因为，所以令，则，
所以 ，
所以，
因为，所以，即，
所以 .
故选：D.
4（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，求解析式即可．
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
5（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若为一次函数，则存在且不唯一
C．若为二次函数，则存在且唯一
D．
【答案】AC
【分析】由条件可以推出.对于A：用代换即可；对于BD：利用待定系数法代入运算即可；对于D：赋值利用累加法运算求解即可.
【详解】因为，，
则 ，
所以，即.
对于选项A：由，可得，
满足，故A正确；
对于选项B：若为一次函数，设，
则不恒成立，
所以不存在，故B错误；
对于选项C：若为二次函数，设，
则，
则，解得，则，
且，可得，
所以，即存在且唯一，故C正确；
对于选项D：因为，且，
可得，
则，所以，故D错误；
故选：AC.
题型 4配凑法求解析式
由已知条件，可将改写成关于的表达式然后以代替，便得到的解析式。
1（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.
【详解】因为，
所以，则.
故选：A.
2（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解.
【详解】因为，
且，或，
当且仅当即时取等.
所以.
故选：D.
3（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解.
【详解】由，则，
又函数的定义域为，即，
，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4（2025高一·全国·专题练习）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先配方，再利用整体法求函数的解析式即可.
【详解】由，
而，
所以．
故选：D．
题型 5方程组法求解析式
1 方程组法主要是解决已知与、等相结合的方程，求的解析式； 2 基本想法是把方程中的变为或，得到一个新的方程，利用两个方程求出，从而得到的解析式。 【注意】在求两个方程时，把与或与看成两个未知数进行求解。
1（24-25高一上·重庆南岸·期中）若对于任意实数都有,则
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值．
【详解】解：对于任意实数都有，
，
解得，
．
故选．
2（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】应用赋值法及方程组法计算求解.
【详解】令可得，所以；
令可得；
令可得，
所以，
所以，
令可得，所以，
所以.
故选：D.
3（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得.
【详解】令可得，所以，
再令可得，
即①，
将上式中的全部换成可得②，
联立①②可得,
所以，
故选：D
4（2025高一·江苏·专题练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
【答案】B
【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】用代替原方程中的得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
5（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知方程（且），且，则的解为 ．
【答案】
【分析】利用构造方程组的方法求得，从而得，即可得解.
【详解】∵（且）………①，
易知①中的x与取值范围相同，
于是将①中的x代得，
整理得：
（且）………②，
再将①中的x代替得
,
整理得（且）………③
可消去项得到：
则（且），
由此，解得.
故答案为：．
6（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，求的解析式．
【答案】
【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组，再由换元法得解析式.
【详解】用代替原方程中的，得到，
即．
联立方程组消去，得．
再用换元法，设，则，
∴且．
即．
7（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）用方程组法求，用待定系数法求；
（2）先将不等式化为，根据分类求解即可.
【详解】（1）①，
用代替上式中的，
得②，
联立①②，可得；
设，
所以，
即
所以，解得，，
又，得，所以.
（2）因为，
即，
化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为或；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为或；
当时，不等式的解为且；
当时，不等式的解为或.
题型 6赋值法求解析式
在某些求函数解析式的问题中，通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或减少变量个数，从而解决问题。常用于求抽象函数的解析式。 【注意】赋值时，要大胆多尝试，同时也要注意函数方程的特点进行分析。
1（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（ ）
A． B．2022
C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】依题意采用换元法可令，解得，即函数解析式为，代入计算即可求得结果.
【详解】根据题意，令，则可得
即，又因为函数在定义域内单调，所以可得，解得；
所以，经检验满足题意；
因此.
故选：D
2（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ．
【答案】或2021.
【分析】，通过赋值法，求出t的值，进而得到，再求解即可.
【详解】令，则，
令，则，解得或.
而，故.因此.
则，
即，
因此或
当时，，时，此时；
当时，.
故答案为：或2021.
3（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求．
【答案】．其中，．
【分析】根据给定条件，设，利用赋值法变形可得，再换元利用柯西方程求得答案.
【详解】设，
由题设方程，取，可得．
又，由上式，用替换，
则．
令，代入上式得，
这正是柯西方程，因此，其中 ，
所以，其中，.
4（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数，使得对任意的实数，都有．
【答案】（是常数）
【分析】通过特殊值法求出的值，再通过换元法将原式进行转化，然后根据转化后的式子得出为常数，进而求出函数的表达式，最后进行检验.
【详解】令，得，解得．
设，，那么，
代入得
则有．
若，则上式为．
即对任意非零实数，有，
∴当时，为常数，
可设，其中为常数，则；
当时，也适合上式；
综上所述，对任意，所求函数为，其中为常数，
验证：函数（是常数）满足，
且有
；
故函数（是常数）即为所求函数．
故答案为：（是常数）
5（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出．
【答案】
【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可.
【详解】令代入条件得出，∴．
令代入条件得出，
∴．
再令，则有，
而用代入条件中得， ①
①中与条件相加得
．
∵，
．
∴，
于是．
令，有，
∴，∴或．
当时，，∴．
∵，∴，
∴，即为所求．
6（2025高三·全国·专题练习）设是全体有理数的集合，求适合下列两个条件的从到的所有函数：
①；
②对Q中的所有和，．
【答案】
【分析】利用特殊值代入法分析出抽象函数的性质，得到整数满足函数，再证明分数满足函数，即可得到结论.
【详解】由题意，令，可得即．
于是，对任意正整数都有，
，即.
当时，令代入条件②，得，
解得，满足.
当为负整数时，则为正整数，为非负整数，
令代入条件②，得，
令代入条件②，得，解得，
又因为为非负整数，由上述结论可知，
所以.
综上，对任意，都有.
同理可得，对对任意正整数都有，
，即.
当时，显然成立.
当为负整数时，则为正整数，则即，即，
则.
综上，对任意，，都有.
令，代入条件②，得，
因为，，，
所以，整理可得.
令，代入条件②，得，
因为，，，
所以，得.
因此，对任意，都有.
所以，满足条件从Q到Q的函数为．
1中小学教育资源及组卷应用平台
培优02 函数解析式的常见求法
题型1 直接代入法求解析式
直接代入法是已知函数的解析式，求的解析式常用的方法。 【注意】代入时，要注意变量的取值范围。
1（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
3（2025高三·全国·专题练习）已知，设，，，（ ，且），令集合，则集合为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
4（24-25高一上·浙江金华·期末）已知对任意正实数，，且时，，则当时，（ ）
A．，使得的为12和18
B．，使得的为18
C．，使得的为12和18
D．，使得的为12
5（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，且，则 ．
题型2 待定系数法求解析式
1 若已知函数的类型，比如一次函数、反比例函数、二次函数等，可根据已知条件求函数解析式； 2 基本步骤是：根据函数类型设出其解析式的一般形式，再根据条件得到关于系数的方程，求出系数便可得到最终函数的解析式. 【注意】若遇到类似的等式，意味着左右两边函数相等，则，.
1（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
3（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（ ）
A． B． C． D．
4（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
题型3 换元法求解析式
1 换元法主要用于解决已知的解析式求的解析式的问题； 2 基本的步骤：先设，再用表示，再代入原函数解析式得到关于的解析式后化简，最后把变量再换回。 【注意】换元法要注意新变量的取值范围。
1（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
3（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若为一次函数，则存在且不唯一
C．若为二次函数，则存在且唯一
D．
题型 4配凑法求解析式
由已知条件，可将改写成关于的表达式然后以代替，便得到的解析式。
1（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
2（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4（2025高一·全国·专题练习）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型 5方程组法求解析式
1 方程组法主要是解决已知与、等相结合的方程，求的解析式； 2 基本想法是把方程中的变为或，得到一个新的方程，利用两个方程求出，从而得到的解析式。 【注意】在求两个方程时，把与或与看成两个未知数进行求解。
1（24-25高一上·重庆南岸·期中）若对于任意实数都有,则
A．3 B．4 C． D．
2（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
4（2025高一·江苏·专题练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
5（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知方程（且），且，则的解为 ．
6（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，求的解析式．
7（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；
(2)若，解关于的不等式.
题型 6赋值法求解析式
在某些求函数解析式的问题中，通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或减少变量个数，从而解决问题。常用于求抽象函数的解析式。 【注意】赋值时，要大胆多尝试，同时也要注意函数方程的特点进行分析。
1（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（ ）
A． B．2022
C．2023 D．2024
2（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ．
3（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求．
4（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数，使得对任意的实数，都有．
5（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出．
6（2025高三·全国·专题练习）设是全体有理数的集合，求适合下列两个条件的从到的所有函数：
①；
②对Q中的所有和，．
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