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微专题 函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题
题型一 函数的单调性和奇偶性相结合
先根据定义判断奇偶性，对自变量进行转化，再利用函数单调性，比较同一单调区间内函数值大小，或解含函数符号的不等式，注意定义域。
1．（2025高二·贵州铜仁·阶段练习）若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高一·全国·课堂例题）已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一·北京·期中）已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一·云南昆明·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一·湖南永州·期中）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系.
6．（2025高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高三·河南·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为 ．
8．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ．
9．【多选】（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（ ）
A． B．
C．在R上单调递增 D．的解集为
题型二 函数的奇偶性和周期性相结合
先通过已知条件找周期（如 f (x+T)=f (x)），缩小自变量范围；再用奇偶性（f (-x)=±f (x)）转化表达式，结合已知区间的函数解析式计算。
10．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）设是上的周期为3的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．3 D．16
11．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
12．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（25-26高三·广东深圳·阶段练习）已知是奇函数，函数是偶函数，当时，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
14．（25-26高三·安徽合肥·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
15．（25-26高三·江苏南通·开学考试）若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ）
A． B．0 C． D．
16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．0
题型三 函数的奇偶性和对称性相结合
由奇偶性明确函数关于原点或y轴对称；由对称性（如 f (a+x)=f (a-x)）知函数关于x=a对称；联立两性质，将未知点函数值转化到已知区间求解。
17．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2025高三·黑龙江·期末）已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
19．（2025高一·四川南充·开学考试）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C．2022 D．1011
题型四 函数的周期性和对称性相结合
根据对称关系推导周期，再用周期将自变量缩至已知区间，结合对称点求函数值。
20．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（ ）附注：．
A．－21 B．－22 C．－23 D．－24
21．（25-26高二·湖北武汉·阶段练习）已知函数的定义域为R，满足，若的图像关于直线对称，且，则（ ）
A．92 B．-205 C．100 D．-19
22．（25-26高三·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1014 D．2028
题型五 函数的单调性和对称性相结合
由对称性判断对称区间的单调性（如关于x=a对称，x>a与x23．（25-26高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2025高三·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2025高一·内蒙古赤峰·期中）定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型六 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合
先用奇偶性化负为正，再用对称性转自变量到单调区间；最后依据单调性，比较函数值或解不等式，逐步推导。
26．（2025高一·湖南娄底·期末）已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
27．（25-26高一·贵州铜仁·阶段练习）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2025高一·安徽六安·期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．（2025高一·山西太原·阶段练习）已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2025高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025高三·江苏扬州·开学考试）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
32．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型七 函数单调性、奇偶性和周期性相结合
先借周期缩小自变量范围，再用奇偶性统一符号；最后在同一单调区间内，用单调性判断函数值大小或解不等式。
33．【多选】（2025高一·湖北孝感·期中）已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（ ）
A．函数的值域是 B．
C．时， D．函数在上递减
题型八 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合
根据对称关系和奇偶性确定周期，然后结合具体问题求值.
34．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．（25-26高三·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（ ）
A．2 B．－4 C．2026 D．－4052
36．（25-26高三·安徽·阶段练习）是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
37．（2025·辽宁·模拟预测）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
38．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
39．（2025高二·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
40．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A． B．
C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴
41．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0 B．-1012 C．-2 D．1010
42．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
43．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的图像关于点对称，且满足，又，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
题型九 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合
优先用周期和对称性化简自变量、确定区间；再用奇偶性转化符号，将表达式整理到同一单调区间；最后用单调性完成求解。
44．（2025高三·江苏·专题练习）已知偶函数对于任意都有，且在区间上是递增的，则的大小关系是 ．
45．（2025高三·全国·专题练习）定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则的大小关系
46．【多选】（2025高一·江苏·单元测试）已知是R上的奇函数，满足，当时，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C．在上递增 D．为的对称中心
47．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在区间上单调递减 D．
48．【多选】（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在上单调递增
49．【多选】（2025高二·湖南长沙·期末）定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（ ）
A．的周期是4 B．是函数的一个最大值
C．的图象关于点对称 D．在上单调递减
50．【多选】（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为 4
C． D． 在区间上单调递增
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微专题 函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题
题型一 函数的单调性和奇偶性相结合
先根据定义判断奇偶性，对自变量进行转化，再利用函数单调性，比较同一单调区间内函数值大小，或解含函数符号的不等式，注意定义域。
1．（2025高二·贵州铜仁·阶段练习）若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数性质可得在上是减函数，结合单调性比较大小.
【详解】因为奇函数在上是减函数，则在上是减函数，
且，所有.
故选：D.
2．（2025高一·全国·课堂例题）已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数图象在轴左右的单调性一致的特征，即可判断函数值大小.
【详解】∵函数为奇函数，且在区间上单调递增，
∴在R上单调递增，
∴．
故选：B.
3．（2025高一·北京·期中）已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断的奇偶性与在上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
则定义域为，，
又，所以是偶函数，
又在上是增函数，所以当时，
设，则，所以，即，
所以在上是增函数，
所以，又，
所以，即．
故选：C.
4．（2025高一·云南昆明·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据单调性和奇偶性分析内层函数值大小关系，然后再根据外层函数的单调性直接比较大小即可.
【详解】由题意可知，在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增；
A：因为，但的符号无法确定，
所以大小关系不确定，故A错误；
B：由条件可知，，又因为，且在上单调递增，
所以，故B正确；
C：因为，且在上单调递增，所以，故C正确；
D：因为在上单调递增，所以，所以，故D正确；
故选：A.
5．（2025高一·湖南永州·期中）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系.
【答案】
【分析】由题意可构造函数，结合函数单调性定义可得在上单调递减，再将用表示出来后，结合单调性即可得解.
【详解】由，，则，
设，则在上单调递减，
，，
由是定义在上的奇函数，
则，
由，即.
6．（2025高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的大致图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为.
故选：B.
7．（25-26高三·河南·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用偶函数性质和单调性即可求解不等式.
【详解】由定义在上的偶函数可得：，
所以不等式等价于不等式，
又因为在上单调递减，
所以，
整理得：，
即解得：或，
则不等式的解集为，
故答案为：
8．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可
【详解】，
不等式可变形为，即，
函数是定义在上的偶函数，，
所以为偶函数，若函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，
故答案为：．
9．【多选】（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（ ）
A． B．
C．在R上单调递增 D．的解集为
【答案】ABD
【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确.
【详解】对于A，令可得可得，因此A正确；
对于B，令可得，因此B正确；
对于C，取任意，且，则可得，
又因为当时，，所以
所以，
因此，所以，
可知在R上单调递减，因此C错误；
对于D，由可得，
也即，因此，
结合C中单调性可知，即，解得；
因此不等式的解集为,可得D正确.
故选：ABD
题型二 函数的奇偶性和周期性相结合
先通过已知条件找周期（如 f (x+T)=f (x)），缩小自变量范围；再用奇偶性（f (-x)=±f (x)）转化表达式，结合已知区间的函数解析式计算。
10．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）设是上的周期为3的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．3 D．16
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性和周期性，结合已知区间上函数的解析式，即可求得结果.
【详解】由题意知对一切成立，
于是.
故选：A.
11．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由条件结合奇函数性质可得，结合周期函数性质可得，故，再利用条件求可得结论.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以，
因为函数是定义在上且周期为的函数，
所以，所以，
所以，
因为当时，，
所以，
所以，
故选：A.
12．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得函数的周期为2，利用函数为奇函数及周期为2，求解即可.
【详解】因为，
所以函数是周期函数，是其一个周期，
所以，
又因为函数为R上的奇函数，
所以，
即.
故选：B.
13．（25-26高三·广东深圳·阶段练习）已知是奇函数，函数是偶函数，当时，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意有，又，进而得，即，即可得函数的周期，利用周期即可求解.
【详解】由题意有，又函数是偶函数，所以，
即，所以，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，所以，
故选：C.
14．（25-26高三·安徽合肥·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查奇偶性和周期性的应用，根据是定义在上的偶函数及为奇函数可求得为周期是4的函数，再对x进行赋值求出，根据周期性即可求和得到答案．
【详解】令，
由为奇函数，
得，
又为偶函数，∴，
∴，
用替换，则，
∴，即4为的周期．
根据，
令，得，
令，得，
又为偶函数，且，∴，，
又的周期为4，∴，，
∴．
∵余，
∴．
故选：A．
15．（25-26高三·江苏南通·开学考试）若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义导出函数的周期，进而求出函数值.
【详解】由为偶函数，得，即，，
由为奇函数，得，即，
因此，即，则，
所以.
故选：A
16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】D
【分析】根据条件可得，得到函数的周期，然后得到当时的表达式，最后判断即可.
【详解】由，
因此可以得到：，所以函数的周期为4，
当时，，
故当时，
当时，，所以，
显然当或时，函数的最大值为0.
故选：D
题型三 函数的奇偶性和对称性相结合
由奇偶性明确函数关于原点或y轴对称；由对称性（如 f (a+x)=f (a-x)）知函数关于x=a对称；联立两性质，将未知点函数值转化到已知区间求解。
17．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.
故选：D.
18．（2025高三·黑龙江·期末）已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据题意证明，即可得到答案.
【详解】根据题意有，，故，从而.
所以.
故选：A.
19．（2025高一·四川南充·开学考试）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C．2022 D．1011
【答案】B
【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可.
【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数，
即为奇函数，
必有且，解得，
所以的图象的对称中心为，即有，
，，，，
所以，
，
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数，得出图象的对称中心，然后函数值配对求和．
题型四 函数的周期性和对称性相结合
根据对称关系推导周期，再用周期将自变量缩至已知区间，结合对称点求函数值。
20．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（ ）附注：．
A．－21 B．－22 C．－23 D．－24
【答案】D
【分析】方法一：根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可；方法二：根据，，证明是以4为周期的周期函数，，通过赋值和周期性求函数值即可.
【详解】方法一：因为的图象关于直线对称，所以．
由，得，所以．
因为，所以．
由，得，于是，即是以4为周期的周期函数．
由和，得，故．
由和，得，故．
由，得－2，故．
由，得，故．
于是．
方法二：因为的图象关于直线对称，所以，则．
因为①，所以，则．
因为，所以②，则．
因此，即是以4为周期的周期函数．
由①②得．
于是
，
故选：D.
21．（25-26高二·湖北武汉·阶段练习）已知函数的定义域为R，满足，若的图像关于直线对称，且，则（ ）
A．92 B．-205 C．100 D．-19
【答案】A
【分析】根据对称以及题中条件可得，进而可得，利用赋值可得，，即可代入求解.
【详解】由于的图像关于直线对称，则，
故，
又，故，
因此，，
故
故，
由及可得，，解得
又，故，
，
故选：A
22．（25-26高三·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1014 D．2028
【答案】B
【分析】根据对称轴定义得出对称轴，再由直线对称得出，进而得出函数周期，最后根据周期性得出函数值即可.
【详解】因为，即，故的图象关于直线对称.
由的图象关于直线对称得，
即对任意x恒成立，则，
又，所以，即，
所以，所以是周期为6的周期函数.
所以，.
故选：B.
题型五 函数的单调性和对称性相结合
由对称性判断对称区间的单调性（如关于x=a对称，x>a与x23．（25-26高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解.
【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称，
又由，都有，
根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减，
结合对称性知：函数在上单调递增，
因为，所以，
又因为，所以.
故选：B.
24．（2025高三·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数满足.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：.
故选：D.
25．（2025高一·内蒙古赤峰·期中）定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得函数在上为减函数，且，又由函数的图象关于对称，可得函数在上为增函数，且，分类讨论可得答案.
【详解】因为对任意的，，且都有，
所以函数在上为减函数，
又由函数的图象关于对称，且，
所以函数在上为增函数， ，
对于，显然，
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键利用函数的对称性得出函数的单调性.
题型六 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合
先用奇偶性化负为正，再用对称性转自变量到单调区间；最后依据单调性，比较函数值或解不等式，逐步推导。
26．（2025高一·湖南娄底·期末）已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解.
【详解】因为，所以函数关于成轴对称，
所以区间与区间，区间与关于对称，
由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，
又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，
故选：B
27．（25-26高一·贵州铜仁·阶段练习）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数，
则对任意的，，故函数的图象关于直线对称，
所以，
因为函数在单调递增，故函数在上单调递减，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，与的大小关系不确定，D错.
故选：B.
28．（2025高一·安徽六安·期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性可得单调性，由此可将恒成立的不等式化为，根据二次函数图象讨论的方法可构造不等式组求得结果.
【详解】为偶函数，，关于直线对称，
又在上是增函数，在上是减函数，
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，
当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
当，即时，，解得：或；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性、对称性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，对称性和单调性的作用如下：
（1）对称性：统一不等式两侧符号，同时根据对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
29．（2025高一·山西太原·阶段练习）已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断函数以及的性质，化简，讨论恒成立以及恒成立和，均能成立，结合函数图象，即可判断.
【详解】因为，则为偶函数，图象关于轴对称，
又在上单调递减，则在上单调递增；
函数满足且在上单调递减，
则图象关于对称，在上单调递增，
由题意得，则有：
①当恒成立时，，图象关于对称，
此时，；
②当恒成立时，，的图象关于y轴对称，且在上单调递减，
因为当时，；当时，；
即A，B两项均错误；
又当，即时，，则，
当，即时，，
因此，若，则必有，故D错误；
③若，均能成立，则不妨作示意图如下：
因对应的点关于直线对称，且，由图知，故C正确.
故选：C.
30．（2025高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可.
【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
由，有，即，
解得或，所以不等式的解集为.
故选：C.
31．（2025高三·江苏扬州·开学考试）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可．
【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线，
又函数在上单调递减，所以在上单调递增，
所以，解得，
故选：B．
32．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案.
【详解】令，则，因，
则，则图象关于对称；
又对任意，都有，
则在上单调递减，又图象关于对称，
则在上单调递增，在上单调递减.
.
故选：A
题型七 函数单调性、奇偶性和周期性相结合
先借周期缩小自变量范围，再用奇偶性统一符号；最后在同一单调区间内，用单调性判断函数值大小或解不等式。
33．【多选】（2025高一·湖北孝感·期中）已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（ ）
A．函数的值域是 B．
C．时， D．函数在上递减
【答案】BC
【解析】对A，由函数的奇偶性和周期性即可求出的值域；对B，由函数的单调性以及周期性即可求出；对C，利用奇偶性求出时的解析式，再利用周期性即可求出时的解析式；对D，由函数的周期性知在的单调性和 上的单调性一样，即可判断.
【详解】解：是定义在上的函数且，
是上的偶函数，
又，
是周期函数，且周期，
对A，时，，
易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期，
，，
的值域是，故A错误；
对B，，
在上单调递减，
在上单调递增，
，故B正确；
对C，当时， ，
，
又，
，
故当时，，
设，则，
，
又 ，
，故C正确；
对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样，
在 上单调递增，
在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性，奇偶性，周期性得出函数的性质.
题型八 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合
根据对称关系和奇偶性确定周期，然后结合具体问题求值.
34．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，
由函数的图象关于直线对称，
可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，
又由，得，则，
所以是周期为8的偶函数，则．
故选：B.
35．（25-26高三·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（ ）
A．2 B．－4 C．2026 D．－4052
【答案】A
【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出是的一个周期，再利用赋值法和奇偶性求出，最后结合周期性即可求出.
【详解】函数的图象关于点对称，则，
即，则当时，
又，则对任意恒成立①，
又是定义在上的奇函数，则②，则，
即，
则，得，即是的一个周期，
由②可得，；由①可得，；
因，则，则，
则，
则.
故选：A
36．（25-26高三·安徽·阶段练习）是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据函数是定义在上的奇函数且关于直线对称可证明出是周期为的周期函数，然后利用函数的周期性和奇偶性即可求出.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①，
又关于直线对称，所以②，
联立①②可得，即③，
把用替换可得④，
联立③④可得，所以是周期为的周期函数，
所以.
故选：C
37．（2025·辽宁·模拟预测）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值.
【详解】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选：B.
38．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值.
【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则，
则有，故得，即得，
故是函数的一个周期.
又为上的奇函数，故，解得，
则.
故选：C.
39．（2025高二·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，，，，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又由为奇函数，可得，令，则，得，
又由可得的图象关于点成中心对称，则；
又由可得，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，则，
故
故选：B.
40．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A． B．
C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则.
令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误.
对于B选项，因为是奇函数，则.
由可得.
用代替可得，又因为，所以，即.
那么.
同理.
.
.
令，则，所以B选项正确.
对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误.
对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误.
故选：B.
41．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0 B．-1012 C．-2 D．1010
【答案】C
【分析】由题意知且，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数值之和，2025项的和包含506个周期之和及，分别求值相加即可.
【详解】已知为奇函数，所以且，
因为，所以，则，函数的周期为4，
因为，，，，
所以，
因为，前2024项和为，，
所以.
故选：C
【点睛】
42．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由，得，
又，，
的图象关于直线对称，，
，
，则是周期函数，且周期为，
所以，故B正确；
对于A，的图象关于直线对称，
是偶函数，
若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；
对于C，由，得，
，
因为，则，
所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；
对于D，由，得，
又，
由，得，故D正确.
故选：A.
43．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的图像关于点对称，且满足，又，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据函数的对称可确定函数的周期和奇偶性，然后求出式子的值即可.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以.
又，所以且.
所以.
又，
故.
故选：D.
题型九 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合
优先用周期和对称性化简自变量、确定区间；再用奇偶性转化符号，将表达式整理到同一单调区间；最后用单调性完成求解。
44．（2025高三·江苏·专题练习）已知偶函数对于任意都有，且在区间上是递增的，则的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性和周期性的性质进行比较即可
【详解】由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期是2.因为函数f(x)为偶函数，
所以f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，
所以f(0)故答案为f(0)【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
45．（2025高三·全国·专题练习）定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则的大小关系
【答案】
【解析】可判断函数对称轴为，再结合函数为奇函数可推出周期为，由函数的奇偶性、对称性、周期性转化即可求解
【详解】因为，所以的图像关于直线对称，
由可知，
又函数是R上的奇函数，所以，
所以，即函数的周期，所以
因为奇函数在区间上递增，所以在上递增，
因为的图像关于直线对称，所以在上递减，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查由函数的奇偶性、对称性、周期性比较函数值大小，作为小题，建议在解题时能够辅以草图加以理解，避免转化过程的思维混乱，使抽象函数形象化，属于中档题
46．【多选】（2025高一·江苏·单元测试）已知是R上的奇函数，满足，当时，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C．在上递增 D．为的对称中心
【答案】BCD
【分析】分析函数的周期性、对称性、奇偶性，根据函数性质分析函数，即可求解.
【详解】函数满足，
，
即函数是周期为4的周期函数．
A选项中，，故A错误；
B选项中，，结合并令，可得，
又因为当时，，则，
所以，故B正确，
C选项中，当时，
，
由是R上的奇函数且周期为4，
所以
，
即在上递增 ，
故C正确，
D选项中，由，
所以，
，
即，
所以是函数的对称中心 ，
又因为为奇函数，关于原点中心对称，
所以为奇函数的对称中心 ，故D正确，
故选:BCD．
47．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在区间上单调递减 D．
【答案】ABD
【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD.
【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且，
又的图象关于对称，则，
令，则，故A正确；
由，得，
则，故B正确；
由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减，
又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，即在区间上单调递增，故C错误；
由，则，
故的周期为4，则在上的单调性与在上的单调性相同，
即在的单调递减，而，且，
则，故D正确.
故选：ABD
48．【多选】（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据函数图象的平移可得的图象关于直线对称，判断A；利用赋值法可判断B；根据函数的周期可判断C；结合函数的单调性判断D.
【详解】因为的图象关于直线对称，的图象可由的图象向左平移2个单位得到，
故的图象关于直线对称，即函数为偶函数，A正确；
在中，令，可得
因为是偶函数，所以，则，
故，即，故的周期，B正确；
由于对任意的，，且，都有，
故在上单调递减，，故；
而，C错误；
由于在上单调递减，，故在上不可能单调递增，D错误，
故选：AB
49．【多选】（2025高二·湖南长沙·期末）定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（ ）
A．的周期是4 B．是函数的一个最大值
C．的图象关于点对称 D．在上单调递减
【答案】BD
【分析】根据函数的对称性、单调性、周期性分析判断即得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，则 ①，且.
又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.
再由，得 ②
故函数图象关于直线对称，故函数在上单调递减，故D正确；
由①②可得，所以有，
故得8为函数的一个周期，又由，得不到，故A错误；
由上分析，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在一个周期内函数有最大值，即是函数的一个最大值，故B正确.
由对称性可知函数关于对称，不是关于对称，所以C错误.
故选： BD
50．【多选】（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为 4
C． D． 在区间上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可.
【详解】A：因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确；
B：因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以有，而，所以有，
即有，则有，
所以函数的周期为，因此本选项说法正确；
C：因为奇函数的周期为，
所以，
因此本选项说法正确；
D：当时，，，
由，所以该函数的一条对称轴为，
又因为 在区间上单调递增，
所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确，
故选：ABC
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