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培优03 利用基本不等式求最值的方法
题型1 直接法求最值
1基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立)； 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是为定值；三等指的是等号要取得到。 3 基本不等式的变式： ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【注意】利用基本不等式求最值时，要注意等号是否能够取到。
1（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值
2（24-25高一上·吉林四平·期末）若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4（24-25高一上·山东·阶段练习）若，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C．4 D．6
5（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
题型2 配凑法求最值
1 积定求和中，当利用时用直接法最值，而不为定值，则需要通过配凑的方法使得为定值； 2和定求积中，当利用时用直接法最值，而不为定值，则需要通过配凑的方法使得为定值. 【注意】在配凑时，要注意最后等号也要确定能够取到。
1（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
3（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型3 消元法求最值
1 当题目中存在多个变量，则可通过它们之间的关系进行消元，把问题转化为单个变量或双变量的问题； 2 消元时要思考下，消哪个未知数会使得过程更简洁些。
1（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知实数、、满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
3（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
4（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
6（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
题型 4 乘“1”法求最值
1当题中的已知条件和求证中出现和，和（为常数）形式的式子，可采取乘“1”法； 2 若已知条件等式中右侧，则两边除以，使得右边为. 【注意】在配凑的过程中，要注意最后等号也要确定能够取到。
1（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．6
C． D．
2（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．8
4（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）设，，若，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
题型 5构造不等式法求最值
寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 【注意】在构造时，往含所求式子的不等式思考。
1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
3（24-25高一上·安徽·阶段练习）若正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4（24-25高一上·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型 6换元法求最值
1 对于求形式的函数最值，常常利用换元法； 2 遇到高次式子或者带有根号式子，也常用换元法； 3 整个式子或等式，通过变形能够得到一些相等的式子，也可把该式子视为个整体，用换元法。 【注意】利用换元法时，要注意新元的取值范围。
1（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）（1）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：
，
当且仅当且时，即且时取等号．
学习上述解法并解决下列问题：
若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求的最小值，并求出使得取最小值时m的值．
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培优03 利用基本不等式求最值的方法
题型1 直接法求最值
1基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立)； 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是为定值；三等指的是等号要取得到。 3 基本不等式的变式： ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【注意】利用基本不等式求最值时，要注意等号是否能够取到。
1（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值
【答案】C
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以已知，则有最大值.
故选：C.
2（24-25高一上·吉林四平·期末）若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式求解积的最值.
【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以，
当且仅当时等号成立，此时的值为1.
故选：C
3（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出.
【详解】因，则，
因x，y为正数，则，得，等号成立时，
则的最小值为.
故选：C
4（24-25高一上·山东·阶段练习）若，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据基本不等式，分两步进行化简，可得答案.
【详解】，
当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为4，
故选：C．
5（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据题意先对利用基本不等式，然后再利用一次基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，
所以当时，取最小值，
故选：B.
题型2 配凑法求最值
1 积定求和中，当利用时用直接法最值，而不为定值，则需要通过配凑的方法使得为定值； 2和定求积中，当利用时用直接法最值，而不为定值，则需要通过配凑的方法使得为定值. 【注意】在配凑时，要注意最后等号也要确定能够取到。
1（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可求得最小值为8.
【详解】由可得，
因此，
当且仅当，即时，等号成立；
即所求最小值为8.
故选：B
2（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】由于，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.
故选：A.
3（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故选：B
4（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变换得到，计算得到答案.
【详解】不等式恒成，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故.
故选：.
5（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】对任意的，不等式恒成立，
则小于或等于的最小值，
因为，
即当时，取最小值，所以，，
因为，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
故选：C.
题型3 消元法求最值
1 当题目中存在多个变量，则可通过它们之间的关系进行消元，把问题转化为单个变量或双变量的问题； 2 消元时要思考下，消哪个未知数会使得过程更简洁些。
1（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知实数、、满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，，再利用基本不等式求即可.
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立.
因此，的最大值为.
故选：C.
2（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】由有，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：.
3（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
【答案】D
【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值.
【详解】由，得，则，
因为，，所以
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为，
故选：D.
4（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由等式转化为关于得到一元二次方程，用表示，并表示，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由条件可知，，则，
因为，所以，
所以，当，即时，等号成立.
故选：A
5（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得.
【详解】已知，且，，其中,
，
当且仅当时取等号.
故选：B
6（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】令，其对称轴为，
当时，，
若，当时，要使不等式对任意恒成立，
则对任意恒成立，
当时，不满足题意，所以，
且是方程的一个正根，
将代入可得，即，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
题型 4 乘“1”法求最值
1当题中的已知条件和求证中出现和，和（为常数）形式的式子，可采取乘“1”法； 2 若已知条件等式中右侧，则两边除以，使得右边为. 【注意】在配凑的过程中，要注意最后等号也要确定能够取到。
1（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．6
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式“1”的妙用，根据展开，利用基本不等式即可得到.
【详解】，
当时取等，所以的最小值为.
故选：C.
2（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可.
【详解】已知，得，
代入得：
由于，，
得：
当且仅当，即：，时等号成立.
故的最小值为.
故选：A
3（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】B
【分析】根据已知有，应用基本不等式“1”的代换求最小值.
【详解】由题意，，
又，当且仅当时取等号，
所以，即目标式最小值为7.
故选：B.
4（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）设，，若，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
【答案】B
【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解.
【详解】，，且，
且，
，
当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9.
故选：B.
题型 5构造不等式法求最值
寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 【注意】在构造时，往含所求式子的不等式思考。
1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由基本不等式得到，求出答案.
【详解】正实数x，y满足，则，当且仅当时取等号，
所以，即，即，两边平方, 结合，解的.
故选：D.
2（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
【答案】C
【分析】先求得的最小值，由此列不等式来求得的范围，从而求得的最大值.
【详解】，当且仅当时等号成立，
所以，
，
而不等式恒成立，所以，
所以的最大值为.
故选：C
3（24-25高一上·安徽·阶段练习）若正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】整理已知等式，利用基本不等式建立不等式，解出即可得答案.
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∴，当且仅当时取等号，
故选：B
4（24-25高一上·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值．
【详解】∵正实数x，y满足，，
∴，当且仅当取等，
设 ，∴，
∴，即，，∴，
故的最小值为2.
故选：A．
5（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，
，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立，
即，解得，或（舍去），故B错误；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：C．
题型 6换元法求最值
1 对于求形式的函数最值，常常利用换元法； 2 遇到高次式子或者带有根号式子，也常用换元法； 3 整个式子或等式，通过变形能够得到一些相等的式子，也可把该式子视为个整体，用换元法。 【注意】利用换元法时，要注意新元的取值范围。
1（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用换元得，即可变形为，利用不等式即可求解.
【详解】设，则，
则 由可得，
化简得，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，即或时等号成立，
故，
故选：D
2（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值；
【详解】法一：由实数 满足，
设，解得，
则，
当且仅当，及时等号成立，
所以的最大值为.
法二：令，
则
，
由得，
故 ，
当且仅当即即时，取“=”，
故选：D.
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
4（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）（1）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：
，
当且仅当且时，即且时取等号．
学习上述解法并解决下列问题：
若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求的最小值，并求出使得取最小值时m的值．
【答案】（1），当且仅当且x、y同号时等号成立；
（2）当时，取得最小值.
【分析】根据常值代换法和构造法，基本不等式和的转换思想解决即可．
【详解】（1），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
即，当且仅当且x，y同号时等号成立．此时x，y满足.
（2）令，构造求出，
由，可得且故，
由（1）结论可得.
取等号时，由解得，此时.
即当时，取得最小值.
【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求最值，具体思路如下：
（1）利用“1”的代换，可得，再根据基本不等式可得：，结合不等式的基本性质，可比较与的大小.
（2）利用换元法，令，，构造，其中，，再结合（1）中的结论可求的最小值.
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