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培优02 常用逻辑用语中的参数问题
题型1 根据充分条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，那p是q的充分条件； 2 根据充分条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（24-25高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
2（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
5（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，，已知，且“”是“”的充分条件，求的值.
题型2 根据必要条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，那q是p的必要条件； 2 根据必要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 .
3（24-25高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ．
4（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
题型3 根据充要条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题p成立，则命题q成立，那p是q的充要条件； 2 根据充要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（24-25高二上·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
2（24-25高一上·上海黄浦·期末）方程至少有一个正实数根的充要条件是 ；
3（24-25高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围．
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
(3)否存在实数，使是的充要条件．
4（24-25高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件.
题型 4根据充分不必要条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题q成立，则命题p不成立，那p是q的充分不必要条件； 2 根据充分不必要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（多选）（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
3（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
题型 5根据必要不充分条件求参数
1 若命题q成立，则命题p成立，同时若命题p成立，则命题q不成立，那p是q的必要不充分条件； 2 根据必要不充分条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ）
A． B．
C． D．
3（多选）（24-25高一下·四川达州·期中）“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ）
A． B． C． D．
4（24-25 高一上·河南濮阳·阶段练习）已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
5（24-25 高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
题型 6 根据全称量词命题的真假求参数
1短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 2 对于全称量词命题类似“，()”成立，实质上是恒成立问题，可转化为求函数的大值（最小值），即； 3 此问题常遇到二次函数问题，多要构造函数与数形结合等，若要分类讨论可从函数开口方向、对称轴、判别式等角度进行分析； 4 若做选择题，则可以举反例的方法排除选项。 【注意】恒成立问题可转化为最值问题，到底是最大值还是最小值。
1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
3（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
5（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
题型 7 根据存在量词命题的真假求参数
1短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示，含有存在量词的命题称为特称命题． 2 对于存在量词命题类似“，”成立，实质上是存在性问题，可转化为求函数的最小值（最大值），即；； 3 若存在量词命题是假命题，可用转化为全称命题为真命题去处理； 4 此问题常遇到二次函数问题，多要构造函数与数形结合等，若要分类讨论可从函数开口方向、对称轴、判别式等角度进行分析； 5 若做选择题，则可以举反例的方法排除选项。 【注意】存在性问题可转化为最值问题，到底是最大值还是最小值。
1（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3（多选）（2023高三·全国·专题练习）已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，若它们同时满足：
①，或；②，
则m取值范围是 ．
5（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）根据要求完成下列问题
(1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.
(2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围.
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培优02 常用逻辑用语中的参数问题
题型1 根据充分条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，那p是q的充分条件； 2 根据充分条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（24-25高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解.
【详解】由题意，
若是的充分条件，则当且仅当，
对比选项可知实数可以是3.
故选：A.
2（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案.
【详解】由不等式，可得（不合题意），
要使得是的一个充分条件，
则满足，解得.
故选：D.
3（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当时，求出，由题意求得的范围.
【详解】根据题意，当时，，
则，
因为成立的充分条件是，
所以.
故选:B.
4（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据充分条件得到，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】设集合，集合，因为是的充分条件，所以，所以，解得.
故答案为：.
5（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，，已知，且“”是“”的充分条件，求的值.
【答案】答案见解析
【分析】由题意可得，因为，分别讨论，和，分别求解即可求出，即可求出的值.
【详解】详解：因为“”是“”的充分条件，
所以，，则
①当时，则，
所以，
②当时，则，
所以
③当时，则，
所以，
综述：①当即时，，
当即时，，
当即时，.
题型2 根据必要条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，那q是p的必要条件； 2 根据必要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可．
【详解】由题意知：
①当时，，，故，解得，
故；
②当时，，满足；
③当时，，，故，解得，
故；
综上所述：．
故选：A．
2（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 .
【答案】
【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出．
【详解】解：条件，
条件，
是的必要条件，．
，或，．
时，满足题意．
时，若，则，解得．
若，则，解得．
综上可得：的取值集合是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3（24-25高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据不等式求得集合，再利用“”是“”的必要条件，得，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：，，即，解得或
或
“”是“”的必要条件，，且恒成立
则或，解得或．
故答案为：或
4（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）由 ，所以或，故集合.
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，实数的值为或.
（2）因为“”是“” 的必要条件，所以.
对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想有，须有，
此时：，该方程组无解.
综上，实数的取值范围是.
题型3 根据充要条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题p成立，则命题q成立，那p是q的充要条件； 2 根据充要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（24-25高二上·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.
【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
2（24-25高一上·上海黄浦·期末）方程至少有一个正实数根的充要条件是 ；
【答案】
【分析】讨论，和三种情况，计算得到答案.
【详解】当时，方程为满足条件.
当时，方程恒有两个解，且，两根一正一负，满足条件
当时，，即，此时，，
，两根均为正数，满足条件
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.
3（24-25高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围．
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
(3)否存在实数，使是的充要条件．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不存在.
【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得；
（2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得；
（3）根据充要条件的概念可得，进而即得.
【详解】（1）因为是的必要条件，
所以，又，，
所以，
解得，
即实数的取值范围是；
（2）若是的必要条件，则 ，
所以，
又或，或，
所以，
解得，
故实数的取值范围；
（3）若是的充要条件，则，
所以，
方程组无解，
故不存在实数，使是的充要条件．
4（24-25高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件.
【答案】
【分析】依题意方程至少有一个非负根，则，即可求出参数的取值范围，再求出方程有两个负根时参数的取值范围，从而求出方程至少有一个非负根的的取值范围，即可得解；
【详解】解：的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得.
上述方程有两个负根的充要条件是且，即，
∴.
于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是.
故的充要条件为.
题型 4根据充分不必要条件求参数
1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题q成立，则命题p不成立，那p是q的充分不必要条件； 2 根据充分不必要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（多选）（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可.
【详解】先分析根的情况，.
当时，方程无实数根，此时，即，
解不等式得或时，，那么.
当时，即时，方程有实数根.
设方程的两根为，由韦达定理得，.
要使，则两根都大于，所以且。
解得或，结合，得到.
综上，时或.
对于选项A：是或的真子集.
当时，一定有，但时，还可能，
所以是是真命题的一个充分不必要条件.
对于选项B：与或无包含关系.
当时，不成立，所以不是充分条件.
对于选项C：是或的一部分.
当时，成立，是充分不必要条件.
对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件.
故选：AC.
2（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设，
此时由的定义可知，有，
所以，
若是的充分不必要条件，则 ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
3（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【详解】（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
（3）由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
题型 5根据必要不充分条件求参数
1 若命题q成立，则命题p成立，同时若命题p成立，则命题q不成立，那p是q的必要不充分条件； 2 根据必要不充分条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。
1（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将是的必要不充分条件转化为 ，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设，，
因为是的必要不充分条件，所以 ，
所以，解得，
当时，，成立，
所以.
故选：A.
2（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解.
【详解】关于x的方程的根为正实数，
则需满足或，解得，
因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为，
则 ，
结合选项可知满足，
故选：B
3（多选）（24-25高一下·四川达州·期中）“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.
【详解】若关于的不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，
考查选项知满足条件.
故选：
4（24-25 高一上·河南濮阳·阶段练习）已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】根据条件函数的图像与轴只有一个交点，推导出或，因为条件是条件的充分不必要条件即可得到实数的值；根据条件是条件的必要不充分条件，推导出实数的取值范围.
【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；
当时，的图像与轴只有一个交点，则 ，符合题意；
条件 或
条件是条件的充分不必要条件，则或 实数为或
当时，由得，；
当时，由得，；
条件是条件的必要不充分条件，且条件 或，条件
，即
故答案为：或；实数的取值范围是.
5（24-25 高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)存在，
(2)或
【分析】（1）假设存在，即，根据根与系数的关系求解即可；
（2）由题意转化为B A，根据集合的包含关系列出不等式组求解即可.
【详解】（1）假设存在满足条件的实数a，则，即，.
因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，
即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.
（2）由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A .
当，即时，，
则解得；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值范围是或.
题型 6 根据全称量词命题的真假求参数
1短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 2 对于全称量词命题类似“，()”成立，实质上是恒成立问题，可转化为求函数的大值（最小值），即； 3 此问题常遇到二次函数问题，多要构造函数与数形结合等，若要分类讨论可从函数开口方向、对称轴、判别式等角度进行分析； 4 若做选择题，则可以举反例的方法排除选项。 【注意】恒成立问题可转化为最值问题，到底是最大值还是最小值。
1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由其否定为真命题，通过求解即可；
【详解】因为命题是假命题，
可得：为真命题；
可得：，
解得：，
故选：A
2（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案.
【详解】命题“”为假命题，
则，
当时，，成立；
当时，则，解得，即；
当时，成立；
综上所述：.
故选：D.
3（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论.
【详解】由题意得，
若“”是真命题，
即当时，恒成立，
则，其中，
由，可得，所以
所以命题“”是假命题， 则的取值范围为．
故选：D.
4（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
5（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把等式右边合并同类项，再根据等式恒成立对照列式即可求解．
【详解】解：，
对任意恒成立，
，
解得：，
∴ ，．
故选：A．
6（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可.
【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立，
即，因，故有：在上恒成立，
设，因，故得：，则，即得：，
依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项.
故选：ACD.
题型 7 根据存在量词命题的真假求参数
1短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示，含有存在量词的命题称为特称命题． 2 对于存在量词命题类似“，”成立，实质上是存在性问题，可转化为求函数的最小值（最大值），即；； 3 若存在量词命题是假命题，可用转化为全称命题为真命题去处理； 4 此问题常遇到二次函数问题，多要构造函数与数形结合等，若要分类讨论可从函数开口方向、对称轴、判别式等角度进行分析； 5 若做选择题，则可以举反例的方法排除选项。 【注意】存在性问题可转化为最值问题，到底是最大值还是最小值。
1（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案．
【详解】由，得，
，，
则当时，取最小值2，所以，
命题，则，即，
若命题均为假命题，则且，即，
∴实数的取值范围为．
故选：B.
2（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，则，然后求解即可.
【详解】因为命题是假命题，所以其否定“，”为真命题，
即在上恒成立，令，则，
，因为，所以令，得 ，令，得 ，所以在单调递减，在上单调递增，
又，所以，所以.
故选：A
3（多选）（2023高三·全国·专题练习）已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意，转化为，恒成立，列出不等式，即可得到的范围.
【详解】由题意可得，，恒成立，
可得，即，解得或，
即实数a的取值范围是或.
故选：AB
4（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，若它们同时满足：
①，或；
②，
则m取值范围是 ．
【答案】
【分析】由条件①可得及当时，再由条件②寻找的零点与的关系得解.
【详解】由，得，即，
，或，则当时，恒成立，于是，
此时的根为，
于是，，又，解得；
又，，显然，则，，而，
即，，显然，否则，，不符合题意，
当，即时，，解得，此时，符合题意，因此；
当，即时，，解得，与矛盾，
所以m取值范围是.
故答案为:
5（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）根据要求完成下列问题
(1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.
(2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在，且或，.
(2)
【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可得出实数的值；对实数的取值进行分类讨论，根据可得出关于实数的等式或不等式，即可得出实数的取值范围；
（2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题，根据二次不等式分类讨论求解，进而得解.
【详解】（1）因为，则且，
，且，
若，即，此时，，则，合乎题意；
若，即，此时，，
因为，则，此时，，
又因为，当时，，解得；
当时，，此时，，
当且时，，解得且，
因为，
若，即，则，
若，则，因为，此时，不存在.
综上所述，存在满足题设条件的实数、，且或，.
（2）因为、是方程的两个实根，则，
可得，
当时，，
由不等式对任意实数恒成立可得：，
即，解得或，
所以命题为真命题时，，
命题不等式有解，
当时，不等式为，解得，合乎题意，
当时，，原不等式一定有解，
当时，只需，解得，
不等式有解时，
又命题是假命题，则，
所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为.
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